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F. Alvarez y h. Lugo presentan un texto sobre cálculo integral, donde se definen conceptos básicos como primitivas, reglas de integración y métodos integrales. Además, se exploran aplicaciones en economía, como costes marginales de producción y beneficios marginales. El documento incluye ejemplos y soluciones para integrales definidas, impropias, iteradas y dobles.
Tipo: Apuntes
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Reglas b´M´etodos de Integraci´asicas de integraci´onon Integral definida Aplicaciones en Econom´ıa del C´Funci´alculo Integralon Integral Integrales impropias Integrales iteradas e Integrales dobles
F. Alvarez y H. Lugo
Universidad Complutense de Madrid
11 Noviembre, 2015
Reglas b´M´etodos de Integraci´asicas de integraci´onon Integral definida Aplicaciones en Econom´ıa del C´Funci´alculo Integralon Integral Integrales impropias Integrales iteradas e Integrales dobles
I (^) Sean f , F : R → R. La funci´on F es una primitiva ( o antiderivada) de f si F ′(x) = f (x). I (^) El conjunto de todas las primitivas de una funci´on f , tambi´en llamado integral indefinida, se denota por ∫ f (x)dx = F (x) + C
siendo C una constante.
f F
f
F. Alvarez y H. Lugo FC´^ ′alculo Integral
Reglas b´M´etodos de Integraci´asicas de integraci´onon Integral definida Aplicaciones en Econom´ıa del C´Funci´alculo Integralon Integral Integrales impropias Integrales iteradas e Integrales dobles
I
a dx = ax + C ; I
xadx = (^) a+1^1 xa+1^ + C , a 6 = −1;
I
ex^ dx = ex^ + C ; I
x dx^ = log^ x^ +^ C^ ; I
ax^ dx = a x log a +^ C^ ,^0 <^ a^6 = 1;
I
sin x dx = − cos x + C ; I
cos x dx = sin x + C ; I
cos^2 x dx^ = tan^ x^ +^ C^ ; I
x^2 +a^2 dx^ =^
1 a arctan^
x a +^ C^ ; I
√ 1 −x^2 dx^ = arcsin^ x^ +^ C^ ;
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I (^) Sean f , g funciones cualesquiera y a, b constantes ∫ [af (x) + bg (x)]dx = a
f (x)dx + b
g (x)dx;
I (^) Sea F (x) = f (u(x)) entonces ∫ f ′(u(x))u′(x)dx = f (u(x)) + C ;
Conjugando este resultado con las integrales vistas anteriormente, obtendremos una serie de integrales llamadas tambi´en inmediatas.
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I (^) A menudo no es f´acil reconocer una integral inmediata. Un cambio de variable adecuado, nos permitir´a, muchas veces, obtener una integral que s´ı sabremos resolver. I (^) Cuando tenemos una integral de la forma, ∫ f (u(x))u′(x)dx
si hacemos el cambio t = u(x) y dado que dt = u′(x)dx, obtendremos (^) ∫ f (t)dt
siendo esta una integral inmediata.
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I (^) Sean u(x) y v (x) dos funciones derivables, por lo que
(uv )′^ = u′v + uv ′ I (^) Integrando respecto a x, tenemos ∫ (u(x)v (x))′dx =
u′(x)v (x)dx +
u(x)v ′(x)dx
I (^) Dado que
(u(x)v (x))′dx = u(x)v (x), u′(x)dx = du y v ′(x)dx = dv podemos escribir esta f´ormula como ∫ udv = uv −
vdu
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1 x
y
y = 1 − x
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I (^) Sea f una funci´on continua no-positiva en el intervalo [a, b]. El ´area, A, de la regi´on limitada por la gr´afica de f , el eje x, y las rectas verticales x = a y x = b, viene determinada por la integral definida de −f , ∫ (^) b
a
(−f (x))dx = A
I (^) Por lo que la integral definida de f en el intervalo [a, b] es, ∫ (^) b
a
f (x)dx = −A
I (^) Ejemplo. Si f (x) = 1 − x, entonces
1 f^ (x)dx^ =^ −^1 /2. Ver Figura 1.
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I (^) Sea f una funci´on continua, el ´area de la regi´on limitada por la curva y = f (x), el eje x y las rectas verticales x = a y x = b es
∫ (^) b
a
| f (x) | dx I (^) Ejemplo. El ´area de la regi´on limitada por y = 1 − x en el intervalo [0, 2] es
A =
0
| 1 −x | dx =
0
(1−x)dx+
1
−(1−x)dx =
Ver Figura 1.
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I (^) Sean f y g funciones continuas en [a, b] y α, β ∈ R.
∫ (^) b a f^ (x)dx^ ≥^ 0.
∫ (^) a a f^ (x)dx^ = 0.
∫ (^) b a f^ (x)dx^ =^ −^
∫ (^) a b f^ (x)dx.
∫ (^) b a [αf^ (x) +^ βg^ (x)]dx^ =^ α^
∫ (^) b a f^ (x)dx^ +^ β^
∫ (^) b a g^ (x)dx.
∫ (^) b a f^ (x)dx^ =^
∫ (^) c a f^ (x)dx^ +^
∫ (^) b c f^ (x)dx.
∫ (^) b a f^ (x)dx^ ≥^
∫ (^) b a g^ (x)dx.
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I (^) Si una regi´on plana est´a limitada por las curvas continuas y = f (x), y = g (x), para a ≤ x ≤ b, donde g (x) ≤ f (x), y las rectas verticales x = a y x = b entonces el ´area de la regi´on es
∫ (^) b
a
(f (x) − g (x))dx
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I (^) Ejemplo. Hallar el ´area de la regi´on limitada por y = x^3 , y = x^2 − x en el intervalo [0, 2].
I (^) Soluci´on: Resolviendo la ecuaci´on x^3 = x^2 − x, encontramos que las curvas se cortan en el punto x = 0, por lo que una de las curvas se mantiene por encima de la otra en todo el intervalo [0, 2].
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I (^) Se dice que una funci´on es continua a trozos en el intervalo [a, b] si tiene un n´umero finito de discontinuidades en [a, b]. I (^) Haciendo uso de la propiedad (5), si f es una funci´on acotada y continua a trozos en el intervalo [a, b] con c 1 , c 2 , · · · , cn ∈ [a, b] puntos de discontinuidad, tenemos que ∫ (^) b
a
f (x)dx =
∫ (^) c 1
a
f (x)dx +
∫ (^) c 2
c 1
f (x)dx + · · · +
∫ (^) b
cn
f (x)dx
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I (^) Sea f una funci´on continua o continua a trozos en el intervalo [a, b]. Se define la funci´on integral de f , denotada por F (x) a la funci´on
F (x) =
∫ (^) x
a
f (t)dt a ≤ x ≤ b
I (^) Se dice que F (x) es una integral con l´ımite superior variable.
