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Determinación del valor de la aceleración de
la gravedad utilizando un péndulo simple
Mª del Sol Urbano Merina
Grado en Ciencias Físicas. Curso 1º. Grupo A
Laboratorio de Física I. Práctica 5
Fecha de realización: 16 de mayo de 2018
Fecha de entrega: 23 de mayo de 2018
1. Introducción.
El objetivo de la práctica es medir la aceleración de la gravedad, g , en el
laboratorio, a partir del estudio del movimiento armónico de un péndulo simple.
Un péndulo simple está formado por una masa m , suspendida de un punto fijo
O por medio de u hilo inextensible de masa despreciable y longitud L , que oscila
alrededor de otro punto fijo en la misma vertical que O.
Se trata de un sistema que transforma la energía
potencial relativa a su altura vertical en energía cinética
y viceversa, debido a la acción de la fuerza gravitatoria
m*g que ejerce la Tierra sobre la masa m (más
concretamente, a la componente de esta fuerza
perpendicular al hilo, que se dirige hacia la posición de
equilibrio del péndulo; la otra componente, en la
dirección del hilo, tiene igual módulo pero con sentido
opuesto a la tensión que el hilo produce sobre la masa,
por lo que no interviene en el movimiento del péndulo).
Imagen 1. Representación del movimiento de un péndulo simple ideal en el que se han
dibujado las fuerzas que intervienen.
Aplicando la conservación de la energía puede llegarse a la ecuación de
movimiento del péndulo:
𝑑
2 𝜃
𝑑𝑡
2
𝑔
𝑙
𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0 Ec. 1
Para pequeñas amplitudes
podemos aproximar 𝑠𝑒𝑛𝜃≅𝜃, de forma que
el movimiento oscilatorio del péndulo es armónico simple, y el periodo de oscilación T
viene dado por la fórmula:
𝑙
𝑔
Ec. 2.
Es decir, el periodo de oscilación T no depende ni de la masa m ni (para
amplitudes pequeñas) de la amplitud inicial, por lo que puede calcularse g a partir de
medidas de tiempo que permiten calcular T y diferentes longitudes para el péndulo L ,
utilizando la siguiente expresión:
4 𝜋
2 𝐿
𝑇
2
Ec. 2.
2. Método experimental.
En primer lugar, para la correcta realización de la práctica se necesita el siguiente
material: péndulo, cronómetro para medir el tiempo de oscilación, dispositivo para
variar la longitud del péndulo y regla graduada que permita medir esta longitud.
Debe tenerse en cuenta que para todas las medidas de la longitud L del péndulo
tomaremos una incertidumbre sistemática de 2 mm, es decir, 0,002 m debida a la
precisión de la regla (milimetrada) añadiendo 1 mm contemplando un posible error del
observador.
Para la incertidumbre sistemática en la
medida del tiempo de oscilación se ha realizado
una estimación del tiempo de reacción del
observador tomando diferentes medidas,
resultando una E sistemática = 0,10 s, despreciando la
precisión del cronómetro por ser
considerablemente menor, de 0,01 s.
Comenzaremos tomando medidas
disponiendo el péndulo con una longitud en torno
a 20 cm. Se separa de su posición de equilibrio y se
deja oscilar libremente, evitando todo movimiento
lateral y rotatorio del mismo. Se cronometra la
duración de 30 oscilaciones completas (una
oscilación: ida y vuelta al origen) y se repite cuatro
veces esta medida sin cambiar la longitud.
A continuación, se cambia la longitud y se
realizan cuatro medidas del nuevo periodo, así
hasta utilizar cuatro longitudes diferentes que en
este caso varían entre los 20 cm y los 50 cm
aproximadamente.
Imagen 2. Material utilizado a lo largo de la práctica. La fotografía se ha
obtenido de la página web de la asignatura.
3. Resultados experimentales.
Tras tomar cuatro medidas de tiempo para treinta oscilaciones en cada una de las
cuatro medidas de longitud del péndulo, se ha calculado el valor medio de los
correspondientes tiempos y su desviación típica, utilizando las funciones de Excel
PROMEDIO y DESVEST, respectivamente.
(Las celdas grises representan medidas directas tomadas en el laboratorio.)
Una vez calculado el tiempo medio y su incertidumbre para cada longitud
utilizamos este valor para calcular el periodo de oscilación T correspondiente a cada
medida de L a partir de la siguiente expresión:
𝑡
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
Ec 4.
La incertidumbre absoluta de T se calculará teniendo en cuenta que se han
cronometrado 30 oscilaciones y utilizando la siguiente expresión obtenida utilizando el
método de las derivadas parciales, que depende la incertidumbre de t :
∆𝑡
𝑛° 𝑑𝑒 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
| Ec. 4.
El porcentaje de error relativo en esta medida se obtendrá con el siguiente cálculo:
δ T
∆𝑇
𝑇
Tabla 2. Periodos de oscilación T del péndulo en segundos para cada longitud con sus
correspondientes incertidumbres absolutas y relativas.
Las medidas de la longitud del péndulo también se ven afectadas por una
incertidumbre absoluta y relativa. El error sistemático que se ha tenido en cuenta para L
es, como ya se ha explicado, de 0,002 m, que se corresponde con la incertidumbre
absoluta de esta magnitud.
Para el cálculo del porcentaje de incertidumbre relativa se ha utilizado la
siguiente expresión:
δ L
∆𝐿
𝐿
Periodo de oscilación del péndulo para cada longitud con su incertidumbre
Periodo de
oscilación T (s)
Incertidumbre
absoluta de T
∆𝑇 (s)
Incertidumbre
relativa de T
δ T
Tabla 3. Longitudes del péndulo L en metros con sus correspondientes incertidumbres
absolutas y relativas.
A partir de los valores obtenidos podemos ahora estimar el valor de g utilizando
la Ec. 2.2, lo cual haremos para las longitudes del péndulo máxima y mínima con sus
respectivos periodos de oscilación. La incertidumbre del valor resultante podrá
calcularse utilizando el método de las derivadas parciales obteniéndose:
𝜕𝑔
𝜕𝐿
2
𝜕𝑔
𝜕𝑇
2
Ec. 6
g ( L mín ) = 9,24 ± 0,42 m/s
2
g ( L máx ) = 9,794 ± 0,070 m/s
2
A continuación, representaremos gráficamente los valores de T
2 frente a L y
ajustaremos los puntos obtenidos experimentalmente a una recta por el método de
mínimos cuadrados. A partir de esta recta de regresión lineal podemos determinar el
valor de g si recordamos la Ec. 2.2:
2
=
4 𝜋
2
𝑔
∗ 𝐿 Ec. 7.
De donde se deduce que en la recta de ajuste:
m =
4 𝜋
2
𝑔
Ec. 7.
y, si las medidas están bien realizadas, el valor de c debe ser muy cercano a 0.
Utilizando la función interna de Excel ESTIMACION.LINEAL calculamos la
pendiente de la recta y su incertidumbre, al igual que la ordenada en el origen con su
correspondiente error. Debe tenerse en cuenta para las incertidumbres que éstas no son
las obtenidas directamente con la función de Excel mencionada, sino que deben
multiplicarse por el coeficiente de la t de Student con un nivel de confianza de 95%
correspondiente al número de medidas realizadas menos dos (en este caso t 2 =4,30).
Medidas para la longitud del péndulo con su incertidumbre
Longitud del
péndulo L (m)
Incertidumbre
absoluta de L (m)
Incertidumbre
relativa de L
δL (%)
4. Discusión de resultados y conclusiones.
Una vez estudiado el fenómeno y recopilados los datos se prueba que, en general,
hemos obtenido resultados experimentales que son bastante compatibles con los valores
teóricos, además de ser algunos bastantes precisos.
Comenzando por los valores de g calculados para las longitudes máxima y
mínima puede observarse que, aunque el dato calculado para L mín se aleja un poco del
valor teórico de g=9,81 m/s
2 y no es compatible con él, el segundo valor de g calculado sí
que se acerca mucho más y es perfectamente compatible con el valor teórico si se tiene
en cuenta su incertidumbre. Además de ser mucho más exacto, el valor de g calculado
para L max es también bastante más preciso, como puede verse si se comparan sus
incertidumbres relativas (4,5% y 0,71%, respectivamente). Estudiando estos resultados
puede sospecharse que la causa de que el primer valor sea menos exacto y preciso es
quizá que en la primera medida de tiempo para la longitud más corta se ha contado una
oscilación menos, error del observador, por lo que la desviación típica de estos valores
es mucho mayor que para los demás, y por tanto también la incertidumbre en el tiempo,
que se propaga al periodo y al valor de g. Esto podría corregirse tomando una nueva
medida de tiempo para esta longitud o teniendo en cuenta para el cálculo del periodo
medio que en este primer valor de t pudieron darse 29 oscilaciones en lugar de 30.
No obstante, a pesar de este posible error, en general las incertidumbres
disminuyen conforme aumenta la longitud del péndulo, y se van obteniendo valores
más exactos y precisos dado que la parte de la incertidumbre relacionada con el periodo,
que es la que más afecta a la incertidumbre total, se va haciendo cada vez menor.
Comparando estos valores con el que se ha obtenido después mediante el ajuste
lineal, éste es más preciso y exacto que el calculado a partir de la longitud mínima, pero
menos que el que se calculó con la longitud máxima del péndulo. No obstante, sigue
siendo perfectamente compatible con el valor real y podría decirse que es bastante
preciso, pues su error relativo es del 3,8%.
Para mejorar los resultados obtenidos podrían haberse tomado medidas para una
longitud del péndulo mayor, pues así hubiera disminuido la incertidumbre. De todas
formas, se ha visto que la mayor fuente del error ∆g proviene de la medida del periodo,
que podría haberse mejorado midiendo más oscilaciones para cada longitud. Otra
posible fuente de error es que no se ha tenido en cuenta la masa del hilo. Para disminuir
el error debido a ésta, y también para disminuir el efecto del rozamiento (aumentando
la fuerza de la gravedad con respecto a éste), podría aumentarse la masa del péndulo.
Por último, cabe mencionar que, aunque se ha considerado g=9,81 m/s
2 , este valor
que tomado como teórico no coincide exactamente con el valor de la aceleración de la
gravedad que puede medirse en las condiciones del experimento, pues debe
especificarse a las condiciones de latitud y altura sobre el nivel del mar a las que se
realizó la experiencia. No obstante, el valor real será muy parecido a esta aproximación,
por lo que las conclusiones del experimento serán igualmente válidas.
5. Anexo.
1. Cálculo de la media y la desviación típica de los tiempos correspondientes
a cada longitud.
Además de utilizando Excel, pueden calcularse la media aritmética y la
desviación típica correspondientes a las cuatro medidas de tiempo para treinta
oscilaciones en cada longitud utilizando las siguientes expresiones en cada uno de los
casos:
1
𝑛
𝑖
𝑛
𝑖= 1
Ec. 9.
Siendo en este caso n=4 el número de datos y tomando las diferentes medidas se
obtiene:
L = 26,89 s 𝑡 L = 32,66 s 𝑡 L = 37,73s 𝑡 L = 42,21s
Para el cálculo de la desviación típica Ϭ n- 1 se utiliza la siguiente expresión:
𝑛− 1
1
𝑛− 1
𝑖
2
𝑛
𝑖= 1
Ec. 9.
En este caso, a partir de los datos medidos se obtiene:
𝑛− 1
( L1 )= 0,32 s Ϭ 𝑛− 1
( L 2 )= 0,088 s Ϭ 𝑛− 1
( L 3 )= 0,074 s Ϭ 𝑛− 1
( L4 )= 0,039 s
2. Incertidumbre del valor de g para las longitudes máxima y mínima del
péndulo.
𝜕𝑔
𝜕𝐿
2
𝜕𝑔
𝜕𝑇
2
(Ec. 6)
Donde:
𝜕𝑔
𝜕𝐿
4 𝜋
2
𝑇
2
𝜕𝑔
𝜕𝐿
2
= m/s
2
𝜕𝑔
𝜕𝑇
8 𝜋
2 𝐿
𝑇
3
𝜕𝑔
𝜕𝑇
2
= m/s
2
∆g ( L mín ) = ± 0,42 m/s
2
∆g ( L máx ) = ± 0,070 m/s
2
L
mínima
L
máxima
L
mínima
L
máxima
