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Teor´ıa de Aut´omatas y Lenguajes Formales
Prueba no^ 1 - Vic´alvaro - B 28-10-
Apellidos: Nombre:
Grado: GII / GII-ONLINE / GII+GADE / GII+GIC / GII+GIS / GII+MAT
La duraci´on de esta prueba es de 1 hora y 20 minutos.
No se permite el uso de ning´un tipo de material o dispositivo electr´onico.
- (1,5 puntos) Considere el lenguaje L = {a^2 m+1(bc)n|m, n ≥ 0 }. (a) (0,7 puntos) Dise˜ne una gram´atica G, con el menor n´umero posible de reglas, tal que L(G) = L. ¿De qu´e tipo es la gram´atica propuesta? Justifique su respuesta.
Soluci´on: Una posible soluci´on es la gram´atica G = ({S}, {a, b, c}, S, {S → a|aaS|Sbc}), que es de tipo 2 dado que:
- Todas sus reglas tienen un ´unico s´ımbolo variable a la izquierda, y son por ello al menos de tipo 2.
- Salvo S → a, las reglas no son de tipo 3 puesto que tienen m´as de dos s´ımbolos a la derecha.
(b) (0,8 puntos) Dise˜ne una gram´atica G, del mayor tipo posible en la jerarqu´ıa de Chomsky (el tipo 3 es el mayor de los tipos y el tipo 0 el menor), tal que L(G) = L. ¿De qu´e tipo es la gram´atica propuesta? Justifique su respuesta.
Soluci´on: Una posible soluci´on es la gram´atica G = ({S, Ai, B, C}, {a, b, c}, S, P) donde P viene dado por {S ::= a|aAi, Ai ::= aS|bB, B ::= c|cC, C ::= bB} La gram´atica anterior es de tipo 3, lineal por la derecha (GLD), ya que todas las reglas tiene un ´unico s´ımbolo variable a la izquierda y a la derecha tienen o bien solo un terminal o bien un terminal seguido de un no terminal.
- (3 puntos) Sea A el aut´omata finito determinista (AFD) siguiente:
q 0 q 1
q 2
(^1) q 3 q 4 q 5 q 6
(a) (1,5 puntos) Dibuje el grafo del AFD m´ınimo equivalente a A, facilitando previamente los conjuntos cocientes necesarios.
Soluci´on: Para encontrar el aut´omata m´ınimo equivalente a A es necesario aplicar el algoritmo de minimizaci´on:
El estado q 2 se puede eliminar puesto que es inaccesible.
C´alculo del aut´omata cociente:
- Q/E 0 = {{q 0 , q 4 , q 5 , q 6 }, {q 1 , q 3 }}
- Q/E 1 = {{q 0 }, {q 4 , q 5 , q 6 }, {q 1 }, {q 3 }}
- Q/E 2 = {{q 0 }, {q 4 , q 5 , q 6 }, {q 1 }, {q 3 }}
Como Q/E 2 = Q/E 1 , resulta Q/E = Q/E 2 = {[q 0 ], [q 4 ], [q 1 ], [q 2 ]}.
El AFD m´ınimo es el siguiente:
q 0 1 q 1 1 q 3 1 q 4
(b) (0,5 puntos) Describa L(A) tanto en lenguaje matem´atico como mediante una expresi´on regular.
Soluci´on: L(A) = { 1 n|n ≥ 0 , n 6 = 1, n 6 = 2} = {λ} ∪ { 1 n|n ≥ 3 }, L(A) = L(λ + 1111∗).
(c) (1 punto) Suponga que el AFD dibujado al comienzo de este ejercicio se con- vierte en un AFND a˜nadi´endole las siguientes transiciones λ: una de q 0 a q 3 , otra de q 0 a q 5 y otra de q 5 a q 1. Facilite los valores f ∗(q 0 , λ), f ∗(q 0 , 1) y f ∗(q 0 , 11).
Soluci´on: f ∗(q 0 , λ) = {q 0 , q 3 , q 5 , q 1 } f ∗(q 0 , 1) = {q 1 , q 4 , q 6 , q 3 } f ∗(q 0 , 11) = {q 3 , q 5 , q 1 , q 6 , q 4 }
- (3 puntos) Dibuje el grafo de un aut´omata finito - se valorar´a su sencillez - que reconozca el lenguaje L formado por todas las palabras de la forma 2x con x ∈ { 0 , 1 , 2 }∗^ que no terminan en 0101. Por ejemplo:
2 , 201 , 20102101 , 201011 , 201010 ∈ L.
- No es correcta, puesto que, como se acaba de ver en el punto anterior, L no es regular.
- (1 punto) Conteste de forma razonada a la siguiente pregunta: ¿es cierto que todo lenguaje finito que no contiene la palabra vac´ıa se puede reconocer mediante un aut´omata finito determinista (AFD) con un ´unico estado final?
Soluci´on: No, no es cierto. Por ejemplo, L = {a, aa} es un lenguaje finito que no contiene la palabra vac´ıa y que sin embargo no se puede reconocer con un AFD con un ´unico estado final: tiene que haber un estado final para reconocer la palabra a y otro distinto para reconocer la palabra aa, ya que si se pusiera un bucle a en el primer estado final se reconocer´ıan, adem´as de a y aa, todas las palabras an, n > 2, que no pertenecen al lenguaje.
