¡Descarga Hoja de fórmulas Matemática 2 y más Esquemas y mapas conceptuales en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
MATEM¡TICA II ñ HOJA RESUMEN DE CURVAS, SUPERFICIES, F”RMULAS Y PROPIEDADES ALGEBRAICAS
Ecuaciones de la recta en
3 .
Vectorial (x ;y;z)(x 0 ; y 0 ;z 0 )t.(a;b;c)
ParamÈtrica
z z t. c
y y t.b
x x t.a
0
0
0
SimÈtrica c
z z
b
y y
a
x x 0 0 0
v (a;b;c )
x
y
z
x 0
y 0
z 0
Ecuaciones del plano.
Forma general a. xb.yc.zd 0
Forma segmentaria 1 C
z
B
y
A
x
v __
x
y
z
A
B
C (^) v (a;b;c)
Circunferencia.
EcuaciÛn
2 2 2 ( xh) (yk) r
x
y
h
k C
r
Elipse.
En toda elipse se verifica que
2 2 2 PF 1 PF 2 2 a a b c
Excentricidad: 1 2 a
2 c e
F 1 =(c;0) F 2 =(-c;0)
EcuaciÛn : 1 b
y
a
x
2
2
2
2
b
ï
F 1
P
F 1
ï
F 2
c
¡ngulo entre dos rectas.
1 2
1 2 1 2 v v
v v r r arcos
r 1
P 0
r 2
Angulo entre dos planos.
1 2
1 2 1 2 v v
v v ar cos
v 1 , v 2 son los vectores asociados
1
2
Angulo entre recta y plano.
1 2
1 2
v v
v v r 90 ∫arcos
v 1 , v 2 son los vectores asociados.
r
Esfera
EcuaciÛn:
2 2 0
2 0
2 x x 0 yy zz r
z
z 0
y 0
x
x
y
HipÈrbola.
F 1 =(c;0) F 2 =(-c;0)
EcuaciÛn : 1 b
y
a
x
2
2
2
2
AsÌntotas: y .x y .x a
b a
b
En toda hipÈrbola se verifica
2 2 2 PF 1 PF 2 2 a c a b
Excentricidad: 1 2 a
2 c e
x
y
a
b
ï F 1
ï F 2
c
Hiperboloide de una hoja. EcuaciÛn :
1 c
z
b
y
a
x
2
2
2
2
2
2
y
z
a
b
x
Hiperboloide de dos hojas.
EcuaciÛn : 1 c
z
b
y
a
x
2
2
2
2
2
2
z
x
y
-c
- c
y
a
b
c
x
z
Elipsoide.
EcuaciÛn : 1 c
z
b
y
a
x 2
2
2
2
2
2
Paraboloide elÌptico.
EcuaciÛn : c.z c 0 b
y
a
x 2
2
2
2
x
y
z
Paraboloide hiperbÛlico
EcuaciÛn: cz c 0
b
y
a
x
2
2
2
2
x
y
z
Cono circular recto.
EcuaciÛn
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
x
y
z
Cilindro de elipse.
EcuaciÛn
2 2
2
2
2
r b
y
a
x
x
y
z
Si a=b es un cilindro de
circunferencia
Cilindro de par·bola.
EcuaciÛn y^ ax con a^0
2
x
y
z
Cilindro de hipÈrbola.
EcuaciÛn 1 b
y
a
x
2
2
2
2
x
y
z
b
FÛrmulas de trigonometrÌa
Teorema del seno Teorema del coseno
sen C
c
senb
b
senA
a a b c 2 .b.c.cosA
2 2 2
b a c 2 .a.c.cosB
2 2 2
c a b 2 a.b.cosC
2 2 2
FÛrmula de HerÛn
¡rea p. pa .p b .p c siendo 2
a b c p
Tri·ngulos Rect·ngulos
a
c sen C hipotenusa
cateto opuesto
a
b cos C hipotenusa
cateto adyacente
b
c tg C catetoadyacente
cateto opuesto
Teorema de Pit·goras:
2 2 2 a b c
b
c
A
B
C
a
A
B
C
b
a
c
Par·bola. VÈrtice v=(h;k) Distancia Foco-Directriz = p
( y k) 2 .p.(x h )
2 ( x h) 2 .p.(y k)
2
v
h
ï f
d
k (^) k
y
d
x
f
y
x
v
h
a
Paralelismo y ortogonalidad entre vectores
u (a 1 ;b 1 ;c 1 )
v (a 2 ;b 2 ;c 2 )
2
1
2
1
2
1
12 12 12
c
c
b
b
a
a u//v si
aa bb cc 0
u__ v u v 0
u (a 1 ;b 1 ;c 1 )
v (a 2 ;b 2 ;c 2 )
MATEM¡TICA II ñ HOJA RESUMEN DE CURVAS, SUPERFICIES, F”RMULAS Y PROPIEDADES ALGEBRAICAS
Propiedades de los lÌmites
si limg 0 limg
limf
g
f 5 )lim
4 )limf .g limf .limg
3 )limf g limf limg
2 )limx a
1 )limk k
(x ) (x) x a x a
(x) x a
(x)
(x)
x a
(x) x a
(x) x a
(x) (x) x a
(x) x a
(x) xa
(x) (x) x a
n n
x a
x a
Reglas pr·cticas para c·lculo
de lÌmites
indet 6 ) in det 0
0 3 )
0
k 5 ) 0
k 2 )
k
0 4 ) k
0 1 )
AsÌntotas
Si lim f(x) x a x a
es A.V.
Si lim f(x) b y b x
es A.H.
Si (x)
(x) (x ) Q
P f con gr (P) > gr (Q) en 1 unidad
efectuando P(x) Q(x)
r(x) mx+b
y = mx+b es la A.O. si r(x) (^) 0
Propiedades y reglas de derivaciÛn
Siendo u = f(x) ; v = g(x) ; k
x
8 )f lnx f v
u'.v u.v'
v
u 4 )
3 )k.u' k.u' 7 )f x f n.x
2 )u.v' u'.v u.v' 6 )f k.x f k
1 )u v' u' v' 5 )f k f 0
' 2 (x) (x)
'
' n 1 (x)
n (x)
' (x) (x)
' (x) (x)
Recta tangente y normal
a una curva en un punto
Siendo y = f(x) si P 0 = (x 0 ; y 0 )
es un de la misma.
rt :y y 0 f'(x) x x 0 0
(x)
n 0 x x f'
r:y y
0
Criterios para determinar m·x. y mÌn.
Siendo y = f(x)
CondiciÛn necesaria: f 0
' (x (^) i )
CondiciÛn suficiente: f 0
'' (x (^) i)^
er criterio
Si (^) i
'' f( (^) xi) 0 xes un mÌnimo
Si (^) i
'' f( (^) x (^) i) 0 xes un m·ximo
2 ∫ criterio
x 1 x x 2 x 1 x x 2
m·x mÌn
Criterio para determinar puntos de inflexiÛn.
y = f(x)
CondiciÛn necesaria: f 0
'' (x (^) i)^
Si f 0
' ' (x (^) i)^ cÛncava hacia arriba
Si f 0
' ' (x (^) i)^ cÛncava hacia abajo
x 1 xi x 2 x 1 xi x 2
P.I. P.I.
Propiedades y reglas de integraciÛn
5 ) x .dx lnx c
c si n 1 n 1
x 4 ) x.dx
3 ) kdx kx C
2 ) k.f .dx k. f .dx
1 ) f g .dx f .dx g .dx
1
n 1 n
(x) (x)
(x) (x) (x) (x)
Probabilidades
DefiniciÛn: N∫casosposibles
N∫casosfavorables
#(S)
#(A)
P( A)
Probabilidad total
P A B P(A)P(B) si AB
P A B P(A)P(B)P(AB) si AB
Probabilidad Condicional P(B)
P(A B)
P( A/B)
Independencia A y B son independientes si
P( A/B)P(A) P(B/A)P(B )
Consecuencia
P( A B)P(A/B).P(B)P(B/A).P(A ) Si A y B no
son independientes.
P( A B)P(A).P(B ) Si AyB son independientes.
Teorema de Bayes
P(B/A).P(A) P(B/A).P(A) ... P(B/A).P(A )
P(B/A).P(A)
P(A/B)
1 1 2 2 3 3
i i i
Variable aleatoria.
xi P(xi)
x 1 p(x 1 )
x 2 p(x 2 )
.... .....
p xi 1
E(x) xi .pxi
EstadÌstica N = poblaciÛn ; i = variable ; yi = frec. absoluta ; fi =
frec.relat.
Valor medio:
n
i 1
n
i 1
. i .yi i.fi N
DesvÌos: xi i
Varianza:
n
i 1
i
2 i
2 x.f
DispersiÛn, desvÌo standard o desvÌo tÌpico:
n
i 1
i
2 i
2 x.f
Coeficiente de variaciÛn:
x
C. V.
__
Si C. V. 20 % es homogÈnea
C. V. 20 % es heterogÈnea
Aplicaciones fÌsicas
Momento
est·tico
Momento
de inercia
Baricentro ìGî para un ·rea plana comprendida
entre una curva y el eje de abscisas
n
i 1
i i
( 1 ) M m.x
n
i 1
2 i i
( 2 ) M m.x
- A
f .dx
y A
x.f .dx
x
b
a
2 (x)
G
b
a
(x)
G
Baricentro ìGî para un sistema de puntos
materiales
Baricentro ìGî para un ·rea plana encerrada
entre curvas
T
n
i 1
i i
G M
m.x
x
T
n
i 1
i i
G M
m.y
y
2. A
f g .dx
y A
x.f(x) g(x).dx
x
b
a
2 (x)
2 (x)
G
b
a G
Trabajo: Ley de Hooke F= -k. x
b
a
T k. f( x).dx
Propiedades algebraicas
Distributividad:
n
n n
n n n
n
n n
n n n
b
a
b
a 4 )
3 ) a.b a. b
b
a
b
a 2 )
1 )a.b a.b
; Potencia:
6 )a 1
5 ) a a
a
b
b
a 4 )
3 )a a
2 )a :a a
1 )a.a a
0
n (^) p p/n
n n
np n.p
n p np
n p np
Cuadrado de Binomio: ^ ^
(^2 ) a b a 2 abb
Diferencia de cuadrados: a b a b . a b
2 2
FÛrmula resolvente: 2 a
b b 4 ac ax bx c 0 x
2 2
Momento de inercia respecto de un eje
baricÈntrico.
b
h
h.b M
3 ( 2 ) g 2
G
x
y
b.h M
3 ( 2 ) g 1
b
h
x
yx
h.b M
3 ( 2 ) y
Rect·ngulo cuya altura se apoya sobre el eje
de momentos.
b
h
x
y
b.h M
3 ( 2 ) x
Rect·ngulo cuya base se apoya sobre
el eje de momentos.
Teorema de Steiner: El momento de inercia respecto de un
eje no baricÈntrico, es igual al momento de inercia del eje
baricÈntrico paralelo, m·s el producto entre la masa y el
cuadrado de la distancia entre ejes.
( 2 ) 2 g
( 2 ) Mx M M.d
( 2 ) 2 g
( 2 ) Mx M .A.d
MOMENTOS DE INERCIA DE RECT¡NGULOS.
b
h
x
y
ï G
d
g
Integral definida:
Regla de Barrow :
b
a
f(x ).dx F(b) F(a)
Aplicaciones GeomÈtricas
¡rea A =
b
a
g(x) f(x). dx
Volumen de revoluciÛn A =
b
a
2
. f(x) .dx
x
y
a b
a b x
y
f
g
