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En este documento se presentan las soluciones a dos integrales indeterminadas mediante el método de sustitución trigonométrica. Se resuelven integrales de la forma ∫(fx(x) dx), donde fx(x) contiene raíces cuadradas, raíces cúbicas y funciones trigonométricas. Se utilizan sustituciones como x = tan(θ) y x = cot(θ para simplificar las expresiones integrales.
Tipo: Ejercicios
1 / 29
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Integración por sustitución trigonométrica
1. Resolver la siguiente integral:
2
3
2
Solución:
Completamos cuadrados en el denominador del integrando:
2
3
2
Tomamos:
𝑢 = 𝑥 − 1 = tan 𝜃
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 = sec
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
tan 𝜃 sec
2
sec
3
sec
2
sec
3
𝐼 = − 4 cos 𝜃 + 9 sin 𝜃
2
2
2. Resolver la integral:
√cos
2
𝑥 + 4 cos 𝑥 + 1
Solución:
Escribimos a la integral de la siguiente forma:
2
Tomando 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2 , además 𝑢 = √ 3 𝑠𝑒𝑐𝜃
− sin 𝑥 𝑑𝑥 = √ 3 sec 𝜃 tan 𝜃 𝑑𝜃
sin 𝑥 𝑑𝑥 = −√ 3 sec 𝜃 tan 𝜃 𝑑𝜃
Reemplazando en la integral:
2
4. Resolver por sustitución trigonométrica:
8 sin 2 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥
20 − 4 sin 2 𝑥 − 19 sin
2
5 / 2
Solución:
sin 2 𝑥 =
2 tan 𝑥
sec
2
, sin 𝑥 =
tan 𝑥
sec 𝑥
, cos 𝑥 =
sec 𝑥
, tan
2
𝑥 + 1 = sec
2
Reemplazando y desarrollando
∫ sec
2
16 tan
2
(tan
2
𝑥 − 8 tan 𝑥 + 20 )
, 𝑢 = tan 𝑥 𝑑𝑢 = sec
2
2
2
5
2
2
2
2
5
2
𝑢 − 4 = 2 tan 𝜃 , 𝑑𝑢 = 2 sec
2
Reemplazando
( 2 tan 𝜃 + 4 )
2
2 sec
2
(( 2 tan 𝜃)
2
2
5
2
(tan 𝜃 + 2 )
2
sec
2
sec
5
tan 𝜃 + 2
2
sec
3
tan
2
𝜃 + 4 tan 𝜃 + 4
sec
3
tan
2
sec
3
4 tan 𝜃
sec
3
sec
3
sin
3
3 sec
3
4 sin
3
− 4 sin
3
𝜃 + 16 sin 𝜃 −
3 sec
3
tan 𝑥 − 4
5. Integrar por sustitución trigonométrica:
𝟐
𝟐
Solución:
2
2
tan
2
2
2
6. Resolver la integral:
5
2
Solución:
Primero integramos por partes:}
2
5
2
4
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 𝑥𝑑𝑥 = sec
2
2
Reemplazando:
(x
2
2
2
sec
2
∫ csc𝜃𝑑𝜃
ln|𝑐𝑠𝑐𝜃 − 𝑐𝑜𝑡𝜃| + C
8. Resolver la integral:
2 𝑥
2 𝑥
𝑥
3
Solución:
Damos forma a la integral:
2 𝑥
𝑥
2
2
3
Tomamos:
𝑥
− 1 = 2 tan 𝜃
𝑥
𝑑𝑥 = 2 sec
2
𝑥
𝑥
𝑥
2
2
3
2
( 2 tan 𝜃 + 1 ) 2 sec
2
8 sec
3
2 tan 𝜃 + 1
sec 𝜃
( 2 ∫ sin 𝜃 𝑑𝜃 + ∫ cos 𝜃 𝑑𝜃)
− 2 cos 𝜃 + sin 𝜃
𝑥
2 𝑥
𝑥
9. Resolver la integral:
3 𝑥 arcsin 𝑥
2
5
Solución:
𝑥
Tomaremos como:
𝑥 = sin 𝜃 ⟹ 𝜃 = arcsin 𝑥
𝑑𝑥 = cos 𝜃 𝑑𝜃
Reemplazando en la integral:
𝜃 sin 𝜃 cos 𝜃 𝑑𝜃
cos
5
𝜃 sin 𝜃 𝑑𝜃
cos
4
𝜃 sin 𝜃 cos 𝜃 𝑑𝜃
cos
4
𝜃 cos 𝜃
= 3 ∫ 𝜃 tan 𝜃 sec
3
Ahora resolveremos mediante la integración por partes ∫
𝑑𝑣 = tan 𝜃 sec
3
𝜃 𝑑𝜃 ⟹ 𝑣 = ∫ tan 𝜃 sec
3
𝑣 = ∫ sec
2
𝜃 (tan 𝜃 sec 𝜃 𝑑𝜃) =
sec
3
𝜃 sec
3
sec
3
𝑑𝜃) = 𝜃 sec
3
𝜃 − ∫ sec
3
Ahora resolveremos ∫ sec
3
∫ sec
3
𝜃 𝑑𝜃 = ∫(tan
2
𝜃 + 1 ) sec 𝜃 𝑑𝜃
∫ sec
3
𝜃 𝑑𝜃 = ∫ tan
2
𝜃 sec 𝜃 𝑑𝜃 + ∫ sec 𝜃 𝑑𝜃
∫ sec
3
𝜃 𝑑𝜃 = tan 𝜃 sec 𝜃 − ∫ sec
3
𝜃 𝑑𝜃 + ∫ sec 𝜃 𝑑𝜃
∫ sec
3
tan 𝜃 sec 𝜃
ln
sec 𝜃 + tan 𝜃
Reemplazamos en la integral inicial:
𝐼 = 𝜃 sec
3
tan 𝜃 sec 𝜃
ln
sec 𝜃 + tan 𝜃
10. Resolver la siguiente integral:
5
2
Solución:
2
3
2
3
2
4
14
12. Resolver la integral:
(x
2
3
Solución:
2
3
2
2
𝑑𝑥 = sec
2
6
sec
2
4
2
cos
2
cos
2
13. Resolver la siguiente integral:
2
x
4
2
Solución:
2
2
2
Usando fracciones parciales:
2
2
2
2
2
2
2
3
2
Reemplazando:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
14. Resolver la integral:
2
3
2
Solución:
Resolveremos la integral mediante fracciones parciales:
2
2
2
I = − ln|𝑥 − 1 | +
ln|𝑥
2
16. Resolver la siguiente integral:
8
6
Solución:
Tomamos:
8
6
6
2
Por fracciones parciales:
6
2
2
4
6
2
Por lo tanto, reemplazando:
2
4
6
2
2
4
6
2
− 1
− 3
− 5
− arctan 𝑥 + 𝐶
3
5
− arctan 𝑥 + 𝐶
17. Resolver la siguiente integral:
7
2
Solución:
6
6
7
2
6
7
7
2
Tomamos:
7
6
2
Luego por fracciones parciales
2
2
Donde 𝐴
2
2
Luego:
2
2
2
(ln
− ln
Reemplazando u
(ln|𝑥
7
| − ln|𝑥
7
7
18. Resolver la siguiente integral:
9
3
Solución:
9
8
1 / 9
9
3
1 / 9
3
8 / 9
3
3
Usamos fracciones parciales
3
3
2
2
3
2
3
3
2
Reemplazando:
3
2
3
2
ln 𝑣 + 𝐶
ln (
99
ln (
cos 𝑥
99
20. Resolver la siguiente integral:
tan 𝑥 𝑑𝑥
Solución:
Tomemos 𝑢 = √
tan 𝑥
2
= tan 𝑥
𝑥 = arctan 𝑢
2
4
Reemplazamos en la integral:
2
4
2
2
4
2
2
2
Podemos completar cuadrados en el denominador del integrando:
2
2
2
2
Luego, aplicaremos un artificio:
2
2
2
2
2
2
2
2
Ahora realizamos otro cambio de variable:
2
Grupo 3 16
2
2
2
Por las fórmulas de integración:
ln |
arctan
ln |
arctan (
Finalmente:
ln |
√tan 𝑥 + √cot 𝑥 − √ 2
tan 𝑥 + √
cot 𝑥 + √
arctan (
√tan 𝑥 − √cot 𝑥
21. Resolver la siguiente integral:
cos 𝑥 √
sin 𝑥 + 1
sin 𝑥 + 2
Solución:
Realizamos un cambio de variable, tomamos:
𝑢 = √sin 𝑥 + 1 ⟹ 𝑢
2
= sin 𝑥 + 1
cos 𝑥
2 √sin 𝑥 + 1
2 𝑢𝑑𝑢 = cos 𝑥 𝑑𝑥
Reemplazamos en la integral:
cos 𝑥 √
sin 𝑥 + 1
sin 𝑥 + 2
2
2
2
2
2
2
𝐼 = 2 𝑢 − 2 arctan 𝑢
sin 𝑥 + 1 − 2 arctan √
sin 𝑥 + 1 + 𝐶
22. Resolver la siguiente integral:
2 + sin 𝑥 + 3 cos 𝑥
Solución:
Tomemos
1 + cos
2
1 + cos
2
1 + cos
2
1 + cos
2
2
sec
2
sec
2
sec
2
tan
2
Sea 𝑢 = tan 𝑥 , 𝑑𝑥 =
1
sec
2
𝑥
sec
2
sec
2
2
2
Sea 𝑣 =
𝑢
√
2
2
2
arctan 𝑣 − 𝑥 + 𝐶
arctan (
= √ 2 arctan (
tan 𝑥
24. Resolver la integral:
sen
2
𝑥 − 2 cos
2
3 − cos
2
Solución:
Por identidad trigonométrica:
sen
2
𝑥 − 2 cos
2
3 − cos
2
sen
2
𝑥 − 2 + 2sen
2
3 − cos
2
3 sen
2
3 − cos
2
3 tan
2
sec
2
sec
2
3 tan
2
𝑥 − 2 sec
2
sec
2
3 sec
2
sec
2
3 tan
2
𝑥 − 2 tan
2
3 tan
2
tan
2
3 tan
2
tan
2
3 tan
2
sec
2
tan
2
Sea 𝑢 = tan 𝑥 , 𝑑𝑥 =
1
𝑠𝑒𝑐
2
𝑥
2
2
sec
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
= 3 arctan(tan 𝑥) −
8 arctan (
√ 3 tan 𝑥
8 arctan (
3 tan 𝑥
