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Contabilidad

SESIÓN 13:

Máximos y mínimos de una función

Pregrado

Contabilidad ¿Cuáles son los valores extremos de la función? − 8 − (^3 1 3 5 ) 1 2 3 7 𝑨 𝑩 𝑫 𝑬 𝑭 𝑮

𝑪 − 1

Contabilidad Número o punto crítico Un número crítico de una función es un número en el dominio de tal que o no existe. Ejemplo Solución Encuentre los números críticos de Hallamos la derivada de la función 𝑓 ′ (^ 𝑥 )^ = 12 − 8 𝑥 5 𝑥 2 5 De , se tiene: 12 − 8 𝑥 5 𝑥 2 5 = 0 → 𝑥 = 3 2 Para , se tiene no existe. 12 − 8 𝑥 5 𝑥 2 5 = 12 0 = ± ∞ Por tanto, los puntos críticos son 0 y 2.

Contabilidad Criterio de la primera derivada para los extremos relativos Suponga que f es continua en un intervalo abierto que contiene el valor crítico y es diferenciable en excepto posiblemente en. Si cambia de positiva a negativa cuando crece al pasar por , entonces tiene un máximo relativo en. Si cambia de negativo a positiva cuando crece al pasar por , entonces tiene un mínimo relativo en. Si no cambia de negativo a positiva (o de positivo a negativo) cuando crece al pasar por , entonces carece de extremo relativo en.

𝑓 ′ ( 𝑥 ) < (^0) 𝑓 ′^ ( 𝑥 ) > 0

𝑓 ′ 𝑓 ′^ ( 𝑥 ) > 0 (^ 𝑥^ )^ <^0

𝑓 ′ ( 𝑥 ) < 0 𝑓 ′ ( 𝑥 ) < 0

Contabilidad Evaluemos la función Si Si Por tanto, las coordenadas de los extremos relativos es: la función tiene un máximo relativo. la función tiene un mínimo relativo.

1 2 − 2 Máximo relativo Mínimo relativo

Contabilidad Criterio de la segunda derivada para los extremos relativos Suponga que Si , entonces tiene un mínimo relativo en. Si , entonces tiene un máximo relativo en. La prueba de la segunda derivada no es aplicable cuando: 

𝒚  no existe.

𝑓 ′^ ′^ ( 𝑎 ) > 0

𝑓 ′^ ′^ ( 𝑎 ) < 0

Contabilidad Aplicación de máximos y mínimos Implica modelar situaciones que involucran la maximización o la minimización de cantidades. Ejemplo Aplicativo 1

La función de costo total de un fabricante está dada por

donde c es el costo total de producir q unidades. ¿Para qué nivel de producción será el costo

promedio por unidad un mínimo? ¿Cuál es este mínimo?

Solución

La cantidad a minimizar es el costo promedio → 𝐶 ( 𝑞 )=

𝑞 2 4

• 3 𝑞 + 400 𝑞 = 𝑞 4
• 3 + 400 𝑞

Contabilidad Hallemos los puntos críticos, derivando la función

2 Si → ( 𝑞 − 40 )( 𝑞 + 40 )= 0 →𝑞 = 40 ( 𝑞 > 0 ) Si mínimo. Aplicando el criterio de la segunda derivada 𝐶 ′ ′ ( (^) 𝑞 ) (^) =

3 Por tanto, existe un mínimo en , y su costo promedio mínimo es .

Contabilidad