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Documento que presenta ejemplos prácticos sobre el uso de matlab en el ámbito de la biología. Se abordan temas como la definición y operaciones con vectores y matrices, resolución de sistemas lineales, ecuaciones diferenciales, cálculo de raíces y integrales definidas.
Tipo: Apuntes
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MATLAB es un programa para realizar cálculos de muy diversos tipos: operaciones elementales, resolución de sistemas lineales, cálculo de integrales, cálculos con polinomios, resolución de ecuaciones diferenciales, ... y muchos otros. Además, se pueden realizar con facilidad gráficos matemáticos de distintos tipos, en dimensión 2 y en dimensión 3.
1.1 ¿Cómo se escriben los números?
2.0143. -2.98+0.23-14+ 6+4/2+3. 5.22*3.1416/6- Se puede utilizar MATLAB como simple calculadora, escribiendo expresiones aritméticas y terminando por RETURN (
). Se obtiene el resultado inmediatamente a través de la variable del sistema ans (de answer). Si no se desea eco (es decir, la respuesta inmediata a cada orden) en el terminal, deben terminarse las órdenes por “ punto y coma ”. 1.3 Orden en que se realizan las operaciones aritméticas Cuando en una expresión hay varios operadores aritméticos, el orden en que se realizan las operaciones es determinante: las operaciones NO SE EFECTÚAN SIEMPRE EN EL ORDEN EN QUE ESTÁN ESCRITAS. El orden viene determinado por las reglas siguientes:
Rosa Echevarría Líbano – Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico – Universidad de Sevilla
Introducción a la Informática – Fac. Biología – Apuntes de MATLAB 3 EJEMPLOS
ab= AB= x1=1/ y1=1-4^ 1.4 Variables predefinidas Algunos nombres están pre-definidos por MATLAB: VARIABLES PREDEFINIDAS ans variable del sistema para almacenar el resultado de^ evaluar expresiones i , j (^) unidad imaginaria : raiz cuadrada de -
Inf “Infinito”: número^ mayor que^ el más grande que se^ puede almacenar NaN “Not a Number : magnitud no numérica resultado de cálculos indefinidos 1.5 Funciones matemáticas elementales FUNCIONES MATEMÁTICAS ELEMENTALES sqrt(x) raiz cuadrada sin(x) seno (en radianes) exp(x) exponencial cos(x) coseno (en radianes) log(x) logaritmo neperiano^ tan(z) tangente (en radianes) log10(x) logaritmo decimal asin(x) arco-seno acos(x) arco-coseno atan(x) arco-tangente El argumento de las funciones puede ser un número, una variable o una expresión conteniendo ambas cosas. Cuando en una expresión aparece alguna función, su valor se calcula antes que cualquier otra cosa. EJEMPLOS
sqrt(7) sqrt(7/5) a=2.1; sqrt(2a) exp(3) exp(x) 7exp(5/4)+3.
2. VECTORES Y MATRICES 2.1 Definición de vectores y matrices Un vector-fila de dimension n se puede definir en MATLAB escribiendo sus componentes entre corchetes rectos ( [ ] ) y separándolos por comas o espacios en blanco: >> v=[1,-1,0,2.88] La orden anterior crea en MATLAB una variable de nombre v que “contiene” un vector-fila de longitud 4. Un vector-columna se crea igual, pero separando las componentes por “punto y coma”: >> w=[0;1;2;3;4;5] crea una variable de nombre w, que “almacena” un vector-columna de longitud 6.
Introducción a la Informática – Fac. Biología – Apuntes de MATLAB 4 Las matrices se definen de forma similar a los vectores, introduciendo sus filas como vectores-fila y separando unas filas de otras mediante punto y coma o saltos de línea. >> A=[1,2,3 ; 4,5,6 ; 7,8,9]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 Si A y B son dos matrices que tienen el mismo número de filas, entonces [A,B] es la matriz que se obtiene "pegando" B al lado de A : Análogamente, si A y B tienen el mismo número de columnas, entonces [A;B] es la matriz que se obtiene "pegando" B debajo de A : EJEMPLO
A=[1,2;3,4] B=[1;1] C=[A,B] 2.2 Operaciones con vectores y matrices Si son de las mismas dimensiones, los vectores / matrices se pueden sumar y restar EJEMPLO v=[1;-3;0] w=[0;3;-2] z=v+w Los vectores / matrices se pueden multiplicar por un número: se multiplica cada elemento por dicho número EJEMPLO A=[1, 2;-3;-1]; z=3A Una matriz se puede multiplicar por un vector columna si coincide el número de columnas de la matriz con la longitud del vector EJEMPLO A=[1, 2;-3;-1] v=[2;-1] z=Av Las funciónes det(A) rank(A) calculan, respectivamente, el determinante y el rango de una matriz A 2.3 Resolución de sistemas lineales de ecuaciones Un sistema lineal de ecuaciones
Rosa Echevarría Líbano – Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico – Universidad de Sevilla
Introducción a la Informática – Fac. Biología – Apuntes de MATLAB 6 EJEMPLOS
ezplot('log(x)') La función ln(x) sólo está definida para x>0; la orden anterior dibuja su gráfica en ezplot('sqrt(1-x^2)') sólo está definida en [-1,1] Una vez hecha una gráfica, se puede modificar la amplitud de los ejes (el rectángulo del plano XY que es visible), mediante la orden: >> axis([ xmin , xmax , ymin , ymax]) EJEMPLO ezplot('sqrt(1-x^2)') axis([-2,2,-1,2]) MODIFICACIONES DE LAS GRÁFICAS Pulsando con el ratón en el botón "Edit Plot" de la barra de herramientas, se pueden modificar algunas características de la gráfica, como el grosor de la línea, el color, ... Pulsando con el ratón en el botón "Insert Text" de la barra de herramientas, se puede incluir texto en la gráfica ... Se puede añadir un título y etiquetas a los ejes: title('Mis gráficas') xlabel(‘Eje de las x’) ylabel(‘Lo que quieras’) Cada vez que se dibuja una gráfica nueva se borra la anterior, si la había. Si se desean hacer varias gráficas, “una encima de otra”, sin que se borren las anteriores, se pueden usar las órdenes hold on ... hold off
Introducción a la Informática – Fac. Biología – Apuntes de MATLAB 7 La orden hold on hace que no se borre el contenido de la ventana gráfica cuando se den nuevas órdenes de dibujo. Se suspende con hold off EJEMPLO
ezplot('sin(x^2)x/2',[-4,4]) hold on ezplot('0',[-4,4]) ezplot('x^2-1/x',[-4,4]) hold off También se pueden dibujar varias gráficas separadas en la misma ventana, usando la orden >> subplot(m,n,p) Esta orden divide la ventana gráfica en mxn “ejes” (cuadros blancos), y se dispone a dibujar en el p-ésimo de ellos. Los ejes se numeran correlativamente, de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo. EJEMPLO subplot(2,2,1) ... dibujos ... subplot(2,2,3) ... dibujos ... subplot(2,2,1) ezplot('x/2',[0,4]) subplot(2,2,2) ezplot('sin(3x)') subplot(2,2,3) ezplot('x^2',[0,4]) subplot(2,2,4) ezplot('cos(x/2)',[-1,4])
Barra de título de la Ventana gráfica Barra de herramientas
Zoom out Zoom in Insertar línea Insertar flecha Insertar texto Editar dibujo
Rosa Echevarría Líbano – Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico – Universidad de Sevilla
Rosa Echevarría Líbano – Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico – Universidad de Sevilla
Introducción a la Informática – Fac. Biología – Apuntes de MATLAB 9 Calcular las raíces de la ecuación Vemos que se trata de un polinomio de grado 3:
p=[1,-5/2,1/2,1] roots(p) ans =
1.0000 -
Calcular las raíces de la ecuación
p=[1,0,0,1] roots(p) ans = -1. 0.5000 + 0.8660i 0.5000 - 0.8660i 4.3 Mínimos de funciones Para calcular el (punto en el que se produce el) mínimo de una función y=f(x) en un intervalo [a,b] , se puede usar la orden: >> fminbnd(‘expresion_de_la_funcion’,a,b) EJEMPLO Calcular el mínimo de la función
fminbnd('2*x^2+x-1',-2,2) ans = -0. Para calcular el máximo de una función y=f(x) en un intervalo [a,b] , hay que calcular el mínimo de la función y=-f(x) en el mismo intervalo
