Integración de funciones, Ejercicios de Cálculo diferencial y integral

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M´etodos de Integraci´on

Contenido

1 Introducci´on 1

2 Integrales Simples 3

3 Dos M´etodos Fundamentales 5 3.1 Sustituci´on o Cambio de Variable........................ 5 3.2 Integraci´on por Partes.............................. 8

4 Integraci´on de Funciones Trigonom´etricas 11

4.1 Integrales de la forma

sen nx dx y

cosn^ x dx............... 11

4.2 Integrales de la forma

sen mx cosn^ x dx.................... 13

4.3 Integrales de la forma

tann^ x dx........................ 14

4.4 Integrales de la forma

secn^ x dx........................ 15

4.5 Integrales de la forma

tanm^ x secn^ x dx.................... 16

4.6 Integrales de la forma

sen nx cos mx dx con n
= m............ 17 4.7 Integrales de la forma∫ sen nx sen mx dx o

cos nx cos mx dx con n
= m............ 18

5 Integraci´on por Sustituciones Trigonom´etricas 19

6 Integraci´on de Funciones Racionales 25

7 Funciones Hiperb´olicas y Sustituciones Hiperb´olicas 33

8 Integrandos Racionalizables 37 8.1 Funciones racionales de potencias fraccionarias................ 37 8.2 Funciones racionales de senos y cosenos.................... 38 8.3 Funciones racionales del tipo R(x,

1 − x^2 ).................. 39 8.4 Funciones racionales del tipo R(x,

x^2 − 1).................. 40

v

1. Introducci´on

La definici´on de la integral de una funci´on continua f en un intervalo [a, b] como el l´ımite de las sumas parciales de particiones rectangulares, en s´ımbolos ∫ (^) b

a

f (x) dx = lim n→∞

∑^ n

i=

f (αi)∆xi ,

no nos provee de un conjunto de reglas operativas para resolver integrales de manera tan precisa como lo son el conjunto de reglas para resolver derivadas. Es el Teorema Funda-

mental del C´alculo que nos da una mejor heur´ıstica para calcular el valor de

∫ (^) b

a

f (x) dx,

la cual es el punto de partida de los m´etodos expuestos aqui: h´allese una funci´on g tal que

g′(x) = f (x); luego

∫ (^) b

a

f (x) dx = g(b)−g(a). La funci´on g es ´unica salvo constante aditiva

y est´a definida para todos los valores de x donde f (x) est´a definida. Por todo esto y por ser nuestro objetivo en estas notas elaborar m´etodos para hallar g, obviaremos los l´ımites

de integraci´on a y b (por lo que tampoco nos interesar´a calcular el valor de

∫ (^) b

a

f (x) dx) y,

en general, trabajaremos con la integral indefinida ∫ f (x) dx

cuya soluci´on tiene la forma g(x) + C, donde g es una funci´on que satisface

g′(x) = f (x)

(y es esta ´ultima condici´on la que utilizamos para verificar que, en efecto, g es una soluci´on de la integral.) El proceso de hallar una soluci´on para una integral es lo que se denomina integrar

una funci´on o simplemente integraci´on. En la expresi´on

f (x) dx = g(x) + C, la funci´on

f (x) se llama integrando, la funci´on g(x) se llama primitiva o antiderivada de f y C es la constante de integraci´on, la cual olvidaremos escribir en general (y muchas veces por razones de espacio). Sin embargo, se debe tener siempre presente que son infinitas las soluciones de una integral indefinida y cualquier par de ellas difieren en una constante.

El s´ımbolo

∫ (^) b

a

f (x) dx se atribuye a la inventiva de Leibniz (1646–1716), quien quiso

representar con ´este una suma infinita de rect´angulos, cada uno de altura dada por el

1

2 Introducci´on

valor de la funci´on f y base infinitamente peque˜na o de valor infinitesimal dx. El uso que Leibniz dio a estos dx fue m´as que notacional: ´el consider´o dx como una variable a valores infinitesimales positivos (en el sentido de ser un n´umero positivo menor que cualquier n´umero finito positivo) y oper´o con ´este de igual manera que con cualquier otra cantidad num´erica para obtener muchas de las f´ormulas del c´alculo diferencial e integral que conocemos hoy^1. Este uso de dx como cantidad infinitesimal, si bien como recurso notacional resulta ser tremendamente clarificador de muchas f´ormulas del C´alculo, fue con- troversial por que en su ´epoca, y hasta mediados del siglo XX, careci´o de fundamentaci´on matem´atica. Es en el a˜no 1965 cuando se logra reconciliar la consideraci´on de dx como cantidad infinitesimal con el rigor de las matem´aticas: el matem´atico Abraham Robinson (1918–1974) demostr´o formalmente la posibilidad de extender el conjunto de los n´umeros reales a un conjunto que incluya las cantidades infinitas e infinitesimales^2. En vista de estos resultados podemos tranquilamente considerar dx a la manera de Leibniz, y es as´ı como lo haremos aqui. Esto es, consideramos dx como una variable que toma valores infinitesimales positivos, y su uso en la deducci´on de f´ormulas para integrar queda matem´aticamente justificado (por ejemplo, en la secci´on 3.1 cuando escribimos du = g′(x) dx, o los du y dv en las integrales por partes en la secci´on 3.2). Como bono extra, esperamos que del conocimiento de este avance de la matem´atica moderna, el lector pueda librarse del trauma que le resulta al intentar responder la pregunta: ¿Por qu´e dx dx = 1?

(^3). Respuesta: ¡Muy simple! porque se est´a dividiendo una cantidad infinitesimal

no nula por s´ı misma. Otro punto que merece ser aclarado es el siguiente. Cuando hablamos de “resolver la integral para una funci´on f ”, lo que se est´a pidiendo en realidad es hallar una primi- tiva g para f que se exprese en t´erminos de funciones elementales (e.g. composiciones finitas de funciones aritm´eticas, trigonom´etricas, logar´ıtmicas, exponenciales, radicales y otras de igual estilo). El que esto sea posible no est´a garantizado por ning´un teorema para funciones continuas y, m´as a´un, se ha demostrado que existen funciones continuas elementales que no admiten primitivas en t´erminos elementales; por ejemplo, la funci´on f (x) = e−x^2. Estas razones establecen la filosof´ıa directriz de los m´etodos de integraci´on: se clasifican las funciones conocidas que admiten primitivas elementales en clases seg´un un patr´on general que sabemos resolver mediante una operaci´on espec´ıfica; cualquier otra funci´on que no presente las caracter´ısticas de los elementos de alguna de las clases es- tablecidas, se intenta transformar en un elemento de alguna de estas mediante un n´umero finito de manipulaciones. Pero, por lo antes dicho, el ´exito de este procedimiento no est´a garantizado y depende en gran medida de la destreza que s´olo se adquiere con la pr´actica. En este sentido integrar es un arte.

(^1) V´ease la obra de C. Boyer, The History of the Calculus and its Conceptual Development, Dover 1959, para un excelente recuento de esta parte de la historia de la matem´ 2 atica.

3 Ver A. Robinson,^ Non-standard Analysis, North–Holland, Amsterdam, 1966. Esta es una pregunta que consuetudinariamente me hacen los estudiantes de c´alculo.

4 Simples

x√x^2 − 1 dx^ = arcsec^ |x|^ +^ C^ =^ −^ arccsc^ |x|^ +^ C, para^ |x|^ >^1

senh x dx = cosh x + C

cosh x dx = senh x + C

sech 2 x dx = tanh x + C

csch 2 x dx = − coth x + C

1+x^2 dx^ = arcsenh +^ C^ = ln(x^ +^

1 + x^2 ) + C

±√x^2 − 1 dx^ = arccosh^ x^ +^ C^ = ln(x^ ±

x^2 − 1 ) + C, para |x| > 1.

1 −x^2 dx^ =

arctanh x = 12 ln 1+ 1 −xx , si |x| < 1

arccoth x = 12 ln x x+1− 1 , si |x| > 1

Anexo a esta tabla de integrales se tienen las siguientes propiedades de la integral que deben saber manejarse tambi´en.

Propiedad 1: (^) ∫

[f (x) ± g(x)] dx =

f (x) dx ±

g(x) dx

Ejemplo 2. ∫ [e^2 x^ + x^3 ] dx =

e^2 x^ dx +

x^3 dx = e

2 x 2

• x

4 4

+ C

Propiedad 2: (^) ∫

kf (x) dx = k

f (x) dx, para todo k ∈ R.

Ejemplo 2.2 (^) ∫ 3 1 + x^2

dx = 3

1 + x^2

dx = 3 arctan x + C

3. Dos M´etodos Fundamentales

Los m´etodos de sustituci´on e integraci´on por partes son la base de todos los dem´as m´etodos. Aquellos son, en esencia, una combinaci´on de uno de estos dos, o ambos, m´as alg´un truco algebraico.

3.1 Sustituci´on o Cambio de Variable

Si una integral tiene la forma (^) ∫

f (g(x))g′(x) dx

el m´etodo de sustituci´on o cambio de variable consiste en tomar

u = g(x)

de donde du = g′(x) dx.

Se resuelve

f (u) du y luego de hallada la soluci´on (llam´emosla F (u) + C) se vuelve a

poner todo en t´erminos de x sustituyendo u por g(x); es decir, ∫ f (g(x))g′(x) dx = F (g(x)) + C. (3.1)

La justificaci´on de ´este m´etodo se basa en la regla de la cadena para la derivada de funciones compuestas: Si f y g son derivables y la composici´on de f con g est´a bien definida, entonces, si F es una primitiva de f , se tiene

(F (g(x)))′^ = F ′(g(x))g′(x) = f (g(x))g′(x),

por lo tanto, F (g(x)) es una primitiva de f (g(x))g′(x), de donde se obtiene (3.1).

Ejemplo 3.1.

√ (^3) 1 + 3 sen x cos x dx. Hacemos la sustituci´on: u = 1 + 3 sen x, y as´ı

du = 3 cos x dx. La integral nos queda:

1 3

u

(^13) du =

4 u^

(^43)

• C

Sustituci´on 7

(b)

∫ (^) e√x √ x dx^ = 2

e

√x 1 2

x dx^ = 2e

√x

• C

F´ormula general 3: ∫ (^) f ′(x) f (x) dx^ = ln^ |f^ (x)|^ +^ C

Ejemplo 3.1.6 (a)

∫ (^) e−x e−x^ + 1 dx^ = (−1)

∫ (^) −e−x e−x^ + 1 dx^ =^ −^ ln^ |e

−x (^) + 1| + C

(b)

1 + ln x 3 + x ln x

dx =

∫ (^) x 1 x + (1) ln^ x 3 + x ln x

dx = ln |3 + x ln x| + C

(c)

tan x dx =

∫ (^) sen x cos x dx^ = (−1)

∫ (^) − sen x cos x dx^ =^ −^ ln^ |^ cos^ x|^ +^ C (De manera an´aloga se resuelve la integral de cot x.) (d) ∫ sec x dx =

sec x sec sec^ xx^ + tan+ tan^ xx dx =

sec x tan x + sec^2 x sec x + tan x dx = ln | sec x + tan x| + C

La soluci´on anterior es la que se ense˜na con m´as frecuencia en los cursos de c´alculo para la integral de sec x, y es la que m´as r´apidamente se olvida. A mi parecer esto es as´ı porque el truco de multiplicar y dividir el integrando por sec x + tan x es muy poco natural. Por eso dar´e a continuaci´on otra soluci´on m´as natural de esta integral, aunque tal vez al lector no le resulte en este momento as´ı puesto que se utiliza la siguiente separaci´on de una fracci´on de polinomios en otras m´as simples:

1 (1 + a)(1 − a)

=^1

1 + a

1 − a

Sin embargo, luego de leer el cap´ıtulo 6, el lector podr´a juzgar mejor sobre la naturalidad de esta soluci´on.

Ejemplo 3.1. ∫ sec x dx =

cos x

dx =

∫ (^) cos x cos^2 x

dx =

∫ (^) cos x 1 − sen 2 x

dx

=

∫ (^) cos x (1 + sen x)(1 − sen x) dx^ =

∫ (^ cos x 1 + sen x +^

cos x 1 − sen x

dx

=

2 (ln^ |1 + sen^ x| −^ ln^ |^1 −^ sen^ x|) +^ C^ =

2 ln

∣∣^ 1 + sen^ x 1 − sen x

∣∣ + C

2 ln

∣∣^ 1 + sen^ x 1 − sen x ·^

1 + sen x 1 + sen x

∣∣ + C =^1

2 ln

∣∣^ (1 + sen^ x)

2 1 − sen 2 x

∣∣ + C

8 M´etodos Fundamentales

ln

∣∣^ (1 + sen^ x)

2 cos^2 x

∣∣ + C = ln

∣∣^ 1 + sen^ x cos x

∣∣ + C

= ln | sec x + tan x| + C.

Una nota hist´orica: Esta ´ultima soluci´on de la integral de la secante apareci´o publicada por primera vez en la obra Geometrical Lectures de Isaac Barrow (1630–1677). El inter´es suscitado en la ´epoca de Barrow por resolver esta integral se debi´o a su utilidad en el trazado de mapas geogr´aficos, descubierta por Edward Wright (1561–1615), quien deter- min´o que para trazar con exactitud en un mapa el paralelo de latitud θ, se debe tomar como distancia de este al ecuador la integral de la secante de θ. 1

Ejercicio 3.1.1 Halle las primitivas de cosecante y cotangente.

3.2 Integraci´on por Partes

La f´ormula de derivaci´on para el producto de dos funciones nos proporciona de una f´ormula ´util para resolver integrales cuyo integrando es el producto de dos funciones de naturaleza distintas. Sean f y g funciones sobre la misma variable x y derivables. Entonces

(f (x)g(x))′^ = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x),

por lo que f g es una primitiva de f ′g + f g′; es decir,

f (x)g(x) =

(f (x)g(x))′^ dx =

f ′(x)g(x) dx +

f (x)g′(x) dx,

de donde se obtiene la siguiente f´ormula, que es lo que se conoce como la regla de inte- graci´on por partes, ∫ f (x)g′(x) dx = f (x)g(x) −

f ′(x)g(x) dx.

Esta f´ormula nos dice que la integral de un producto de dos funciones, una f (x) y la otra la derivada de una g(x), no es mas que el producto de f por g menos la integral del producto de la derivada de f por la funci´on g. Una manera de desglosar los c´alculos y recordar esta

regla de integraci´on consiste en lo siguiente: dado el problema de resolver

f (x)g′(x) dx,

hacemos

u = f (x) y dv = g′(x) dx, por lo que du = f ′(x) dx y v = g(x)

Luego ∫ f (x)g′(x) dx =

u dv = u · v −

v · du

= f (x) · g(x) −

g(x)f ′(x) dx (^1) Ver V. F. Rickey, P. M. Tuchinsky, An application of geography to mathematics: history of the integral of the secant, Math. Magazine, 53 3 (162–166) 1980

10 M´etodos Fundamentales

Ejemplo 3.2.

cos(ln x) dx. Sea

u = cos(ln x) ⇒ du = −

x sen (ln^ x)^ dx dv = dx ⇒ v = x

Luego (^) ∫

cos(ln x) dx = x cos(ln x) +

sen (ln x) dx

Integrando nuevamente por partes con u = sen (ln x) y dv = dx se obtiene ∫ cos(ln x) dx = x cos(ln x) + x sen (ln x) −

cos(ln x) dx

Otra vez se presenta el fen´omeno que observamos en el ejemplo anterior: aparece en el lado derecho de la igualdad la integral que comenzamos a integrar... y ya sabemos que hacer. As´ı, (^) ∫

cos(ln x) dx =

2 (x^ cos(ln^ x) +^ x^ sen (ln^ x)) +^ C. En este momento podr´ıamos preguntarnos si importa c´omo se eligen u y dv, cuando se intenta resolver una integral por la f´ormula de integraci´on por partes. Si nos tom´asemos la molestia de integrar en el ejemplo 3.2.2 tomando u = ex^ y dv = cos x dx, entonces obtendr´ıamos la misma soluci´on. Intente ahora integrar en el ejemplo 3.2.1 tomando u = ex^ y dv = x^2 dx; se ver´a entonces que el proceso de integraci´on ¡no tiene fin! Para auxiliar al lector en la correcta elecci´on de qui´en debe ser u y qui´en dv existen diversos recursos mnemot´ecnicos en forma de poemas o rezos, para ninguno de los cuales conozco una demostraci´on matem´atica de su infalibilidad y, por eso, me limitar´e a recomendar que use su ingenio y practique el m´etodo de integraci´on por partes lo suficiente como para desarrollar su propio criterio de elecci´on. Un tipo de funciones que invitan a ser integradas por partes son las inversas de fun- ciones trigonom´etricas y las logar´ıtmicas, ya que sus derivadas son funciones algebraicas.

Ejemplo 3.2.4 En estos ejemplos u es todo el integrando y dv = dx.

(a)

arctan x dx = x arctan x −

∫ (^) x 1 + x^2 dx^ (sustituci´on^ w^ = 1 +^ x

= x arctan x − 1 2

ln(1 + x^2 ) + C

(b)

arcsen x dx = x arcsen x −

√ x 1 − x^2

dx (sustituci´on w = 1 − x^2 )

= x arcsen x +

1 − x^2 + C

(c)

ln x dx = x ln x −

x

x dx^ =^ x^ ln^ x^ −^ x^ +^ C

4. Integraci´on de Funciones

Trigonom´etricas

En este cap´ıtulo estudiaremos m´etodos para resolver integrales de productos y potencias de funciones trigonom´etricas. Todos consisten, esencialmente, en el m´etodo de sustituci´on junto con algunas identidades trigonom´etricas. Las identidades trigonom´etricas funda- mentales que debemos recordar son

sen 2 x + cos^2 x = 1 (4.1) sen (−x) = − sen x (seno es una funci´on impar) (4.2) cos(−x) = cos x (coseno es una funci´on par) (4.3)

y las identidades de la suma de dos ´angulos

sen (x + y) = sen x · cos y + sen y · cos x (4.4) cos(x + y) = cos x · cos y − sen x · sen y (4.5)

Cualquier otra identidad que sea necesaria se deduce a partir de estas, y asi lo veremos en la medida que se necesite. El lector debe esforzarse por aprender la manera de obtener las nuevas identidades a partir de (4.1)–(4.5) en vez de memorizarlas. Por ejemplo (y a manera de calentamiento), las f´ormulas para la resta de dos ´angulos se pueden deducir asi:

sen (x − y) = sen (x + (−y)) = sen x · cos(−y) + sen (−y) · cos x (por (4.4)) = sen x · cos y − sen y · cos x (por (4.2) y (4.3)) y cos(x − y) = cos(x + (−y)) = cos x · cos(−y) − sen x · sen (−y) (por (4.5)) = cos x · cos y + sen x · sen y (por (4.2) y (4.3))

4.1 Integrales de la forma

sen nx dx y

cosn^ x dx.

Caso 4.1.1 n es par. Usamos las identidades

sen 2 x =

1 − cos 2x 2 y^ cos

(^2) x = 1 + cos 2x 2 (4.6)

11

Funciones Trigonom´etricas 13

Ejemplo 4.1. ∫ cos^5 x dx =

cos^4 x cos x dx =

(1 − sen 2 x)^2 cos x dx

=

(1 − 2 sen 2 x + sen 4 x) cos x dx

= sen x − 2

sen 2 x cos x dx +

sen 4 x cos x dx

tomando u = sen x y du = cos x dx concluimos ∫ cos^5 x dx = sen x − 2

u^2 du +

u^4 du

= sen x − 2 3

u^3 +^1 5

u^5 + C

= sen x − 23 sen 3 x +^15 sen 5 x + C

4.2 Integrales de la forma

sen mx cosn^ x dx.

Caso 4.2.1 n y m son pares. Utilizamos simult´aneamente las dos identidades (4.6) deducidas en 4.1.1 para obtener integrales s´olo de cosenos y proceder con cada una con el m´etodo que convenga de la secci´on 4.1.

Ejemplo 4.2. ∫ sen 2 x cos^2 x dx =

1 − cos 2x 2

1 + cos 2x 2

dx

= 1 4

(1 − cos^2 2 x) dx =^1 4

dx − 1 8

(1 + cos 4x) dx

= 1 8

x − 1 32

sen 4x + C

Ejemplo 4.2. ∫ sen 2 x cos^4 x dx =

1 − cos 2x 2

1 + cos 2x 2

dx

= 1 8

(1 − cos 2x)(1 + 2 cos 2x + cos^2 2 x) dx

=

dx +

cos 2x dx −

cos^2 2 x dx −

cos^3 2 x dx

x +

2 sen 2x^ −

∫ (^) 1 + cos 4x 2 dx^ −

(1 − sen 22 x) cos 2x dx

16 x^ −^

64 sen 4x^ +

48 sen^

(^32) x + C.

14 Funciones Trigonom´etricas

Observaci´on 4.2.1 Alternativamente estas integrales pueden resolverse expresando seno en t´erminos de coseno (o coseno en t´erminos de seno) mediante la identidad sen 2 x + cos^2 x = 1, se transforma as´ı a una suma de integrales de una sola de las funciones trigonom´etricas que se consideran y se resuelven seg´un los casos de la secci´on 4.1. En la pr´actica esto resulta ser m´as ineficiente que la sustituci´on simult´anea explicada antes, puesto que aumenta las potencias en vez de disminuirlas.

Caso 4.2.2 n o m impar. Se realizan las operaciones expuestas en el caso 4.1.2 para la funci´on de potencia impar.

Ejemplo 4.2. ∫ cos^3 x sen 5 x dx =

cos^2 x cos x sen 5 x dx

=

(1 − sen 2 x) cos x sen 5 x dx =

sen 6 x 6 −^

sen 8 x 8 +^ C

(complete usted los pasos intermedios).

Ejemplo 4.2. ∫ sen 3 x cos^2 x dx =

sen 2 x sen x cos^2 x dx

=

(1 − cos^2 x) sen x cos^2 x dx = cos

(^5) x 5

− cos

(^3) x 3

+ C.

4.3 Integrales de la forma

tann^ x dx.

Para todo n ≥ 2, realizamos la descomposici´on

tann^ x = tan^2 x tann−^2 x,

sustituimos tan^2 x por sec^2 x − 1 y resolvemos por el m´etodo de cambio de variable. (Re- cuerde que tan^2 x + 1 = sec^2 x, la cual se obtiene dividiendo (4.1) por cos^2 x.)

Ejemplo 4.3. ∫ tan^3 x dx =

tan^2 x tan x dx =

(sec^2 x − 1) tan x dx

=

tan^2 x 2 + ln^ |^ cos^ x|^ +^ C.

Ejemplo 4.3. ∫ tan^4 x dx =

tan^2 x tan^2 x dx =

(sec^2 x − 1) tan^2 x dx

=

tan^2 x sec^2 x dx −

(sec^2 x − 1) dx =

tan^3 x 3 −^ tan^ x^ +^ x^ +^ C.

16 Funciones Trigonom´etricas

Las integrales de la forma ∫ cotn^ x dx y

cscn^ x dx

se resuelven de manera an´aloga a los casos 4.3 y 4.4, empleando por supuesto las identi- dades trigonom´etricas apropiadas y recordando que

(cot x)′^ = − csc^2 x y (csc x)′^ = − csc x cot x.

Por ejemplo, resu´elvase

cot^4 3 x dx y

csc^6 x dx.

Nota: En el cap´ıtulo 7 se deduce una f´ormula general para

∫ secn^ x dx utilizando otros m´etodos.

4.5 Integrales de la forma

tanm^ x secn^ x dx.

Caso 4.5.1 n es par. Hacemos la siguiente descomposici´on

secn^ x = secn−^2 x sec^2 x = (sec^2 x)

n− 2 2 sec^2 x = (tan^2 x + 1)

n− 2 2 sec^2 x

y luego realizamos un cambio de variable

z = tan x

de manera que la integral original se transforma en una integral polin´omica sencilla.

Ejemplo 4.5. ∫ tan^2 x sec^4 x dx =

tan^2 x sec^2 x sec^2 x dx

=

tan^2 x(tan^2 x + 1) sec^2 x dx.

Sea z = tan x, por lo tanto, dz = sec^2 x dx. Entonces, ∫ tan^2 x sec^4 x dx =

z^2 (z^2 + 1) dz = z

5 5 +^

z^3 3 +^ C

=

tan^5 x 5 +

tan^3 x 3 +^ C.

Caso 4.5.2 m es impar. Hacemos la siguiente descomposici´on

tanm^ x secn^ x = tanm−^1 x secn−^1 x tan x sec x = (tan^2 x)

m 2 − 1 secn−^1 x tan x sec x = (sec^2 x − 1)

m 2 − 1 secn−^1 x tan x sec x

Funciones Trigonom´etricas 17

y luego realizamos un cambio de variable

u = sec x

de manera que la integral original se transforma en una integral polin´omica sencilla.

Ejemplo 4.5. ∫ tan^3 x sec^3 x dx =

tan^2 x sec^2 x tan x sec x dx

=

(sec^2 x − 1) sec^2 x tan x sec x dx.

Sea u = sec x; por lo tanto du = sec x tan x dx. Luego ∫ tan^3 x sec^3 x dx =

(u^2 − 1)u^2 du = u

5 5

− u

3 3

+ C

= sec

5 5

− sec

(^3) x 3

+ C.

Caso 4.5.3 n es impar y m es par. Expresamos la integral original en t´erminos de sec x s´olamente por medio de la transformaci´on

tanm^ x = (tan^2 x)

m 2 = (sec^2 x − 1)

m 2

para luego resolver por el m´etodo de integraci´on por partes como se hizo en 4.4.2.

Ejemplo 4.5. ∫ tan^2 x sec x dx =

(sec^2 x − 1) sec x dx =

sec^3 x dx −

sec x dx

=

2 (sec^ x^ tan^ x^ + ln^ |^ sec^ x^ + tan^ x|)^ −^ ln^ |^ sec^ x^ + tan^ x|^ +^ C = 1 2

(sec x tan x − ln | sec x + tan x|) + C.

Ejercicio 4.5.1 Resolver

tan^4 x sec^3 x dx.

4.6 Integrales de la forma

sen nx cos mx dx con n
= m.

Utilizamos la identidad

sen nx cos mx =^1 2

( sen (n + m)x + sen (n − m)x)

la cual se obtiene al sumar las identidades

sen (n + m)x = sen nx cos mx + sen mx cos nx sen (n − m)x = sen nx cos mx − sen mx cos nx.