Limites: Concepto Matemático Fundamental, Apuntes de Matemáticas

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Tema: Limites

Escuela Profesional: Ingeniería Ambiental

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN MARTÍN - T

Asignatura: Matemática I Docente: Ing. Mg. S. A. Reyes U

Contenidos temáticos

• Introducción a Limites.
• Definición de limites.
• Propiedades de los límites.
• Ejercicios.

En lugar de calcular con x = 1 vamos a acercarnos poco a poco:

x (x 2

- 1)/(x-1) 0.5 1. 0.9 1. 0.99 1. 0.999 1. 0.9999 1. 0.99999 1. Vemos que cuando x se acerca a 1 , **(x 2

• 1)/(x-1)** se acerca a 2 Ahora tenemos una situación interesante: Cuando x= no sabemos la respuesta (es indeterminada ) Pero vemos que va a ser 2. Queremos dar la respuesta "2" pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra "límite" para exactamente a estas situaciones El límite de **(x 2
• 1)/(x-1)** cuando x tiende a 1 es 2 Y con símbolos se escribe así:

𝒙→𝟏

𝟐 − 𝟏 𝒙 − 𝟏

En un gráfico queda así: Así que en realidad no se puede afirmar que x=1. Pero sí se puede afirmar que cuando te acercas a 1, el límite es 2.

¿Los límites sólo son para funciones difíciles?

Los límites valen también cuando ya se sabe el valor al llegar, no es sólo para funciones complicadas. Por ejemplo: 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟏𝟎

Sabemos perfectamente que 10/2 = 5, pero también podemos usar límites. Acercarse al infinito (∞ ) , es una idea muy especial. Sabemos que no podemos alcanzarlo, pero podemos calcular el valor de funciones que tienen al infinito dentro.

Ejemplo ¿Cuál es el valor de 1 ∞

Respuesta: No lo sabemos La razón más simple es que infinito no es un número, es una idea. Así que 1 ∞ es un poco como decir 1 𝑏𝑒𝑙𝑙𝑒𝑧𝑎 o 1 𝑎𝑙𝑡𝑜

A lo mejor podríamos decir que 1 ∞ = 0 ... pero eso es un poco problemático, porque si dividimos 1 en infinitas partes y resulta que cada una es 0, ¿qué ha pasado con el 1? De hecho 1 ∞ es indefinido.

• No podemos decir qué pasa cuando x llega a infinito
• Pero vemos que 1 ∞ va hacia 0 Queremos decir que la respuesta es "0" pero no podemos, así que en matemáticas se usa la palabra "límite" para referirse exactamente a esto El límite de 1 ∞ cuando x tiende a infinito es 0 Y lo escribimos así: 𝐥𝐢𝐦 𝒙→∞

Definición de limites En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático. Pero ¿como lo diríamos en español?: " f(x ) se acerca a un límite cuando x se acerca a un valor" Si llamamos "L" al límite, y " a " al valor al que se acerca x , podemos decir "f(x) se acerca a L cuando x se acerca a a “ 𝒇 𝒙 → 𝑳 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒙 → 𝒂

En resumen tenemos: "|f(x) - L|< 𝜺 cuando | x - a |<" 𝜹

Cuando se cumplen las siguientes condiciones:

se cumple para todos

los 𝜺 > 0

𝜹 existe y es > x no es exactamente igual que a significa 0<| x - a |

"para cada 𝜺 > 0, hay un 𝜹 > 0 que cumple que |f(x)-L|< 𝜺 cuando 0 <| x - a |< 𝜹 "

Formalmente queda así :

Pero la esencia es que cuando x se acerca a a entonces f(x) se acerca a L.

Propiedades de los límites ▪ Límite de una constante 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂

• Límite de la suma y diferencia 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂

𝒙→𝒂

𝒙→𝒂

• Límite de un producto 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂

𝒙→𝒂

𝒙→𝒂

• Límite de un cociente 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂

𝒙→𝒂

𝒙→𝒂

𝒙→𝒂

▪ Límite de una función 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂

𝒙→𝒂

g puede ser una raíz, un log, sen, cos, tg, etc. ▪ Límite de una raíz 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒏 𝒇(𝒙) = 𝒏 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂

▪ Límite de un logaritmo 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂

𝒂

𝒂

𝒙→𝒂

Si n es impar Si n es par f(x) ≥ 𝟎

2.- Resolver el limite lim 𝒙→𝟐

𝟒 − 𝟏𝟔 𝒙 𝟑 − 𝟖 solución: La solución no es tan inmediata como en el caso anterior, es necesario realizar algunas operaciones antes de aplicar el limite, ya que este limite nos conduce a la indeterminación del tipo cero sobre cero. Para su solución existen dos métodos:

er Método , aplicando la factorización: lim 𝑥→ 2 𝑥 4 − 16 𝑥 3 − 8 = lim 𝑥→ 2 𝑥− 2 𝑥 3 +2𝑥 2 +4𝑥+ 8 𝑥− 2 𝑥 2 +2𝑥+ 4

lim 𝑥→ 2 𝑥 3 +2𝑥 2 +4𝑥+ 8 𝑥 2 +2𝑥+ 4

8 + 8 + 8 + 8 4 + 4 + 4

32 12

𝟖 𝟑