Transformaciones Lineales: Operaciones con Vectores y Matrices, Apuntes de Matemáticas

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MATEMÁTICA BÁSICA

TRANSFORMACIONES LINEALES

¿Qué le ocurrió a la imagen?

• Operaciones con vectores.
• Resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
• Operaciones con matrices.

¿Qué necesitas recordar?

LOGRO DE LA SESIÓN

Al finalizar la sesión, el estudiante, prueba que una

transformación es una trasformación lineal además encuentra

su núcleo (kernel) e imagen de la transformación lineal

utilizando el algebra vectorial tanto en ℝ

2

como en ℝ

3

en

forma precisa.

Caso de Estudio

Transformación de un vector de producción en vector de materia

prima.

Un fabricante elabora cuatro tipos de productos distintos, de los cuales

cada uno requiere 2 tipos de materiales. Se identifican los cuatro

productos como 𝑃

1

2

3

y 𝑃

4

, y a los materiales por 𝑀

1

y 𝑀

2

. En la

siguiente tabla se muestra el número de unidades de cada materia prima

que se requiere para fabricar una unidad de cada producto.

Si se produce cierto número de los cuatro productos, ¿Cuántas

unidades de cada material se necesitan?

TRANSFORMACIÓN LINEAL 𝑇: 𝑉 ⟶ 𝑊

Ejemplo

Sea 𝑇: ℝ

2

3

definida por 𝑇

. ¿T es una transformación

lineal?

Solución:

Sean

𝑥

1

𝑦

1

,

𝑥

2

𝑦

2

∈ ℝ

2

Tal que:

1

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

1

1

2

2

, α ∈ ℝ.

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Por lo tanto T es una transformación lineal.

𝑻 𝜶

𝒙

𝟏

𝒚

𝟏

= 𝜶𝑻

𝒙

𝟏

𝒚

𝟏

𝑻

𝒙

𝟏

𝒚

𝟏

𝒙

𝟐

𝒚

𝟐

= 𝑻

𝒙

𝟏

𝒚

𝟏

• 𝑻

𝒙

𝟐

𝒚

𝟐

x

y

z

Proyección sobre el plano XY

Ejemplo

Sea 𝑇: ℝ

3

3

una transformación lineal tal que

• 𝑇 0 , 1 , 0 = 1 , − 2 , 3 Determine 𝑇( 2 , 3 , − 1 )

Ejemplo

Solución:

Expresamos el vector ( 2 , 3 , − 1 ) como una combinación lineal de los

vectores canónicos.

Aplicando la transformación lineal a ambos lados:

𝑇( 2 , 3 , − 1 ) = 2 T (1, 0, 0) + 3 T (0, 1, 0) – 1 T (0, 0, 1)

Reemplazamos los datos proporcionados y realizando las operaciones:

Determine el núcleo (kernel) de la siguiente transformación lineal

Ejemplo

Solución:

El núcleo de T se obtiene haciendo el vector

Así:

Solucionamos el sistema usando el método de Gauss

Transformar la matriz aumentada del sistema en una matriz en forma

escalonada

2 3 0

105

15 0

2

x z

y z

− + =







− − =





De la ecuación 2 encontramos la variable y :

De la ecuación 1 encontramos la variable x :

3

2 3

2

− x = − z  x = t

− y = z  y = − t

Hacemos:

Obteniendo el siguiente sistema:

Imagen de una transformación lineal. Sea T una

transformación lineal de ℝ

𝑛

a ℝ

𝑚

. El rango o imagen de T

es el subconjunto formado por todas las imágenes de T

en ℝ

𝑚

𝑚

, 𝑤 = 𝑇 𝑣 , para algún 𝑣 ∈ ℝ

𝑛

IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Teorema de las dimensiones.

Dada la transformación lineal 𝑇: ℝ

𝑛

𝑚

. La relación entre

las dimensiones del núcleo (kernel) y de la imagen de T es:

dim 𝐾𝑒𝑟 𝑇 + dim 𝐼𝑚 𝑇 = 𝑛

Determinar la imagen de la trasformación lineal de ℝ

3

en ℝ

3

definida como:

Ejemplo

Solución:

La imagen de T está formada por vectores de la forma tal que:

𝑟

𝑠

𝑡

El problema consiste en hallar el vector en el sistema de ecuaciones:

𝑟

𝑠

𝑡

Resolvemos el sistema usando el método de Gauss

Representación matricial de una transformación lineal.

Sea 𝑇: ℝ

𝑛

𝑚

una transformación lineal. Sea 𝐵 = 𝑒

1

2

𝑛

la

base (ordenada) canónica de ℝ

𝑛

. Definimos la matriz asociada a 𝑇 como

𝑇

1

𝑛

Donde 𝑇(𝑒

𝑖

) esta dispuesto en columnas.

Con esto tenemos que

𝑇

con 𝑣 dispuesto en columna.

MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN

LINEAL

Determine la matriz asociada a la transformación definida por

Ejemplo

Solución:

Definimos la base canónica:

Verificando:

𝑇

Entonces la matriz asociada a la TL es:

𝐵 =

1

0

0

,

0

1

0

,

0

0

1

Reemplazando la base en la Transformación Lineal (TL).