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Cuatro ejemplos de métodos de integración: integración por sustitución, integración por partes, sustitución trigonométrica e integrales impropias. Se explican los pasos para resolver cada uno de los ejemplos y se muestra la comprobación en GeoGebra. útil para estudiantes de cálculo que deseen repasar o aprender los métodos de integración mencionados.
Tipo: Ejercicios
1 / 9
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Temática 1 – Método de integración por sustitución.
a.
2
( 3 𝑥)cos( 3 𝑥) 𝑑𝑥
Utilizando el método de integración por sustitución podemos aplicar el cambio de
variable para transformar la integral en una más simple:
Sustituyendo:
2
2
Aplicar la integral directa: ∫
𝑛
𝑥
𝑛+ 1
𝑛+ 1
y sustituir por la variable inicial
3
3
Comprobación en GeoGebra
Temática 2 – Método de integración por partes.
a.
cos
2
Utilizando el método de integración por partes. ∫
Se definen las variables:
2
Reemplazamos en la integral por partes:
cos
2
Comprobación en GeoGebra
Obtenemos 𝐴 =
3
10
y 𝐵 =
1
10
, de esta forma se sustituye en la integral con las fracciones
parciales:
ln |𝑥 − 3 | + 𝑐
ln | 3 𝑥 + 1 | + 𝑐
Para la segunda integral se realiza sustitución 𝑢 = 3𝑥 + 1,
𝑑𝑢
3
ln |𝑥 − 3 | +
ln | 3 𝑥 + 1 | + 𝑐]
ln |𝑥 − 3 | +
ln | 3 𝑥 + 1 | + 𝑐
Comprobación en GeoGebra
Temática 4 – Sustitución trigonométrica.
a.
2
Utilizando el método de integración por sustitución trigonométrica se puede sustituir la
variable x en términos de 𝜃, para hallar la integral indefinida de una función
trigonométrica.
Se aplica el caso en el que el integrando es de la forma √𝑎
2
2
tomando la sustitución
de variable por 𝑥 = 𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑐𝑜𝑛 𝑎 > 0 𝑦
−𝜋
2
𝜋
2
Para nuestro caso, 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛𝜃 lo cual 𝑑𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃
2
2
2
2
Se aplica la identidad trigonométrica en 1 − 𝑠𝑒𝑛
2
2
2
2
Con la identidad de reducción de potencias en 𝑐𝑜𝑠
2
𝜃 = ( 1 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃)/ 2 se puede ver la
integral como:
2
Para el resultado se reescribe la expresión utilizando el ángulo doble 𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃
De la variable 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛𝜃 obtenemos que,
−
Temática 5 – Integrales impropias.
a.
∞
1
Utilizando el método de integración impropia se puede evaluar la integral de la siguiente
forma:
2
1
∞
2
Dado que no se puede evaluar directamente la integral debido a que la antiderivada del
integrando no está definido en una función elemental.
Ahora, por definición
lim
𝑎→ 1
2
𝑎
) + lim
𝑎→+∞
𝑎
2
Por sustitución resolvemos la integral definida, entonces sea 𝑢 = 𝑙𝑛 (𝑥) 𝑦 𝑑𝑢 =
1
𝑥
𝑑𝑥 y
se vuelve a la variable original x
lim
𝑎→
𝑑𝑢) + lim
𝑎→+∞
𝑑𝑢) = lim
𝑎→
𝑎
2
] + lim
𝑎→+∞
2
𝑎
Se calculan las fronteras de las integrales definidas:
= lim
𝑎→
[5𝑙𝑛(𝑙𝑛(2)) − 5𝑙𝑛|𝑙𝑛(𝑎)|] + lim
𝑎→+∞
Luego, se aplica la propiedad de la suma: el límite de la suma es la suma de los límites.
= [ lim
𝑎→ 1
5 𝑙𝑛(𝑙𝑛( 2 )) − lim
𝑎→ 1
5 𝑙𝑛|𝑙𝑛(𝑎)|] + [ lim
𝑎→+∞
5 𝑙𝑛|𝑙𝑛(𝑎)| − lim
𝑎→+∞
De las operaciones anteriores se obtiene que el límite no existe como un número finito,
Por tanto,
∞
1
Comprobación en GeoGebra
