Métodos numéricos para integración: Trapecio y Simpson, Diapositivas de Programación C

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MÉTODOS NUMÉRICOS PARA

INTEGRACIÓN

Dr. Carlos Francisco Cruz Fierro Instituto Tecnológico de Durango

Integral indefinida

 La integración es la operación matemática opuesta a la diferenciación: dada una función f , se busca otra función F tal que dF / dx = f.

 Ya que existe un número infinito de tales funciones F , que difieren entre sí sólo por una constante aditiva, se dice que se obtiene una

“integral indefinida”. Por ejemplo, para f ( x ) = 3 x^2 +cos x :

3 3 expresar con una 3 3 sola "constante"

sen sen sen sen.

F x x x F x x x F x x x C F x x x F x

 →^ =^ +^ +

Integral definida

 Una integral definida es la que tiene “límites de integración”.

 De acuerdo al teorema fundamental del cálculo integral:

 Ejemplo:

b a ∫ f^ x dx^ =^ F^ b^ − F^ a

( )

(^1 2 ) 0 0 3 3

cos sen

sen sen .

x + x dx = x + x

= + − −

∫

Interpretación geométrica

 La integral definida se puede interpretar como el área bajo la curva de la función f ( x ):

y

a b^ x

f ( x )

b a

I = (^) ∫ f x dx

Regla del Trapecio

 Es el método más simple de integración numérica, consiste en aproximar la integral como el área de un trapecio de base b − a y alturas f ( a ) y f ( b ).

 Tiene la desventaja de que es el método más inexacto, pero es relativamente fácil de programar.

 Se puede aplicar también para varios puntos, sean igualmente espaciados o no.

Regla del trapecio

y

a b^ x

f ( x )

f a f b I b a

(para un solo segmento)

Regla del trapecio

x 1 xn

f ( x )

1 0 1

n i n i

h I f x f x f x

−

=

 ∑ 

(segmentos múltiples igualmente espaciados)

1 1 h x^ n x n = − −

ancho de los trapecios: y

x

Regla del trapecio

x 1 xn

f ( x )

(segmentos múltiples desiguales) 1

1

n i i

I A

−

=

= (^) ∑

(regla del trapecio aplicada a cada segmento)

i i i i i

f x f x A x (^) + x +

A 1 A 2 A 3 A 4

y

x

Regla de Simpson de 3/

 Se obtiene como el área bajo una ecuación cúbica, obtenida aplicando interpolación de Lagrange a los cuatro puntos.

(cuatro puntos igualmente espaciados)

h I =  f x + f x + f x + f x 

donde 4 1 3

h =^ x^ − x

Regla de Simpson de 1/

 Cuando se tiene un número n +1 impar de puntos (es decir, un número n par de segmentos) igualmente espaciados, se puede aplicar la regla de Simpson de 1/3 a cada grupo de tres puntos y sumarse las integrales para obtener:

(número impar de puntos igualmente espaciados)

( ) ( ) (^) ( ) ( )

1 2 0 1 3 5 2 4 6

n n i j n i j

I h f x f x f x f x

− −

= =

= ^ + + + 

 ∑^ ∑ 

donde h x^ n x^0 n

=^ −