¡Descarga Cálculo integral: definición, teorema fundamental, cálculo de primitivas y aplicaciones y más Apuntes en PDF de Cálculo solo en Docsity!
- DEFINICI O I PROPIETATS´
^ Suposem que volem trobar l’area tancada per la grafica d’una funci´o^ ^ entre els punts^ i
. Apliquem el m`etode dels trapezis, com feu Arqu´ımedes, que en d´ona una aproximaci´o.
PSfrag replacements
^ ^
Definici´o. Sigui ^ ! #"$&%^ cont´ınua i sigui (' )+*,^ *,^ .-/-/-0^ ' una partici´o de l’interval !^. Sigui 132 l’`area del trapezi associat al tros de partici´o 2 2 , es a dir´ 1 +24'6587:9 ; <^2 =0 <>^2 ?@^2 " 2 . Es defineix la integral de entre i com ACB D
<>E:
'GFIHJ
K
ML
+2N
on el l´ımit es pren sobre particions cada cop m´es fines. Vegem quines s´on les propietats fonamentals del proc´es d’integraci´o. Teorema. Siguin PO ^ ! #"$Q%^ funcions cont´ınues. (a) RDBS <>^ = O ?ET^ 'GR DB <>ETU=^ RDB O E: (b) RDWVB^ <>ET^ ' V RDB <>E:^ , V3X^ % (c) Si <>WY^ O ^ aleshores RDB E:Y^ RDB O E: (d) Z[R DB E:^ Z Y RDB Z <>^ ZE: (e) RDB E:^ '\R]D <>E:(=^ R]B E:^ 1
- EL TEOREMA FONAMENTAL DEL C
ALCUL El Teorema Fonamental del Calcul posa de manifest la relaci´o que hi ha entre els processos de derivaci´o i integraci´o. Vegem-ne la primera versi´o.
Teorema Fonamental del C` alcul I. Sigui ^ !^ " $Q%^ cont´ınua. Aleshores la funci´o (^) ! #" $Q% (^) definida com
> ' A
D
<?<E
X !
es derivable a ´ i ^ >^ ' <^.
Exemples: (a) Aplicant directament el resultat tenim >^ '
A
(^) ) H E (^) ´es derivable i (^) ' H > (^).
(b) Amb el Teorema Fonamental i la regla de la cadena tenim ^ '
A
E
´es derivable i ^ ^ 'G9
.
Definici´o. Sigui U ^ !^ "$^ %. Diem que ^ es una´ primitiva de si ^ >^ ' <>^. S’escriu ^ '
A <> E:
.
Cal fer atenci´o al fet que la primitiva no ´es ´unica; de fet, si ^ ´es una primitiva de <>^ , tamb´e ho s´on totes les funcions ^ = V, amb V X %. Aix´ı doncs, per exemple, les funcions
"^ ,
=^ s´on totes primitives de ^ ' 9 . En aquests termes, el Teorema Fonamental del C`alcul diu que ^ ' RD <?E^ es una´ primitiva de . El seg¨uent resultat permet calcular directament les integrals de funcions de les quals es coneix la primitiva.
Teorema Fonamental del C` alcul II (Regla de Barrow). Sigui (^) ! #"$ % cont´ınua i sigui una primitiva de a . Aleshores A D
? E ' " X !
En particular (^) ACB
D
<?<E
Observem que si prenem una altra primitiva de el resultat ´es el mateix. Exemples: (a) Utilitzant que ^ '
(^) es primitiva de´
tenim
A
ET^ '^5
^ )
(b) Essent " !^ primitiva de H tenim
A
" ) H
E:
' "# ! = ! 5 'G.
fent el canvi ' , o el que ´es el mateix, fent '
. Tenim ET^ '.9 E^ , i per tant A H ^
E:
A H
9 [E ' " 9 ! #= ' " 9 =
(b) Provem ara que (^) A E:
5 =
= V
Dividint
= H
' 5 per
veiem de 5 =
' 587 !^
. Fem el canvi de variable ' '
^ , que t´e E:^ ' E ^7
. Obtenim A E: 5 =
A E 7 !
5 =^
'
A E
V ' U= V
3.2. Integral per parts. La regla de derivaci´o del producte diu que
E
E: ' -^ = C-^.
Aix`o d´ona la regla d’ integraci´o per parts : A [ET (^) ' " A [E:
Exemples. (a) Calculem
A
E:^. Prenem ^ ' i ^ ' . Aleshores ^ ' 5 i (^) ' . Aplicant la integraci´o per parts obtenim: A ^ E:^ ' "
A
E: ' " = X %
(b) Calculem
A
F^ 3E:^. Prenem ^ ' F i ^ ' 5. Tenim ^ ' 5 /7 i ^ ' , aix´ı que la integral per parts d´ona A F^ ^ 3E:^ ' F "
A 5
3E: ' F " = V
- APLICACIONS DE LA INTEGRAL DEFINIDA Vegem, per acabar, unes aplicacions de la integral definida. La primera ja l’hem esmentat al principi del cap´ıtol.
4.1. Calcul d’arees. Sigui ^. L’area tancada entre la grafica de i l’eix ve donada per
1 G'
A
B
D <E:^
En general, quan no ´es necessariament positiva, aquestaarea ve donada per
1 G'
A
B
D Z <^ ZET^
Exemple. Calculem l’area de l’el.lipse D^ = ^ B^ ' 65. Aquestaarea ´es 4 vegades l’`area del tros de
l’el.lipse situada al primer quadrant, on ^. En aquesta regi´o podem aillar '
" DB
, i per tant tenim
1 G'
A
D
)^
ET^ '
A
D
)^5 "
E:^
Fent el canvi de variable 7 (' obtenim
1 G' T
A
5 "
E^
Fent ara el canvi ' H i utilitzant que
5 " H
' !^ queda
1 G':
A
"
E
Sumant les igualtats
5 +' !^
H
! 9 ' ! " H
dedu¨ım que
5 = !^9 , i per tant
1 ' 9
A
E^ 'G9 ^
9
= H 9
"^
4.2. **Calcul de longitud de corbes.** Considerem la corba donada per la grafica d’una funci´o entre els punts 'G i ' . Aleshores la longitud total de la corba ve donada per la igualtat
' A B
D
5 =.S ^ ?^
E:
Exemple. Calculem la longitud de la circumfer`encia
, que ´es igual a quatre
vegades la longitud del tros situat al primer quadrant, on ^. En aquesta regi´o podem aillar
, i per tant tenim
' A)^ 5 =
E:
A
E:
(^)
Fent el canvi ' H ?^ tenim ET^ ' !^ ?[E^ tenim
' A " ^
H
E
' A " ^
E
