UNIVERSIDAD DE LA LAGUNA
GRADO EN QUÍMICA
INTRODUCCIÓN EXPERIMENTAL EN QUÍMICA FÍSCA
INFORMES MATHCAD
Alumno: José Domingo Sánchez Gutiérrez
Jorge Suárez Ortega
Profesor: Alberto Hernández Creus
Diciembre, 2016
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Asignatura: Cuántica, Profesor: , Carrera: Química, Universidad: ULL
Tipo: Apuntes
2016/2017
1 / 182
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UNIVERSIDAD DE LA LAGUNA
GRADO EN QUÍMICA
INTRODUCCIÓN EXPERIMENTAL EN QUÍMICA FÍSCA
INFORMES MATHCAD
Alumno: José Domingo Sánchez Gutiérrez
Jorge Suárez Ortega
Profesor: Alberto Hernández Creus
Diciembre, 2016
UNIVERSIDAD DE LA LAGUNA
GRADO EN QUÍMICA
INTRODUCCIÓN EXPERIMENTAL EN QUÍMICA FÍSCA
BLOQUE I:
PARTÍCULA EN LA CAJA
Alumno: José Domingo Sánchez Gutiérrez
Jorge Suárez Ortega
Profesor: Alberto Hernández Creus
Diciembre, 2016
ÍNDICE
- Parametrización…………………………………………………………….
- Función de estado y Densidad de probabilidad…………………………….
- Valor medio de la posición ………………………………………………...
- Probabilidad de encontrar la partícula…………………………………….
- Principio de incertidumbre………………………………………………..
- Principio de superposición………………………………………………..
- Estudio PID 2D y 3D……………………………………………………...
- Principio de correspondencia y cuantización de la energía……………….
Parametrización
h 6.6262 10 − 34 := ⋅ J s⋅ n := 1
F ( x L, ) sin n ⋅ π⋅x L
N (L )
0
L F x L( , ) x
⋅ F x L( , )
d
N L( )
L
− 1 2 →
Esto permite tener una función mecanocuánticamente aceptable, puesto que cumple las siguientes condicones:
-Contínua -Monoevaluable -Cuadráticamente integrable -Normalizada, es decir:
F x L( , ) x
⋅ F x L( , )
d = 1
Función de estado y Densidad de probabilidad
Para el estado fundamental, n=
n := 1 L := 1
x :=0 0.01, ..L
Ψ ( x L, )
L
sin
n ⋅ π⋅x L
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
1
2
FUNCIÓN DE ESTADO
Ψ ( x L, )
x
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
1
2
DENSIDAD DE PROBABILIDAD
Ψ ( x L, )^2
x
En el modelo PIB, el estado fundamental corresponde a n=1, puesto que con n=0, la partícula en la caja no existe. La representación de la función de estado no nos proporciona información relevante, por lo que se representa también la densidad de probabilidad (^) Ψ ( x L, )^2. En dicho gráfico, se puede observar que la probabilidad de encontrar a la partícula en torno a L/2 es máxima. Esto se podrá comprobar más adelante con el análisis de la probabilidad y del valor medio de la posición de la partícula en la caja.
Para el caso de n=
n := 3 L := 1
x :=0 0.01, ..L
Ψ ( x L, )
L
sin
n ⋅ π⋅x L
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
− 2
− 1
0
1
FUNCIÓN DE ESTADO
Ψ ( x L, )
x
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
1
2
DENSIDAD DE PROBABILIDAD
Ψ ( x L, )^2
x
Para el segundo nivel exitado, n=3, se observa que la densidad de probabilidad presenta tres máximos, lo que podemos corroborar que el número de máximos es proporcional a "n".
De igual forma que denotamos en el primer nivel exitado, la representación de la función de estado presenta dos nodos, lo que podemos formular cómo que el número de nodos que presenta la función de estado es proporcional a:
Este hecho se analizará más adelante en este informe.
nodos :=n − 1
Valor medio de la posición
Teoricamente se define como el valor medio de la posición de la partícula en la caja :
n := 1 L := 1
x :=0 0.01, ..L
Ψ ( x L, )
L
sin n ⋅ π⋅x L
xm 0
L Ψ ( x L, ) x
⋅ x⋅Ψ (x L , )
:= d
xm =0.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
1
2
FUNCIÓN DE ESTADO
Ψ ( x L, )
x
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
1
2
DENSIDAD DE PROBABILIDAD
Ψ ( x L, ) 2
x
Para el modelo PIB-1D, el valor medio de la posición es L/2 independientemente del valor de "n".
Nodos en el primer nivel exitado n=
n := 2 L := 1 x :=x
Ψ ( x L, )
L
sin
n ⋅ π⋅x L
x
Ψ (x L , ) d^2 d
resolver x,
Como es una función par, los valores son: L/4 y 3L/
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 − 2
− 1
0
1
FUNCIÓN DE ESTADO
Ψ ( x L, )
x
x :=0 0.001, ..L
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0
1
2
DENSIDAD DE PROBABILIDAD
Ψ ( x L, )^2
x
En el caso del primer nivel exitado, n=2, se observa que hay un nodo en la función de estado, y así se puede comprobar:
nodos := n − 1 nodos = 1
Este nodo se encuentra en L/2, donde la densidad de probabilidad en un incremento finito en torno a este punto es mínimo.
Nodos en el segundo nivel exitado n=
n := 3 L := 1 x :=x
Ψ ( x L, )
L
sin
n ⋅ π⋅x L
x
Ψ (x L , ) d^2 d
resolver x,
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
− 2
− 1
0
1
FUNCIÓN DE ESTADO
Ψ ( x L, )
x
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
1
2
DENSIDAD DE PROBABILIDAD
Ψ ( x L, )^2
x
En el caso del segundo nivel exitado, n=3, se observa que hay dos nodos en la función de estado, y así se puede comprobar:
nodos := n − 1 nodos = 2
Los puntos correspondientes a los dos nodos son:
x 1 := 0.334 x 2 :=0.
Y se vuelve a comprobar que en dichos puntos la densidad de probabilidad en un incremento difrencial en dichos puntos es mínimo.
Variamos los límites cas o 1:
x 1 :=0.
x 2 :=0.
P
x 1
x 2 Ψ ( x L, ) x
⋅ Ψ ( x L, )
:= d
P 100⋅ = 19.8363 %
Variamos los límites cas o 2:
x 1 :=0.
x 2 :=0.
P
x 1
x 2 Ψ ( x L, ) x
⋅ Ψ ( x L, )
:= d
P 100⋅ = 3.9987 %
Se va comprobando la afirmación inicial de que si estrechábamos los limites de evaluación, la probabilidad de encontrar la partícula irá disminuyendo a cero.
Para el primer nivel exitado, n=
n := 2 L := 1
x :=0 0.001, ..L
Ψ ( x L, )
L
sin
n ⋅ π⋅x L
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0
1
2
DENSIDAD DE PROBABILIDAD
Ψ ( x L, )^2
x
x 1 :=0.
x 2 :=0.
P
x 1
x 2 Ψ ( x L, ) x
⋅ Ψ ( x L, )
:= d
P 100⋅ = 4.8635 %
Variamos los límites cas o 1:
x 1 :=0.
x 2 :=0.
P
x 1
x 2 Ψ ( x L, ) x
⋅ Ψ ( x L, )
:= d