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En este documento, se presenta el trabajo colaborativo #2 de la unidad de Control Digital de la UNAD, donde se aplican los conceptos adquiridos sobre técnicas de diseño digital basadas en la frecuencia, diseño digital y análisis en el espacio de estados. El objetivo es determinar la controlabilidad de un sistema y calcular la secuencia de acciones de control que llevan el sistema desde el estado inicial al final, utilizando el software Matlab.
Tipo: Ejercicios
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En el trabajo colaborativo #2, aplicaremos los conceptos y los conocimientos adquiridos
en la unidad #2 del curso de control digital, a los temas de técnicas de diseño digital
basado en la frecuencia, técnicas de diseño digital y análisis en el espacio de estados; las
competencias sobre dichos temas se maneja con la solución de unos ejercicios de
aplicación de conceptos en la que se utilizara el software Matlab como base a esta
actividad.
Problema
Dado el sistema representado por la siguiente ecuación de estados, el cual ha sido
muestreado con un periodo de 1 segundo, determine la controlabilidad del mismo.
x
1
( k + 1 )
x
2
( k + 1 )
x
3
( k + 1 )
x
1
( k )
x
2
( k )
x
3
( k )
u ( k )
En caso de ser controlable, calcular la secuencia de acciones de control que llevan el
sistema desde el estado inicial x(0)={1, 1, 1} al final x(f)={0, 0, 0}.
Dibujar la evolución de los estados desde el estado inicial al final en el espacio de
estados (para esto use MATLAB® o SCILAB).
Solución
El procedimiento que utilizaremos será el siguiente:
c
[ B AB A
2
]
La columna B es:
La columna AB es:
a
11
a 12
(
)
a 13
(
)
[
]
La columna A
2
es:
Primero calculamos A
2
[
]
[
]
a
11
(
)
a
12
(
)
a 13
(
)
a 21
(
)
a 22
(
)
a 23
(
)
Es de rango 1, porque tiene al tiene algún coeficiente distinto de cero.
Es de rango 2, porque el determinante de al menos de una submatriz de 2x2 es
distinto de cero, como lo podemos ver:
a =
[
]
det a =(− 1 ∗−0.648 )−( 1.54∗−0.6 )=0.648−(−0.924) =1.
det a =1.
Para realizarlo, debemos encontrar el determinante el cual es:
c
[
]
det C
C
det C
C
det C
c
Podemos ver que el determinante de la matriz de controlabilidad es distinto a 0,
por consiguiente el rango de la matriz es de rango 3.
Como sabemos n es el tamaño de la matriz, para este caso es 3, y el rango de la
matriz es 3; es decir el sistema es controlable.
n = 3
Rang = 3
Rang = n
la secuencia de acciones de control que llevan el sistema desde el estado inicial x
(0) = {1, 1, 1} al estado final x (f) = {0, 0, 0}.
Utilizamos Matlab para calcular la secuencia de acciones de control que llevan el
sistema desde el estado inicial x (0) = {1, 1, 1}.
t=[0.0:0.1:10];
u=ones(1,length(t));
x0=[1, 1, 1];
y=lsim(A,B,C,D,u,t,x0);
plot(t,y)
grid
Utilizamos Matlab para calcular la secuencia de acciones de control que llevan el
sistema desde el estado final x (f) = {0, 0, 0}.
t=[0.0:0.1:10];
u=ones(1,length(t));
xf=[0, 0, 0];
y=lsim(A,B,C,D,u,t,xf);
plot(t,y)
grid
co=ctrb (A,B)
co =
Controllability=rank(co)
Controllability =
Este trabajo colaborativo nos ayudó a consolidadr nuestros conocimientos en la
unidad 2; los cuales por medio de un ejercicio aplicativo pudimos utilizar todo el
conocimiento adquirido, durante el desarrollo de este curso; la controlabilidad es
un estado del sistema que nos permite saber si podemos controlar el sistema
atreves de sus entradas, por eso esta importante en el mundo del control
electrónico y mas en control digital.
