INTEGRACIÓN INDEFINIDA, Diapositivas de Cálculo

¡Descarga INTEGRACIÓN INDEFINIDA y más Diapositivas en PDF de Cálculo solo en Docsity!

Tema: Optimización

• Problemas CÁLCULO I Unidad II La derivada y sus aplicaciones

OBJETIVO

Aplicar los concepto de

máximos y mínimos locales

que permitan dar solución

a problemas de

optimización.

Problemas de Optimización Un problema de optimización consiste en minimizar o maximizar el valor de una variable. Para resolver éste tipo de problema se recomienda seguir los siguientes pasos:

1. Identificar las variables y las cantidades de interés y si es conveniente elaborar un buen dibujo que indique la dependencia entre ellas. 2. Construir la función a minimizar o maximizar y conseguir que ésta dependa de una sola variable, si en el contexto del problema aparecen más de una variable, habrá que buscar alguna relación entre ellas de entre los datos que nos aporte el problema. 3. Se obtiene los puntos críticos que son los candidatos a ser solución de un problema y se obtienen derivando la función, igualando a cero la derivada y resolviendo la ecuación. 4. Para comprobar si es la solución, se aplica el criterio de la primera derivada ó de la segunda derivada. 5. Dar respuesta al problema.

Ejemplo 1 : Se desea construir una caja con tapa utilizando un

cartón rectangular que mide 5 pies por 8 pies. Esta se realiza

cortando las regiones sombreadas de la figura y luego doblando por

las líneas discontinuas. ¿Cuáles son las dimensiones x, y, z que

maximicen el volumen de la caja?

Ejemplo 1 Se desea construir una caja con tapa utilizando un cartón rectangular que mide 5 pies por 8 pies. Esta se realiza cortando las regiones sombreadas de la figura y luego doblando por las líneas discontinuas. ¿Cuáles son las dimensiones x, y, z que maximicen el volumen de la caja? Solución: Derivamos la función 𝑉 ′ 𝑥 = 6 𝑥 2 − 26𝑥 + 20 Hallamos los valores críticos: 𝑉 ′ 𝑥 = 0 → 6 𝑥 2 − 26𝑥 + 20 = 2 (𝑥 − 1 )(3𝑥 − 10 ) = 0 𝑥 = 1 o 𝑥 = 10 3 , pero 𝑥 = 10 3 ∉ 𝐷𝑜𝑚(𝑉), entonces el único valor crítico es 𝑥 = 1 Verifiquemos si el valor critico x=1 genera el volumen máximo que buscamos Hallamos la segunda derivada 𝑉 ′′ 𝑥 = 12𝑥 − 26 y evaluamos 𝑉 ′′ 1 = − 14 < 0 entonces por el criterio de segunda derivada la función volumen alcanza un máximo en 𝒙 = 𝟏 Reemplazamos para hallar las otras dimensiones 𝒛 = 𝟓 − 𝟐𝒙 = 𝟑 , 𝒚 = 𝟒 − 𝒙 = 𝟑 Respuesta: Las dimensiones que maximizan el volumen de la caja son 𝑥 = 1 𝑝𝑖𝑒, 𝑦 = 3 𝑝𝑖𝑒𝑠 y 𝑧 = 3 𝑝𝑖𝑒𝑠.

Ejemplo 2 : Un cilindro está inscrito en un cono circular recto de

altura 8 cm y radio de base 5 cm. Hallar las dimensiones del

cilindro que maximicen su volumen.

Solución: Derivamos la función 𝑉 ′ 𝑟 = 𝜋 5

2 Hallamos los valores críticos: 𝑉 ′ 𝑟 = 0 → 80𝑟 − 24 𝑟 2 = 8𝑟( 10 − 3𝑟) = 0 𝑟 = 0 o r = 10 3 , pero r = 𝟎 ∉ 𝐷𝑜𝑚(𝑉), entonces el único valor crítico es r = 10 3 Verifiquemos si el valor critico r = 10 3 genera el volumen máximo que buscamos Por el criterio de primera derivada la función volumen alcanza un máximo en 𝒓 = 𝟏𝟎 𝟑 Reemplazamos para hallar la altura 𝒉 = 𝟖 − 𝟖 𝟓

𝟖 𝟓 𝟏𝟎 𝟑 = 𝟖 𝟑 Respuesta: El máximo volumen del cilindro se alcanza para r = 10 3 cm y ℎ = 8 3 𝑐𝑚. Ejemplo 2 : Un cilindro está inscrito en un cono circular recto de altura 8 cm y radio de base 5 cm. Hallar las dimensiones del cilindro que maximicen su volumen.

Ejemplo 3 : Se desea construir un tanque en forma cilíndrica de

concreto para agua. El tanque de agua ha de tener la capacidad

192 m

3

. Si el contorno cuesta 4 dólares por metro cuadrado y la

base cuesta 3 dólares por metro cuadrado. ¿Cuáles han de ser las

medidas (radio y altura) para que el costo total sea mínimo? y

¿cuál es dicho costo mínimo?

Solución: Derivamos la función 𝐶 ′ 𝑟 = − 1536 𝑟^2

− 1536 + 6 𝜋𝑟 3 𝑟^2 Hallamos los valores críticos:

• 𝐶 ′ 𝑟 = − 1536 + 6 𝜋𝑟 3 = 0 → r = 3 1536 6 𝜋 ≈ 4. 3354 Verifiquemos si el valor critico r = 4. 33 genera el costo mínimo que buscamos 𝐶 ′ ′ 𝑟 = 3072 𝑟^3 + 6 𝜋, evaluando 𝐶 ′ ′ 4. 33 = 3072

1. 333

• 6 𝜋 = 37. 84 + 6 𝜋 > 0 , entonces por el criterio de segunda derivada la función costo total alcanza un mínimo en r = 𝟒. 𝟑𝟑. Reemplazamos para hallar la altura 𝐡 = 𝟏𝟗𝟐 𝝅 𝟒.𝟑𝟑 𝟐^

El costo mínimo es 𝐶 4. 33 = 1536

1. 33

2 ≈ 531. 438 Respuesta: El costo mínimo es de 531.44 dólares y se alcanza cuando r = 𝟒. 𝟑𝟑 y 𝐡 = 𝟑. 𝟐𝟓𝟏𝟔 Ejemplo 3 : Se desea construir un tanque en forma cilíndrica de concreto para agua. El tanque de agua ha de tener la capacidad de 192 𝑚 3

. Si el contorno cuesta 4 dólares por metro cuadrado y la base cuesta 3 dólares por metro cuadrado ¿Cuáles han de ser las medidas (radio y altura) para que el costo total sea mínimo? y ¿cuál es dicho costo mínimo?

Ejemplo 4 : Una isla está ubicada en el punto A, a 6 km mar adentro

del punto más cercano B en una playa recta. Una mujer que se

encuentra en la isla desea llegar al punto C, que se encuentra 9 km

más abajo de B a lo largo de la playa. La mujer tiene la opción de

alquilar un bote por 15 soles por kilómetro y viajar por agua hasta el

punto P, situado entre B y C; luego puede alquilar un auto con chofer

a un costo de 12 soles por kilómetro y recorrer un camino recto desde

P hasta C. Se desea determinar la ruta menos costosa para la

mujer desde el punto A hasta el punto C.

Solución:

Derivamos la función 𝐶 ′ 𝑥 = 15 𝑥 𝑥^2 + 36

15 𝑥− 12 𝑥^2 + 36 𝑥^2 + 36 Hallamos los valores críticos: 𝐶 ′ 𝑟 = 15𝑥 − 12 𝑥 2

• 36 𝑥 2
• 36 = 0 → 5𝑥 − 4 𝑥 2
• 36 = 0 → 25 𝑥 2 = 16 𝑥 2
• 16 36 → x = ±

1. 16 9 = ± 8 Valor crítico 𝑥 = 8 Ejemplo 4 : Una isla está ubicada en el punto A, a 6 km mar adentro del punto más cercano B en una playa recta. Una mujer que se encuentra en la isla desea llegar al punto C, que se encuentra 9 km más abajo de B a lo largo de la playa. La mujer tiene la opción de alquilar un bote por 15 soles por kilómetro y viajar por agua hasta el punto P, situado entre B y C; luego puede alquilar un auto con chofer a un costo de 12 soles por kilómetro y recorrer un camino recto desde P hasta C. Se desea determinar la ruta menos costosa para la mujer desde el punto A hasta el punto C.

Ejemplo 4 : Una isla está situada en el punto A, 6 km mar adentro del punto más cercano B en una playa recta. Una mujer que se encuentra en la isla desea ir al punto C, 9 km playa abajo de B. La mujer puede rentar un bote por 15 soles el km y viajar por agua hacia el punto P entre B y C; entonces puede alquilar un auto con chofer a un costo de 12 soles por km y recorrer un camino recto de P a C. Determinar la ruta menos costosa a seguir del punto A al punto C. Solución: Verifiquemos si el valor critico 𝑥 = 8 genera un costo menor de la ruta que buscamos entonces por el criterio de primera derivada la función costo alcanza un mínimo en 𝒙 = 𝟖. 𝟖 2

• 36 = 𝟏𝟎 Respuesta: La ruta menos costosa es viajando 1 𝑘𝑚 por tierra y 10 km por mar

GRACIAS