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E.T.S.I. Inform´atica
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica 12 de Septiembre de 2014
Ejercicio 1. (1,5 puntos)
- Demuestra por inducci´on sobre n que la igualdad siguiente es v´alida para todo n ≥ 1:
∑^ n
i=
(4 · i − 3) = n(2n − 1)
- ¿Cu´antos n´umeros hay entre 200.000 y 600.000 que tengan las mismas cifras que 275467?
Ejercicio 2. (1,25 puntos)
De un total de 100 trabajadores de Google, 50 son matem´aticos, 38 son inform´aticos, 35 son f´ısicos, 9 son matem´aticos y f´ısicos, 5 son f´ısicos e inform´aticos y 10 son matem´aticos e inform´aticos. Suponiendo que todos los trabajadores son graduados en alguna de las tres materias, se pide:
- ¿Cu´antos trabajadores son graduados en las tres materias?
- ¿Cu´antos trabajadores son graduados s´olo en Matem´aticas?
Ejercicio 3. (1,5 puntos)
Un comerciante compr´o dos tipos de productos por 2490 euros. Si el producto A le cost´o a 29 euros la unidad, y el producto B a 33 euros la unidad. ¿Cu´antos compr´o de cada tipo, considerando que compr´o mas del tipo A que del B?
Ejercicio 4. (2,5 puntos)
- Calcula las dos ´ultimas cifras de 7^1994. Enuncia el teorema que hayas utilizado.
- Se tiene una cantidad par de monedas menor que 600 que se quieren disponer en filas. Si se ordenan de manera contigua completando filas de 17 monedas cada una, sobran 8 monedas. Si se ordenan completando filas de 18 monedas cada una, vuelven a sobrar 8 monedas. Si se consideran ´unicamente la mitad de las monedas iniciales y se ordenan en filas de 7 monedas cada una, sobran 3 monedas. Averigua la cantidad de monedas inicial.
Ejercicio 5. (1,25 puntos)
Hallar el t´ermino general de la sucesi´on definida por:
an − 3 an− 1 = 3(an− 1 − 3 an− 2 ) + 3 · 2 n^ para n ≥ 2 , con a 0 = 1 y a 1 = 1
E.T.S.I. Inform´atica
Grado en I. I. Tecnolog´ıas Inform´aticas 6 de Febrero de 2014
Ejercicio 1. (2 puntos)
a) Demuestra por inducci´on sobre n que la igualdad siguiente es v´alida para todo n ≥ 1:
4 5
)n = 4 −
4 n+ 5 n
b) Enuncia el Teorema de Euler y utilizarlo para calcular 157^550 (mod 77).
c) Utilizando el teorema de Euler, calcula el inverso de 67 (mod 77).
Ejercicio 2. (1,5 puntos) Pepe multiplica el d´ıa de la fecha de su nacimiento por 12 y el n´umero del mes por 31, luego suma estos dos productos obteniendo 134. ¿Cu´ando es su cumplea˜nos?
Ejercicio 3. (1,5 puntos) Una familia formada por los padres y 3 hijos van al cine.
a) Si las 5 entradas son numeradas y consecutivas,
a.1) ¿de cu´antas formas distintas pueden sentarse? a.2) ¿y si los padres deciden sentarse en los extremos? a.3) ¿y si los padres deciden no sentarse en los extremos?
b) Si al comprar las entradas en taquilla, les dicen que ya no quedan 5 consecutivas y que del aforo total s´olo quedan 15 butacas libres, ¿de cu´antas formas posibles puede dispensar el empleado de la taquilla las 5 entradas?
Ejercicio 4. (1,5 puntos) Una empresa est´a construyendo un sistema de transmisi´on de datos, para ello se intenta agrupar un cierto n´umero de cables en unos determinados conductos. Al agruparlos de 13 en 13, hay que a˜nadir un conducto extra para 3 cables, si se colocan de 7 en 7 uno de los conductos llevar´ıa 5 cables y se colocan de 5 en 5 quedar´ıa un conducto con 4. ¿Cu´al es el m´ınimo n´umero de cables que se est´an utilizando en el sistema? Justificar la respuesta.
Ejercicio 5. (1,5 puntos) Hallar el t´ermino general de la sucesi´on definida por:
3(an − 2 an− 1 ) = 2(an − 3 an− 2 ) − an− 1 + 2 · 3 n^ para n ≥ 2 ,
con a 0 = 0, a 1 = 1 (y a 2 = 23).
E.T.S.I. Inform´atica
13 de Noviembre de 2013
Ejercicio 1. (1 punto)
a) Determina y demuestra, hallando su tabla de verdad, si la siguiente proposici´on com- puesta es una contradicci´on, una contingencia o una tautolog´ıa: (r → p ∨ q) ↔ [¬(q ∧ r) → ¬(¬p ∧ r)]
b) Demuestra por inducci´on sobre n que la igualdad siguiente es v´alida para todo n ≥ 1:
1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + · · · · · · + n · n! = (n + 1)! − 1
c) Demostrar que si n es cualquier entero positivo impar, entonces 8 divide a n^2 − 1.
Ejercicio 2. (1 punto) La organizaci´on del pr´oximo Megathon (competici´on de creaci´on de apps) promovido por Microsoft, est´a organizando sesiones sobre Windows 8, Windows Phone y Windows Azure con objeto de proporcionar a los 465 participantes la formaci´on necesaria para desarrollar con ´exito sus apps. Se sabe que cualquiera de los participantes se ha registrado en al menos una de las tres sesiones, 165 en Windows Azure, 315 en Windows 8, 325 en Windows Phone, 110 en Windows 8 y Windows Azure a la vez, 100 en Windows Azure y Windows Phone a la vez y 60 en las tres sesiones a la vez. Se pide:
a) ¿Cu´antos se han registrado en Windows 8 y Windows Phone a la vez?
b) Si han contratado a un experto en Windows 8 y Windows Phone para resolver dudas, ¿a cu´antos participantes podr´ıa atender?
c) ¿Cu´antos se han registrado ´unicamente en Windows Azure?
Ejercicio 3. (1 punto) En una feria de artesan´ıa he vendido 121 collares al mismo precio cada uno siendo ´este una cantidad exacta de euros no superior a 10 y he tenido que pagar una cuota diaria por cada uno de los 33 d´ıas de venta en concepto de impuestos y alquiler del stand. Si he obtenido un beneficio de 770 euros. Calcula el precio de venta de cada collar y la cuota diaria en impuestos y alquiler del stand siendo ambas cantidades exactas de euros.
Ejercicio 4. (1 punto) En un armario tenemos abrigos, jerseys y pantalones de los siguientes colores: rojo, verde, azul, marr´on y negro. Si suponemos que nos vestimos siempre usando los tres tipos de prendas, se pide:
a) ¿De cu´antas elecciones disponemos a la hora de vestirnos?
b) ¿Y si no queremos repetir color con las distintas prendas?
c) ¿Y si adem´as en el apartado anterior decidimos que el azul y el verde no combinan bien cualesquiera que sea las prendas de esos colores?
d) ¿Y si decidimos llevar siempre alguna prenda de nuestro color favorito pudiendo repetir colores?
e) ¿Y si queremos usar siempre un mismo pantal´on de manera que todas las prendas sean de distinto color?
E.T.S.I. Inform´atica
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica 6 de Febrero de 2014
Ejercicio 1
Demostrar por inducci´on en n que la igualdad siguiente es v´alida para todo n ≥ 2.
n · (n − 1)
n − 1 n
Dados m y n enteros, demostrar que m^2 +n^2 es m´ultiplo de 3 si y s´olo si m y n tambi´en son ambos m´ultiplos de 3.
Ejercicio 2 En Puntolandia una caja sorpresa cuesta 10 puntos, pero el comprador s´olo tiene cheques- regalo por valor de 720 puntos cada uno. Si al cajero s´olo le quedan vales de 230 puntos para dar el cambio, ¿ser´a posible que se lleve una caja sorpresa? ¿cu´antos cheques-regalo pagar´a el comprador y cu´antos devolver´a el cajero? Indica todas las soluciones posibles.
Ejercicio 3 Determina una f´ormula expl´ıcita para el t´ermino general de la sucesi´on un definida por : u 0 = 1, u 1 = 3, u 2 = 4 un+3 − 4 un+2 + 5un+1 − 2 un = 0 Ejercicio 4 Para codificar un mensaje se utiliza el sistema RSA con r=1, y alfabeto { , A, ..., Z}, numerando sus elementos del 00 al 27. Si tomamos como clave p´ublica n = 1147 = 31 × 37 y e = 11:
- Calcula φ(n).
- Cifra el mensaje X=25.
- Determina la clave privada.
Ejercicio 5 En un casino hay una m´aquina tragaperras en la que se gana cuando salen 3 soles. La m´aquina ha sido trucada, de modo que en la primera rueda sale un sol cada 7 jugadas; en la segunda rueda sale un sol cada 6 jugadas y en la tercera rueda sale un sol cada 8 jugadas. Si en la primera rueda sali´o un sol hace 4 jugadas, en la segunda hace 5 jugada y en la tercera hace 3 jugadas, ¿cu´al es el n´umero m´ınimo de jugadas que debe pasar para llevarnos el premio? ¿Cada cu´anto tiempo se repetir´a la coincidencia de los tres soles?
Ejercicio 6 De 200 estudiantes 60 cursan IMD, 100 el cursan CIN, 45 ALN, 40 IMD y CIN, 30 IMD y ALN, 20 CIN y ALN y 10 cursan las tres asignaturas. Como en las tres asignaturas se han programado ex´amenes para el d´ıa siguiente, s´olo los estudiantes que no esten en ninguno de estos curso podr´an ir a la fiesta de la noche. Se quiere saber cu´antos estudiantes podr´an ir a la fiesta.
E.T.S.I. Inform´atica
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica 14 de Enero de 2014
Este examen se evaluar´a sobre 4 puntos.
Ejercicio 1 (1 punto ) Calcula, justificando las respuestas, las siguientes cantidades:
a) 137^9 (mod173). b) 7^4431 ( mod 37). c) Las tres ´ultimas cifras de 21^4004.
Ejercicio 2 (1 punto)
- Justifica si los siguientes sistemas de congruencias tienen soluci´on. (No hay que resol- verlos):
a)
x ≡ 3( mod 6) x ≡ 1( mod 8) x ≡ 2( mod 9)
b)
5 x ≡ 4( mod 9) 2 x ≡ 6( mod 8) x ≡ 2( mod 7)
c)
2 x ≡ 3( mod 8) x ≡ 2( mod 5) 2 x ≡ 3( mod 7)
- En un almac´en tienen entre 500 y 750 latas de refresco. Si se almacenan de 9 en 9 sobran 4, si se almacenan de 8 en 8 sobran 3, si se almacenan de 6 en 6 sobra 1 lata y si se almacenan de 5 en 5 sobran 2 latas. ¿Cu´antas latas hay en total?
Ejercicio 3 (1 punto) Para codificar un mensaje se utiliza el sistema RSA con r=1, y alfabeto { , A, ..., Z}, numerando sus elementos del 00 al 27.
- Analiza si las siguientes claves p´ublicas son correctas: a)(n, e) = (11 × 43 , 11) b)(n, e) = (11 × 43 , 11) c)(n, e) = (43 × 67 , 11) d)(n, e) = (43 × 67 , 13)
- Si tomamos como clave p´ublica n = 29 × 41 y e=3:
a) Calcula φ(n). b) Cifra el mensaje L=12. c) Determina la clave privada.
Ejercicio 4 (1 punto)
- Tenemos 8 fichas, cada una con uno de los siguientes n´umeros: 2,3,4,5,6,7,8,9.
a) ¿Cu´antos n´umeros de 5 d´ıgitos menores de 40.000 se pueden formar con dichas fichas? b) ¿Cu´antos n´umeros de 5 d´ıgitos puedo formar con estas fichas y que sean pares ´o m´ultiplos de 5? c) Si a˜nadimos otra ficha con el n´umero 2. Con esas 9 fichas ¿cu´antos n´umeros de 9 cifras mayores que 800.000.000 puedo formar?
- Con una baraja de 10 cartas ¿de cu´antas formas puedo repartir 4 cartas en una mano a un jugador?
E.T.S.I. Inform´atica
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica 14 de Enero de 2014
Este examen se evaluar´a sobre 4 puntos.
Ejercicio 1 (1 punto )
Halla una f´ormula expl´ıcita para los t´erminos de la sucesi´on definida por:
un = un− 1 + 6un− 2 + 6n − 1 para n ≥ 2 , con u 0 = 0; u 1 = 3
Ejercicio 2 (1 punto)
Demostrar por inducci´on que la siguiente igualdad es cierta para todo n ∈ N.
1 · 3 + 2 · 4 + 3 · 5 + · · · + n(n + 2) =
n(n + 1)(2n + 7) 6
Ejercicio 3 (1 punto)
Demostrar las siguientes cuestiones independientes:
Si c divide a ab, entonces c divide d 1 d 2 , siendo d 1 = mcd(c, a) y d 2 = mcd(c, b)
Si n no es m´ultiplo de 3, entonces n^2 − 1 es m´ultiplo de 3.
Ejercicio 4 (1 punto)
Los precios de 2 tipos de productos son 143 euros y 221 euros por unidad. Sabiendo que se vendieron unidades de los dos tipos de productos y se cobr´o 4862 euros en total, ¿cu´antas unidades se vendieron de cada uno?
E.T.S.I. Inform´atica
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica Tecnolog´ıas Inform´aticas 2 de Septiembre de 2013
Ejercicio 1. (1 punto) Demostrar por inducci´on sobre n que la igualdad,
22
n ≡ 6 (mod 10),
es v´alida para todo n ≥ 2:
Ejercicio 2. ( 1,5 puntos) En Espa˜na hay 323 granjas que cr´ıan caballos, ovejas o vacas teniendo todas ellas al menos un animal. Si 224 tienen caballos, 85 tienen vacas, 57 tienen ovejas y 18 granjas tienen los tres tipos de animales, ¿cu´antas granjas tienen exactamente dos de esos tres tipos de animales?
Ejercicio 3. (1,5 puntos) Un joven va a una tienda y compra 30 camisetas unas de fantas´ıa y otras blancas lisas por valor de 126 euros. Si las camisetas de fantas´ıa valen 12 euros mas que las blancas y ha comprado el m´aximo posible de estas ´ultimas, ¿cu´antas camisetas ha comprado de cada color?
Ejercicio 4. (2,5 puntos)
- Calcula el ´ultimo d´ıgito decimal de 3^515. Enuncia el teorema que hayas utilizado.
- Calcular todos los n´umeros enteros que son m´ultiplos de 11, impares y que al dividirlos por 5 nos dan de resto 3. De entre todos ellos, ¿cu´al es el n´umero natural mas peque˜no?
Ejercicio 5. (1,5 puntos) Hallar el t´ermino general de la sucesi´on definida por:
an − 7 an− 1 + 10an− 2 = 2n^ para n ≥ 2 , con a 0 = 0 y a 1 =
E.T.S.I. Inform´atica
Grado en Ingenier´ıa Inform´atica Tecnolog´ıas Inform´aticas 25 de Enero de 2013
Ejercicio 1. (1 punto) Demostrar por inducci´on sobre n que la igualdad siguiente es v´alida para todo n ≥ 0:
3 + 3 · 5 + 3 · 52 + 3 · 53 + · · · + 3 · 5 n^ =
(5n+1^ − 1)
Ejercicio 2. ( 1,5 puntos) En un conjunto formado por 7 mujeres y 5 hombres, se quiere elegir una comisi´on formada por 6 personas.
a) ¿De cu´antas maneras se puede elegir dicha comisi´on si ha de estar formada por 2 hombres y 4 mujeres?
b) ¿De cu´antas maneras se puede elegir dicha comisi´on si ha de estar formada por al menos 4 mujeres?
c) Si ya hemos elegido una comisi´on de 6 personas, ¿de cu´antas formas podemos repartir la realizaci´on de 4 tareas distintas entre los miembros de dicha comisi´on de manera que cada persona no pueda realizar mas de una tarea?
Ejercicio 3. (1,5 puntos) Un granjero gast´o 1000 euros en la compra de 50 animales entre pollos, conejos y cerdos. Si los pollos los compr´o a 5 euros, los conejos a 10 euros y los cerdos a 50 euros y compr´o animales de las tres clases, ¿cu´antos animales compr´o de cada clase sabiendo que entre pollos y conejos compr´o 36?
Ejercicio 4. (2,5 puntos)
a) Demostrar que 30^99 +61^100 es divisible entre 31. Enuncia el teorema que hayas utilizado.
b) Se ha celebrado una asamblea de estudiantes en el aula magna de la Universidad y queremos saber el n´umero total de asistentes a la misma. Tenemos los siguientes datos: Si se agrupan de 10 en 10 sobran 3, si se agrupan de 7 en 7 sobra 1 y si el doble de los asistentes se agrupan de 9 en 9 sobran 4. Determinar el n´umero total de asistentes a la asamblea.
Ejercicio 5. (1,5 puntos) Hallar el t´ermino general de la sucesi´on definida por:
an = 2(an− 1 + 3an− 2 ) − an− 1 + 2 · 3 n^ para n ≥ 2 , con a 0 = 3 y a 1 =
E.T.S.I. Inform´atica
Introducci´on a la Matem·´aica Discreta Grado en Ingenier`Ia Inform´atica Tecnolog´ıas Inform´aticas 12 de Noviembre de 2010
Ejercicio 1. (1,5 punto) Determina y demuestra si la siguiente proposici´on compuesta es una contradicci´on o una tautolog´ıa: (p → (¬q ∧ r)) → (p → (q → r))
Ejercicio 2. (2 puntos) Demuestra por inducci´on sobre n la igualdad siguiente v´alida para todo n ≥ 1:
1 + 2 + 3 +... n =
n(n + 1) 2
Ejercicio 3. (2 puntos) En un encuentro se reunen 160 inform´aticos de distintos pa`Ises. 85 de ellos hablan ingl´es, 60 hablan castellano, 55 hablan franc´es y 40 hablan ingl´es y castellano. De los que hablan franc´es, 18 hablan ingl´es, 15 castellano y 12 ingl´es y castellano.
a) ¿Cu´antos inform´aticos no hablan ninguno de los tres idiomas?
b) ¿Cu´antos hablan ´unicamente castellano?
Ejercicio 4. (2 puntos) En una empresa a cada trabajador se le asigna una clave con 3 caracteres alfanum´ericos siendo los caracteres v·lidos {a, b, c, d, ...., w, z} y { 0 , 1 , 2 , ..., 9 } (36 caracteres en total).
a) ¿Cu´antos posibles trabajadores (claves distintas) admite esa empresa?
b) ¿Y si la clave no puede tener caracteres repetidos?
c) ¿Y si dos de ellos han de ser forzosamente dos letras distintas y el otro un n˙mero?
Ejercicio 5. (2,5 puntos) Resolver la relaci´on de recurrencia lineal:
an = − 5 an− 1 − 6 an− 2 + 42 · 4 n
con las condiciones iniciales a 0 = 19, a 1 = 56 (y entonces a 2 = 278).
