¡Descarga Métodos Numéricos de Integración: Regla del Trapecio, Simpson 1/3 y Simpson 3/8 y más Apuntes en PDF de Ingeniería solo en Docsity!
“Integración numérica”
Planeación didáctica del tema
Tópicos INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Temas Métodos de Newton- Cotes
Regla del Trapecio
Fórmula de 1/
Fórmula de 3/
Objetivos
específicos
Proponer solución a situaciones que involucren la síntesis y/ o
acumulación como efecto del producto de una variable independiente, en
un intervalo [a, b].
Tomar decisiones fundamentadas sobre la elección de métodos típicos de
solución, desde el reconocimiento de un método analítico y/o en su caso,
a las fórmulas de integración numérica de la familia Newton-Cotes.
Implementar las fórmulas de la Regla del Trapecio, Simpson 1/3 y
Simpson 3/8.
Emplear software indicado y/o en su caso diseñar programas
especializados para hacer corridas, y estimar el concepto de error.
Interpretar resultados en el contexto del problema.
Niveles de
comprensión
Niveles Evidencia de aprendizaje
1. Reproducción
de conocimiento
Reproduce el concepto de integral definida.
Ubica detalles de áreas bajo la curva para
fenómenos simples.
Analiza características del fenómeno descrito como
área bajo la curva.
Evidencia de aprendizaje 4.1, 4.2, 4.
2. Aplicación
básica de
habilidades y
conceptos
Construye una representación que muestra como
se ve y/o funciona un fenómeno.
Aplica un método numérico en una aplicación
rutinaria.
Clasifica una serie de etapas y elige por un método
numérico.
Escribe una explicación de un tópico para otros
alumnos.
Evidencia de aprendizaje 4.
3. Desarrollo de
un plan o una
secuencia de
pasos lógicos
Explica y conecta ideas, usando evidencia que lo
sustenten.
Construye una representación que muestra como
se ve y/o funciona un caso.
Cita evidencia y desarrolla un argumento lógico
para hacer conjeturas.
Resuelve el problema y analiza escenarios
distintos.
Evidencia de aprendizaje 4.5, 4.
4. Pensamiento
matemático
(razonamiento
y abstracción)
Sintetiza ideas en nuevas representaciones
(elaborar pseudocódigo, diagrama de flujo y
programa en código).
Evidencia de aprendizaje 4.7a
Escribe el código fuente y presenta el ejecutable-
Ingeniería en Computación
Evidencia de aprendizaje 4.7b
Realiza un análisis comparativo: Ingeniería Civil,
Industrial, Mecánica, Eléctrica- Electrónica:
Evidencia de aprendizaje 4.7b
Recursos
digitales:
Ejecutables elaborados por integrantes del proyecto PAPIME
Regla del Trapecio
Fórmula de 1/
Fórmula de 3/
Videos elaborados para el proyecto
Nivel 1 - https://youtu.be/Z3C341IMMx
1er Caso - https://youtu.be/Oyj7euLTP_I
2do caso - https://youtu.be/N47KX1qoIPU
3er caso - https://youtu.be/SrVDxL1p
4to caso - https://youtu.be/rbyEVNSvUoY
De apoyo:
www.math.tamu.edu/~tom https://.kiffe/Tools/quadj.html
https://www.zweigmedia.com/RealWorld/integral/integral.html
http://demonstrations.wolfram.com/NumericalIntegrationExamples/
https://www.geogebra.org/m/ptVCr8rH
Test de
reposición
Ponte a prueba
Tema para
participación
en foro
Opcional: Diseñar una infografía ¿Cómo identificar en un evento
práctico/fenómeno cuándo derivar o cuándo integrar?
Encuesta de
satisfacción
Preguntas de reflexión
Referencias
bibliográficas
- Apostol T. M. (1967) Cálculo volúmen I. Cálculo con funciones de una
variable, con una introducción al álgebra lineal. Editorial Reverté,
Barcelona.
- Chapra S.C. & Canale R.P. (2010). Numerical Methods for Engineers.
McGraw Hill, U.S.
- Actividades de aprendizaje
- NIVEL
- Ejemplos de aplicación
- Actividades de aprendizaje
- NIVEL
- Ponte a prueba
- Test de reposición
- Preguntas de reflexión
- Rúbricas de evaluación
La integración numérica constituye una herramienta para aproximar numéricamente
el valor de integrales definidas de difícil cálculo o cuya solución no se puede lograr
mediante medios analíticos. Su importancia resulta en sus aplicaciones, tales como, el
cálculo de la capacidad de un lago a partir de datos topográficos, la fuerza ejercida por
el aire sobre las alas de un avión, la distancia recorrida a partir de un tacómetro, por
mencionar algunos de ellas.
Las intenciones educativas del presente texto, son las de presentar actividades de
aprendizaje, a partir de escenarios concretos en el campo de la ingeniería, que le
permitan al estudiante formalizar conceptos de integración numérica, tomar decisiones
en el momento de resolver un problema real y/o abstracto, y emplear algoritmos,
aplicando o diseñando software necesario.
El texto está organizado por niveles de aprendizaje, del uno al cuatro, en donde se
entremezclan cápsulas explicativas sobre la naturaleza de la integración numérica con
la presentación de solución de problemas, paso a paso, que se describen con modelos
matemáticos, principalmente, aquellos que se presentan en el desempeño profesional.
Consecuentemente, en cada nivel, existen actividades de aprendizaje interactivas que
coadyuvan al desarrollo de habilidades de razonamiento matemático y estrategias de
solución en un entorno de ingeniería, con ejercicios, ligas a sitios de internet e incluso,
se proporciona software didáctico, para hacer más significativo y efectivo el
aprendizaje.
Cada nivel tiene un propósito, tal es el caso que el nivel 1, está referido a la adquisición
del conocimiento. En este nivel el estudiante requiere recordar sus conocimientos
previos y ubicar en forma concreta fenómenos proclives a ser tratados con Métodos
Numéricos. El nivel 2 trata del uso de conceptos y habilidades cognitivas que permitan
la aplicación de la integración numérica.
El nivel 3, tiene una orientación estratégica para razonar acerca de los algoritmos, y
para tomar decisiones en la solución de problemas, es un nivel de análisis y síntesis.
Finalmente, el nivel 4, va hacia el diseño, tiene una orientación en la que el estudiante
use lo que ha aprendido, no solo en la asignatura de Métodos Numéricos, también en
otros contextos académicos y externos, que se refleje en su creación.
Presentación
a) Una acción por la cual se forman las partes en un todo.
b) Una acción, a partir de la cual es posible completar, con las partes que le faltan,
un todo.
Por eso, en una integral se realiza una generalización de una suma continua,
encuadrada en el cálculo infinitesimal y en el análisis matemático, se obtiene una
función ( llamada primitiva o elemental F(x) ) que permite comprender el fenómeno y/o
situación en su totalidad.
La obtención de la función primitiva mediante la integración, se obtiene por dos
alternativas: la analítica y la numérica.
La integración por medios analíticos consiste en emplear una fórmula exacta o una
combinación de fórmulas que generan la primitiva sin margen de error.
La integración numérica se constituye de una familia de algoritmos para estimar el
valor numérico de F , mediante aproximaciones, de ahí su nombre.
La integración numérica es diferente de una integración analítica en dos sentidos:
Primero, como método numérico, proporciona una solución aproximada y no llega a
una solución exacta, en este sentido, el análisis del error es un aspecto importante en la
integración numérica.
Segundo, no produce una función elemental, en realidad produce un valor numérico de
la primitiva, de ahí la necesidad de definir intervalos de inicio y fin.
La elección de un método numérico o analítico se debe a uno de los tres siguientes
casos:
a. Una función continua, como puede ser un polinomio, una función exponencial y/
o trigonométrica.
a. Una función continua complicada que es difícil o prácticamente, imposible
integrar directamente. Por ejemplo, las funciones
−𝑥
2
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥
2
2
𝑥. en este tipo de casos se tendrían que abordar
integrales dobles y triples.
b. Una función expresada en forma tabulada, en términos de contar con valores x y
f(x) que son dados en un número discreto y finito de puntos, como resultado de
un experimento, datos experimentales, de trabajo de campo o, en general,
obtenidos de una investigación aplicada.
En el primer caso, la integración puede ser evaluada de manera analítica, esto es,
empleando fórmulas de integración. En el segundo y tercer caso, no es posible llegar a
obtener la integral de la función por medios analíticos. En el segundo caso, no se tiene
una función primitiva elemental que las defina, y en el tercer caso, solo se cuenta con
pares de coordenadas, sin conocer la función.
Las fórmulas de la Regla del Trapecio, de Simpson 1/3 y de Simpson 3/8,
corresponden a tres métodos numéricos clásicos de integración definida. En los tres
métodos, se requiere definir los límites de la integración, y que las distancias entre las
variables independientes 𝑥 0
1
𝑛
, sean equidistantes. Asimismo, se emplea un
polinomio de interpolación que aproxime la función f en un intervalo [a, b].
Por ejemplo, en un experimento de determinar el alargamiento de una pieza mecánica
cuando es sometida a cargas diferentes, se tabula el alargamiento para distintas fuerzas.
Esto origina una tabla de dos columnas relacionadas con valores discretos (fuerza-
alargamiento). Para estos casos, la integración numérica es la única opción viable de
evaluación, ya que no se conoce la función representativa.
Las Reglas del Trapecio, de Simpson 1/3 y de Simpson 3/8 pertenecen a una familia de
fórmulas llamadas Newton- Cotes (en honor a Isaac Newton y a Roger Cotes). La
característica fundamental de estos métodos es que los datos independientes (abscisa)
están divididos en secciones equidistantes. Se ajusta un polinomio de grado 1, 2 ó 3, de
acuerdo el número de intervalos que tengan y también observando la gráfica que se
obtiene de la tabulación de coordenadas.
Como nota histórica la ideación conceptual fue prevista por Euclides hace ¡3000 años
AC!
Hay otra familia de métodos, que se emplean cuando se utilizan valores de 𝑓(𝑥) en
abscisas desigualmente espaciadas, y que están determinadas por ciertas familias de
polinomios ortogonales, llamados Fórmulas de Cuadratura Gaussiana.
Como método numérico, es indispensable programar y/o usar un software para las
fórmulas de la Regla del Trapecio, de Simpson 1/3 y de Simpson 3/8, así como
reinterpretar los resultados y el concepto de error.
La integración definida, matemáticamente, es una medida de un área bajo la curva. Es
un concepto que puede ser usado para modelar y aproximar áreas, volúmenes y otras
cantidades limitadas geométricamente, además, de fenómenos físicos que involucren
las estructuras antes mencionadas (esto es, una multiplicación de f(x) por dx ).
Autoevaluación diagnóstica
a. Encontrar ∫
7
6
b. Una integral indefinida es
i. El conjunto de las
infinitas primitivas
que puede tener
una función
ii. El conjunto de las
infinitas no
primitivas de una
función
iii. La suma de las
integrales que
puede tener una
función
c. Prueba si es correcta la siguiente desigualdad
2
0
Investiga y define
En el contexto de aplicaciones de la integral
a. ¿Qué es un sólido de revolución? __________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
b. ¿Qué es la longitud de una curva?___________________________________________________
________________________________________________________________________________________
c. ¿Qué es un centroide de figura plana? _____________________________________________
________________________________________________________________________________________
d. ¿Qué es un momento de inercia de un cuerpo plano? ____________________________
________________________________________________________________________________________
NIVEL 1
Cualquier fenómeno físico que tenga la estructura A=x*y , donde A, en este caso,
representa un área, x representa el lado horizontal de la figura y y , el lado vertical. Si en
lugar de x , se usa dx , que representa una distancia infinitesimal horizontal, y en lugar
de y , se usa f(x) , la estructura resultante es:
Sin embargo, para un fenómeno físico no es suficiente, se requiere sumar cierta
cantidad de las estructuras 𝑓(𝑥)𝑑𝑥.
Por lo que ahora, se transforma en
Esta forma ya indica la suma de las áreas calculadas, no obstante, aún no son claros los
límites de la suma, es decir; la suma es indefinida.
Esto aplicado a un fenómeno físico y/ o a una forma geométrica, no se adecua a la
representación. Por ello, es necesario contar con los límites, inicial y final [a, b] ,
resultando finalmente,
𝑏
𝑎
Esta representación, en matemáticas se conoce como integral definida.
A continuación, se presentan casos que distinguen cuándo emplear el concepto de
integración.
¿En qué situaciones se emplea la integración?
Tres implicaciones se muestran con el ejemplo:
(a) En una gráfica de fuerza en función de posición, el trabajo total realizado por la
fuerza está representado por el área bajo la curva entre las posiciones inicial y
final.
(b) El trabajo W es igual a la suma de los productos de las fuerzas variables 𝐹
𝑥
, por
los desplazamientos infinitesimales 𝑑𝑥.
(c) Se están relacionando dos conceptos aparentemente aislados, la fuerza F y el
desplazamiento.
3er caso. Superávit de consumidores y productores
El mercado determina el precio al que un producto se vende. En un mercado en
equilibrio, los consumidores compran la misma cantidad del producto que los
fabricantes quieren vender.
La relación entre la cantidad producida q y el precio p se llama demanda d.
No obstante, algunos consumidores están dispuestos a gastar más por un artículo que
el precio de equilibrio. El total de las diferencias entre el precio de equilibrio del artículo
y los mayores precios que todas esas personas aceptan pagar, se llama superávit de los
consumidores.
Fig. 4.2 Relación cantidad-precio
La curva representa a la demanda, donde se
muestra la relación de cantidad de artículos 𝑞
0
con respecto al precio que los consumidores
están dispuestos a pagar.
En particular, el área sombreada en color lila,
representa el superávit de los consumidores.
Asimismo, el área bajo la recta 𝑦 = 𝑝
0
, muestra
la demanda total de consumidores que
realmente gastarán en el precio 𝑝
0
en equilibrio.
Existe una implicación:
(a) El superávit de los consumidores está dado por el área que se forma entre la
intersección de dos curvas con el eje y: Una es la función de demanda y la otra
es la recta del precio en equilibrio.
Se genera una función primitiva de demanda que representa la ganancia de
consumidores
𝑞
0
0
0
La integración representa el área entre la intersección de las curvas.
4° caso. Momento estático y momento de inercia
Un cuerpo rígido en rotación es una masa en movimiento, así que tiene energía cinética
que podemos expresar en términos de la rapidez angular del cuerpo y una nueva
cantidad llamada momento de inercia, que depende de la masa del cuerpo y de la forma
en que se distribuye tal masa.
La palabra “momento” implica que la inercia depende de la distribución espacial de la
masa del cuerpo; nada tiene que ver con el tiempo. Para un cuerpo con un eje de
rotación dado y una masa total dada, cuanto mayor sea la distancia del eje a las
partículas que constituyen el cuerpo, mayor será el momento de inercia.
La integración tiene que ver directamente con la forma geométrica del objeto. Se
obtiene el modelo que represente el área y se divide el cuerpo en elementos muy
pequeños de masa 𝑑𝑚, de modo que todos los puntos de un elemento estén
prácticamente a la misma distancia perpendicular del eje de rotación, de modo que el
momento de inercia se puede ver como
2
Puedes encontrar más demostraciones interesantes en:
http://demonstrations.wolfram.com/NumericalIntegrationExamples/
EL RESULTADO DE INTEGRACIÓN SE UBICA EN EL PRIMER CUADRANTE
El área de la región ashurada es 𝐴 = 𝑦 ∗ 𝑥
Pero la suma de los rectángulos es
¿Qué pasa si...?
Fig. 4.4 Área bajo la curva normal tipificada
Aquí y es (+) y la diferencia de la integral es la siguiente
𝑏
𝑎
Donde a es menor que b , es decir;
Pero, por lo que la diferencia
Es (+), así que el área de la integral es (+)
Esto es verdad, ya que el área de la curva de Gauss es uno, positivo.
EL RESULTADO DE INTEGRACIÓN SE UBICA EN EL TERCER CUADRANTE
El área de interés en la figura 4.5 es la sombreada y delimitada con el círculo.
Fig. 4.5 El cruce de dos funciones
El área bajo la curva en el tercer cuadrante se obtiene:
3
0
− 2
En un principio, da la impresión de que el área sería negativa por la ubicación en el
cuadrante. Sin embargo, matemáticamente no lo es, dado que al valuar en el límite
inferior tiene signo (-) y por Regla de Barrow:
a b
∞ ∞
Área del cruce de rectas en el tercer cuadrante= (
𝑥
4
4
4 𝑥
2
2
0
− 2
El área exclusiva del tercer cuadrante es 4.
Ahora, considere ambas áreas, del primer y tercer cuadrante. Existe simetría, se podría
decir que el área total es (2)(4)= 8.
Esta interpretación es matemática, pero no necesariamente de un fenómeno físico.
(Piense en la ganancia en un tiempo 𝑡 𝑖
, y pérdida de dinero en un tiempo 𝑡
𝑖+ 1
. Al final
se tendría un resultado nulo, por lo que es importante analizar el problema y lo que se
busca. Así, hay múltiples ejemplos).
De ahí la abstracción de este tema.
EL RESULTADO DE INTEGRACIÓN SE UBICA EN EL CUARTO CUADRANTE
En el cuarto cuadrante ocurre algo similar al tercer cuadrante
Fig. 4.6 Consideraciones área bajo la curva en el cuarto cuadrante
á𝑟𝑒𝑎 = ∫
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
Considérese el siguiente caso: La fuerza aplicada a un móvil de 2 kg de masa en función
del desplazamiento. La figura 4. 6 muestra la función del trabajo W, donde la velocidad
inicial 𝑣 0
= 0 , y posteriormente, es de 5 m/s que al llegar a la posición x=4, la fuerza se
mantiene constante, aunque el móvil sigue avanzando. Después, la fuerza disminuye
hasta la posición x=17. ¿Qué ocurre después?
Fig. 4.7 Trabajo ejercido sobre un móvil
t
𝑡
2
𝑡
1
$
i. Se considera la
simetría de la
curva
ii. Se anula el
resultado
iii. No es posible
obtener el área
Ahora, suponga una empresa y sus ganancias en el intervalo de tiempo [𝑡
1
2
], de
acuerdo con el siguiente gráfico. La empresa, ¿ganó?, ¿perdió?, ¿qué ocurrió?
i. No ganó, ni
perdió
ii. Perdió iii. Ganó
Evidencia de aprendizaje 4.
¿Cómo se procedería a evaluar el área bajo la curva de los siguientes casos, en el
intervalo [a, b]?
Describe cómo se calcula el área de una región delimitada, ya sea por uno de estos casos
y/o su combinación:
(a) La función y sus intersecciones con el eje de las abscisas,
(b) La función y su delimitación con dos rectas
(c) El área encerrada entre dos funciones
4.2b
4.2c (área sombreada R )
4.2d (área 𝑅
1
2
Evidencia de aprendizaje 4.
1. Contesta las preguntas, y sube una imagen por cada gráfica que te soliciten.
Describe cada gráfica en términos del concepto de área bajo la curva
El consumo del gas
combustible en tu hogar
suele partir de un tanque
lleno.
4.3a ¿Cómo será la gráfica de la cantidad de gas
contenida en el tanque en cada instante?
4.3b ¿Cómo será la curva del gasto de gas?
4.3c ¿Cómo se comporta la presión interna del tanque
en este proceso?
Comenta tus hallazgos con tus compañeros y, si tienes dudas, apóyate con tu profesor.
FORO DE DISCUSIÓN. Diseñar una infografía ¿Cómo identificar en un evento
práctico/fenómeno cuándo derivar o cuándo integrar?
Ya puedes pasar al segundo nivel, en el cual conocerás tres métodos numéricos: Regla
del Trapecio, Regla de Simpson 1/3 y Regla de Simpson 3/8. Se te presentará un caso,
su análisis y el proceso de solución por los tres métodos.
