INTEGRACIÓN FORMULARIO, Diapositivas de Cálculo

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UNIDAD III

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

• Definición
• Ejercicios Resueltos

Semana 08

• Conocer el significado de la integral indefinida.
• Aplicar las propiedades de la integral indefinida
• Resolver ejercicios sobre la integral indefinida.

Objetivos

¿Qué es la Integración?

Integrar es el proceso recíproco de derivar, es decir, dada una función f(x) , busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).

 F ( ) x + C  '= F '( ) x + 0 = F '( ) x = f ( ) x

FUNCIÓN PRIMITIVA O ANTIDERIVADA

Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x) si cumple que:

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas

en una constante.

F '( ) x = f ( ) x

La integral indefinida

La integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una

función.

• Se representa por
• Se lee : integral de f de x diferencial de x.
• es el signo de integración.
• es el integrando o función a integrar.
• dx es diferencial de x , e indica cuál es la variable de la función que se integra.
• C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.
• Si F(x) es una primitiva de f(x) entonces:
• Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

 f ( ) x dx.

f ( ) x

 f^ ( ) x dx^ = F ( ) x + C^.

Se suelen denominar integrales inmediatas a las que resultan evidentes por ser el

integrando la derivada de una función conocida. Evidentemente no se trata de un

concepto matemático riguroso, simplemente tomaremos como inmediatas las

integrales básicas más habituales. Asumiremos por tanto como integrales conocidas

o inmediatas a las siguientes:

Para cualquier número real k.

Integrales Básicas o Inmediatas



du = u + C

, n - 1

1

• 

= 

C n

u u du

n n

 = u + C u

du ln



e du = e + C

u u



= + C a

a a du

u u

ln

 senu du = −cos u + C



cos udu = senu +C

 tan u^ du =^ lnsec u + C

 cot udu = ln senu + C

Integrales Trigonométricas

 sec u du = ln secu+tanu + C

 csc u^ du =^ lncsc u −cot u + C

 sec = tan +C 2 udu u

 csc u du = −cot u + C 2

 sec u^ ^ tan udu =sec u + C

 csc u^ ^ cot udu = −csc u + C

EJEMPLO 1

 −

dx x

x

2

3 Calcule

Solución

( )( )

( )

x x C

x

x C

x x

x x dx

dx x

x x x dx x

x



 

2

3

3 2

2

3 2

EJEMPLO 2

( )   

− − x + dx x x

x x sec 1

Calcule

Solución

( ) ( )

x tg x x C x

x

x tg x x C

x x

x dx x x x dx x x

x x

−

−

 

lnsec( ) ( )

lnsec( ) ( )

sec 1 2 sec 1

3

7

2

1 3

7

2

3 3

4 3

EJEMPLO 4

Solución:

 (^)  

 

 + + − x (^) xa xe dx e (^1) cos x

න

𝒙𝒆+𝟏^ + 𝐜𝐨𝐬 𝒂 − 𝒙 𝒆𝒙 𝒙

𝒅𝒙

න

𝒙𝒆+𝟏^ + 𝐜𝐨𝐬 𝒂 − 𝒙 𝒆𝒙 𝒙

𝒅𝒙 = න 𝒙𝒆^ +

𝟏 𝒙

𝐜𝐨𝐬 𝒂 − 𝒆𝒙^ 𝒅𝒙

=

𝒙𝒆+𝟏 𝒆 + 𝟏

• 𝐥𝐧 |𝒙| 𝐜𝐨𝐬 𝒂 − 𝒆𝒙^ + 𝑪

EJEMPLO 5

 −

• dx x

x 2

2

Calcule 1

Solución ( )

x C

dx x

dx x

dx x

x x

dx x

x x dx x

x







 

arcsin( )

2

2

2

2 2

2

2 2

2

2

GRACIAS