C a p í t u l o
10
Inductancia
10-1. Inducción mutua
10-2. Autoinducción
10-3. Cálculo de inductancia
10-4. Circuito RL
10-5. Energía en un campo magnético
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C a p í t u l o 10
Inductancia
10-1. Inducción mutua
10-2. Autoinducción
10-3. Cálculo de inductancia
10-4. Circuito RL
10-5. Energía en un campo magnético
J-1. Aplicaciones
Inductancia
10.1. Inducción mutua
Consideremos la figura 10.1 a). Por la bobina 1 circula una corriente i 1 variable en el
tiempo por lo que la misma crea un flujo magnético, el cual al variar induce una fem y una corriente inducida en la bobina 2. Por la ley de Faraday esta fem se expresa en función del flujo variable creado por la bobina 1 (inductor) y que concatena la bobina 2 (inducido), es decir
dt
d 2 N^221
El flujo magnético φ 1 que crea la bobina 1 y también el flujo magnético φ 21 que
concatena la bobina 2, son proporcionales a la corriente i 1 que circula por la bobina 1, por lo
tanto podemos escribir que
φ 21 =Ki 1
Entonces podemos expresar la fem inducida más cómodamente en función de la corriente i 1
que circula por la bobina 1, como
dt
di N K dt
d(Ki)
ε 2 =−N 2 1 =− 2 1
Representando el producto N 2 Kpor una sola constante M 21 , se tiene
dt
di
ε 2 =−M 21 1 (10-1)
en donde M 21 se llama coeficiente de inductancia mutua.
Figura 10-
(a) (^) (b)
i 1 (variable )
i 2 (inducida )
bobina 1
bobina 2
bobina 1
bobina 2
i 2 (variable )
1
2 21 i
N
M
φ = (10-3)
de la misma manera se puede obtener que
2
1 12 i
N
M
φ = (10-3’)
La expresión 10-3 ó 10-3’ nos dice que el coeficiente de inductancia mutua entre dos circuitos es la razón del flujo magnético que concatena uno de ellos a la corriente que circula por el otro. Como vemos el coeficiente de inductancia mutua también puede expresarse según la ecuación 10-3 ó 10-3’ como
Amper
Webervuelta
También podemos decir que la inductancia mutua entre dos circuitos es de un Henry si al circular por uno de ellos una corriente de un amper, el flujo que atraviesa al otro es de un Weber-vuelta Consideremos el circuito mostrado en la figura 10-2, para el cual determinamos el coeficiente de inducción mutua
La corriente i 1 que circula por la bobina ← crea un flujo magnético
i A l
N
φ =B A= μo 1 1
Este flujo es completamente concatenado, tal como se observa en la figura, por la bobina ↑, por lo tanto
φ = φ 21
resulta entonces de acuerdo a la ecuación 10-3,
1
1
1 2 1
i
i A l
N
N
i
N
M μo
i 1 A
N 2
l
N 1 ←
Figura 10-
A
l
N N
M = μo^12
Se observa que el coeficiente de inducción mutua, para el circuito ejemplificado, solamente depende de los parámetros geométricos de las bobinas.
10.2. Autoinducción
Hasta ahora vimos el flujo magnético concatenado por una bobina o circuito en el cual se induce una fem (inducido) y el cual ha sido creado por alguna otra bobina o circuito al cual llamamos inductor. Observemos a continuación la figura 10-3.
Cuando por la bobina circula una corriente se crea un flujo magnético φ como el
indicado en la figura. Si variamos la corriente del circuito, por ejemplo variando la resistencia del mismo, varía el flujo magnético y por lo tanto de acuerdo a la ley de Faraday se inducirá una fem a causa de la variación del propio campo magnético. Esta fem se denomina fuerza contra electromotriz inducida y vale
dt
d N
pero el flujo magnético φ es directamente proporcional a la corriente que circula por la
bobina o espira, es decir
φ=K i
en donde K es un factor que depende de la forma, dimensiones, y otros parámetros geométricos correspondientes a la bobina y al circuito eléctrico. Ahora podemos expresar la fem inducida en función de la corriente i que circula por la bobina, como
dt
di NK dt
d(Ki) N dt
d =−N =− =−
Figura 10-
ε R(variable )
- _
El sentido de la fem autoinducida se encuentra mediante la ley de Ley (Capítulo 9 – Punto 9-3.). La causa de la fem es la variación de la corriente en circuito. Para interpretar el sentido de la fem autoinducida, nos remitimos a la figura 10-5 a) y b), en la cual se
observa un circuito eléctrico constituido por una fuente o batería ε , una resistencia
variable R y una autoinducción L. Si en la figura 10-5 a) consideramos que la corriente del circuito aumenta, el sentido de la fem autoinducida producida en la bobina es opuesta a la corriente, tal como se observa en la figura.
Si en la figura 10-5 b) consideramos que la corriente del circuito disminuye, el sentido de la fem autoinducida producida en la bobina tiene el mismo sentido que la corriente, tal como se observa en la figura.
10.3. Cálculo de inductancia
La inductancia de un dispositivo depende de su geometría. Los cálculos de inducción pueden ser bastantes difíciles para geometrías complicadas, pero los siguientes ejemplos incluyen situaciones comunes para las cuales las inductancias se evalúan con facilidad.
10.3.1. Inductancia de un tramo de longitud l de un solenoide recto
Consideremos la figura 10-6 la cual muestra un solenoide recto por el cual circula una corriente i. El mismo tiene una longitud l , un área transversal A y N vueltas comprendidas en la longitud l.
El campo magnético B en el interior de un solenoide es (ecuación 7-12)
i n i l
N
B =μ o = μo
en donde n es el número de espiras por unidad de longitud.
L
ε L
+ _
R(variable )
_
i(aumenta )
ε L
L
+ _
R(variable )
_
i(disminuye )
Figura 10-
(a) (b)
l
A
i
N =n l 666644444444444444444444444477774444444444444444444444484888
Figura 10-
El flujo magnético φ resulta entonces
φ =B A= μoni A
Aplicando la ecuación 10-5, se tiene
i
nl niA i
N niA i
N
L o o
L = μon^2 A l (10-6)
Observemos que el valor de la inductancia correspondiente a un tramo de longitud l de un solenoide es proporcional a su volumen ( Al)y al cuadrado del número de vueltas por
unidad de longitud. Esto último era de esperar ya que al aumentar el número de vueltas
por unidad de longitud, aumentamos N y también el flujo magnético φ a través de cada
vuelta.
10.3.2. Inductancia de solenoide toroidal
La figura 10-7 muestra un toroide de sección transversal rectangular por el cual circula una corriente io.
Las líneas del campo magnético B para el toroide son círculos concéntricos. Aplicando la ley de Ampere
B dl i ∫ l o
a una trayectoria circular de radio r se tiene
B 2 π r= μoio N
siendo N el número de vueltas e io la corriente en los arrollamientos del toroide.
r
i N B o o
dA
dr r
h
b
a
r
l
d l
B
B
r
i o
r
Figura 10-
(a) (b)
o sea
- = ε dt
di iR L
resolviendo esta ecuación diferencial se obtiene
( e ) R
i LR
−t = 1 − ε (10-8)
A la relación L R presente en la ecuación 10-8 se la denomina constante de tiempo
inductiva, y se la nota como
R
L
τ (^) L = (10-9)
Si analizamos ahora esta constante veremos que tiene las dimensiones de tiempo, es decir
segundo
Amper
Volt seg
Amper
Volt Ohm seg
Amper
Volt Ohm
Henry = = =
Por lo tanto a la ecuación 10-8 la podemos escribir de la siguiente manera
( e ) R
i L
t = ε^1 − −^ τ (10-10)
La figura 10-9 muestra como varía la corriente en un circuito RL en función del tiempo, según la expresión 10-8 ó 10-10.
Como se observa en la figura 10-9, en el instante inicial la corriente es nula y comienza a crecer de manera exponencial hasta alcanzar el valor final (i= εR) para un
tiempo teórico infinito. En la práctica el tiempo para llegar al establecimiento de la corriente i es un valor finito. En la figura 10-9 también se observa que la corriente no tiene un ritmo de crecimiento constante. Crece muy rápidamente al comienzo y cada vez más lentamente a
Figura 10-
0 , 63 ε R
τ L
ε R
6
4
2
(^02 4 6 8 )
i [miliamperes]
t [milisegundos]
. seg
Volt
L Hy
R
L
=^ −
P
Q
medida que transcurre el tiempo. La velocidad de crecimiento de la corriente en el instante inicial se obtiene realizando la derivada de la función en el origen para un tiempo t = 0 , es
decir
τ
τ e R tg dt R
( e ) R
d(
dt
di L t L
t
t
t
t
L
L
=^ =
=
−
=
−
= (^0) 0
0
Como vemos si trazamos la tangente a la curva en el origen en la gráfica de la figura
10-9, en el punto P donde se intercepta con la recta i= ε Rnos determina un tiempo t que
es igual a la constante de tiempo inductiva τ L.
Calcularemos ahora el valor de la corriente cuando el tiempo t es igual a la constante
de tiempo inductiva τ L, entonces
(un %de R ) R
R
( e ) R
( e ) R
( e ) R
i L
L L
t
τ = 1 − −τ^ = 1 − − = 1 − −^1 = 1 − 037 = 063 63
es decir que la corriente alcanza un valor del 63% de su valor final (i= ε R), punto Q en la
figura 10-9. Podemos determinar la caída de tensión en la resistencia V (^) Rcomo
( e ) R R
V i R L
t R = =ε 1 − −^ τ
V ( e L )
t R = ε 1 − −^ τ (10-11)
y la fem inducida en la bobina ε (^) Lde la siguiente manera
(^) ε = −
τ
(^) ε = −
ε = = τ
−τ −
−τ
R
L
e R
e L R
L
dt
( e ) R
d( L dt
di V L L L
L (^) t
L
t
t
L
Figura 10-
V ( e L )
t R
= ε 1 − −^ τ
ε=V (^) R +V L
12
8
4
(^02 4 6 8 )
V [volt]
t [milisegundos]
. seg
Volt
L Hy
R
L
=^ −
L
t VL e
= ε −^ τ
resolviendo esta ecuación diferencial se obtiene
L
t LR
t e R
e R
i^ τ
La figura 10-12 muestra como varía la corriente en un circuito RL en función del tiempo, según la expresión 10-13. Como se observa en la figura 10-12, en el instante inicial la corriente es máxima
(i= ε R )y comienza a decrecer de manera exponencial hasta alcanzar el valor final de cero,
para un tiempo teórico infinito. En la práctica el tiempo para llegar al establecimiento de la corriente i es un valor finito.
En la figura 10-13 se representan los trazos de un osciloscopio mostrando la forma como varía con el tiempo (a) la caída de potencia VR entre los terminales de la resistencia,
(b) la caída de potencial V (^) Len la inductancia y (c) la fem aplicada.
10.5. Energía en un campo magnético
En el punto 10-4, vimos que la bobina o inductor presente en el circuito produce una fem inducida que evita que la batería establezca una corriente instantánea, la batería tiene que efectuar trabajo contra el inductor para crear una corriente. Parte de la energía suministrada por la batería se convierte en calor por efecto Joule disipado en la resistencia, en tanto que la energía restante se almacena en el inductor. Transcribimos la ecuación obtenida de aplicar la 2da^ ley de Kirchhoff al circuito de la figura 10-8 b) Aplicando la 2da ley de Kirchhoff al circuito de la figura 10-8 b), resulta la ecuación diferencial de primer orden que indica el comportamiento del mismo,
dt
di
ε=i R+L
si multiplicamos cada término de esta expresión por la corriente i , se obtiene
Figura 10-
ε=V R +V L
t
t
t
V R
V L
(c)
(b)
(a)
dt
di
εi = i^2 R+iL
El primer término de esta ecuación ε irepresenta la potencia desarrollada por la fuente o
dicha en otras palabras, la energía que entrega al circuito en la unidad de tiempo. El primer término del segundo miembro, representa la potencia que consume la resistencia R la cual
es disipada en forma de calor por efecto Joule i 2 R. El segundo término del segundo
miembro es por lo tanto la potencia desarrollada para crear el campo magnético en la bobina o inductor i Ldidt. Si llamamos U (^) B a la energía almacenada en el elemento
inductor en cualquier tiempo, entonces dU (^) B dt representa la rapidez con que se está
almacenado la energía magnética en la misma, entonces podemos escribir que
dt
di iL dt
dU (^) B
Para encontrar la energía total almacenada en el inductor podemos reescribir esta expresión como dU (^) B = iLdie integrar
= (^) ∫ = ∫
U i U (^) B dUB iLdi B 0 0
2 2
U (^) B = Li (10-14)
La ecuación 10-14 representa la energía almacenada en el campo magnético del inductor cuando la corriente es i. Obsérvese que esta ecuación es similar a la ecuación para la
energía almacenada en el campo eléctrico de un capacitor, q 2 2 C (ecuación 5-32). En
cualquier caso es importante observar que se requiere trabajo para establecer un campo. A continuación desarrollaremos una expresión que determina la forma en que esta energía está distribuida en el campo magnético. Para ello consideremos un solenoide recto como el mostrado en la figura 10-14.
La inductancia para este solenoide está dada por la ecuación 10-
L = μon^2 A l
y el campo magnético en el interior del solenoide está dado por la ecuación 7-
B = μon i
de donde i = B μon, sustituyendo esta expresión conjuntamente con la ecuación 10-6 en la
ecuación 10-4, se obtiene
l
A
i
N =n l 666644444444444444444444444477774444444444444444444444484888
Figura 10-
de donde el campo magnético en el interior resulta
r
i B o
La densidad de energía para los puntos del campo que están a una distancia r, es entonces de acuerdo a la ecuación 10-
2
2 2 2
2 2
2 2
2 8
2 4 r
i r
B i u o o
o o
B π
Calcularemos ahora la energía dentro de un volumen dV cilíndrico de radio r y r+dr y longitud l, es decir
dV= 2 πrl dr
pero a la densidad de energía podemos expresarla como
dV
dU u (^) B = B
entonces
r
dr rldr i l r
i dU (^) B uBdV o 2 o^2
2
para obtener la energía total, integramos la expresión anterior entre a y b
= (^) ∫
b a
o B (^) r
dr U i^2 l
b
a U (^) B oi^2 lln
la ecuación 10-16 representa la energía almacenada en el campo magnético dentro de un cable coaxial en un tramo de longitud l y que transporta una corriente i. La autoinductancia L de este cable la podemos determinar a partir de la ecuación 10-14,
2 2
U (^) B = Li
de donde
(^2) i 2
U
L = B
reemplazando U (^) Bpor expresión 10-16, se obtiene
2
bi
a L oi lln
b
a L olln
J-1. Aplicaciones
J-1-1. Bobina de inducción o de Ruhmkorff
Se denomina bobina de inducción o de Ruhmkorff al aparato que sobre la base de fenómenos de inducción electromagnética permite obtener f.e.m. o voltajes elevados a partir de otras de baja tensión. Este dispositivo consta de: a) una bobina arrollada sobre un núcleo de hierro, denominada primario. Posee generalmente un número bajo de vueltas, por ejemplo 100 vueltas y el hilo conductor con que está realizada esta bobina es grueso, b) un arrollamiento con un gran número de vueltas, generalmente mayor de 1000 vueltas y hasta 10000 vueltas y que se denomina secundario. Este arrollamiento está constituido por un conductor de sección pequeña (por ejemplo 0,2 mm de diámetro) y c) un interruptor automático que abre y cierra el circuito alternadamente (similar al caso de una campanilla eléctrica). En la figura 10-16 se observa una bobina de inducción. Cuando se cierra la llave que está en serie con la batería, el núcleo de hierro se imana, pasando un gran número de líneas magnéticas tanto por el primario como por el secundario. El vibrador (similar al que utiliza una campanilla eléctrica), es atraído por el núcleo de hierro, abriendo el circuito. Al abrir el circuito repentinamente, el núcleo de desimana y las líneas magnéticas salen del bobinado secundario, induciéndose en éste una fem elevada. La intensidad del campo eléctrico resultante en el claro D produce una descarga en el gas, es decir una chispa. Luego el vibrador se abre y cierra el circuito automáticamente, produciéndose chispas en los terminales de salida D. El proceso de cierre y apertura del circuito se realiza en pequeñas fracciones de segundo, luego la fem inducida alcanza elevados valores pudiendo llegar a 15 o 20000 volt. El condensador C funciona como un “depósito” al que fluye la carga cuando el contacto del vibrador se abre. De esa manera el condensador impide que salten chispas en las puntas del contacto, lo cual haría que el metal de que están hechas se vaporizara.
El empleo más conocido de la bobina de inducción o de Ruhmkorff es su aplicación en el circuito eléctrico de los automóviles, loa aparatos productores de rayos X, y en varios elementos o aparatos de laboratorio. En al figura 10-17 se representa el sistema de ignición de un automóvil.
D
Bobinado secundario
Bobinado primario
C
Llave
Núcleo
Vibrador
Figura 10-