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INTEGRALES DEFINIDAS
Sea una función f : a , b acotada.
La integral de f en a , b se simboliza
b
a
(^) f ( x ) dx.
Cuando la función sea no negativa ( f ( x ) 0 )en a , b , la integral de f en a , b es
igual al valor del área limitada por las líneas (^) x a , x b , y 0 , y f ( x ).
(^)
b a
S f ( x ) dx
Cuando la función sea negativa ( f ( x ) 0 ) en a , b , la integral de f en a , b es
igual al valor del área cuando tomamos el valor absoluto de la integral, pues la integral es
negativa y el área positiva.
b a
S f ( x ) dx
Definición. Una partición del intervalo a , b es un conjunto de puntos
x 0 , x 1 , x 2 ,..., xn a , b tales que P a x 0 x 1 x 2 ... xn b .
Puesto que f es acotada también lo es en cada uno de los subintervalos xi 1 , xi , por
lo que tendrá un supremo y un ínfimo en cada subintervalo.
i ^ ^ i i
i i i
m Inf f x x x x
M Sup f x x x x
( )/ ,
1
1
i 1 , 2 ,..., n
Sumas de Riemann
El valor de la integral definida lo vamos a calcular mediante aproximaciones. Las
“aproximaciones por exceso” son las llamadas sumas superiores de Riemann.
n
i
S P f Mi xi xi 1
Las “aproximaciones por defecto” son las llamas sumas inferiores de Riemann.
n
i
s P f mi xi xi 1
Teorema fundamental del cálculo o Regla de Barrow
Sean F y f funciones continuas en a , b tales que f ( x ) F ( x ), x a , b .
Entonces
f ( x ) dx F ( x ) F ( b ) F ( a )
xb
xa
b
a
Ejemplo
0
(^12) 0 2
dx Lx L L L x
x (^) x x
INTEGRALES IMPROPIAS
1. Integrales impropias de primera especie (o de intervalo no acotado)
Sea f : a , integrable en cualquier intervalo cerrado a , u , con u a.
Denominamos integral impropia de f en el intervalo a ,al límite, si existe,
u
u a^ a
lim f ( x ) dx f ( x ) dx
Si el límite es L ,la integral impropia es convergente.
Si el límite no existe o es infinito, la integral impropia es divergente.
Análogamente se definen las integrales impropias (^)
a f ( x ) dx.
La integral impropia
f ( x ) dx converge cuando existe un a para el que
convergen las integrales impropias
a
f ( x ) dx y ( ) , (^)
a f x dx siendo
a
a f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx.
La integral impropia
b
a
f ( x ) dx converge cuando existe un c a , b para el que
convergen las integrales impropias
b c
f ( x ) dx y
c a
f ( x ) dx siendo
b c
c a
b a
f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx.
Regla de Barrow
Si F ( x )es una primitiva de la función continua f ( x ) y existe lim F ( u ), u b
entonces
f ( x ) dx lim F ( u ) F ( a )
b
a (^) u b
Análogamente para
b
a
f ( x ) dx.
Ejemplo
(^) lim (^2 ) lim (^2 )^2 2
lim 2
2 0 2 0 2
2 0
dx L x L u L x
dx x u
xu u x
u
u
Divergente.
3. Funciones eulerianas
3.1 Función Gamma: :( 0 ,)
Dado un número real p>0 , llamamos ( p ) al valor de la integral
p x e dx
(^) p x 0
1 ( ).
Esta integral es impropia y será convergente para p > 0.
Propiedades
- Para cada p 1 , ( p )( p 1 )( p 1 )
- Para cada entero p 1 , ( p )( p 1 )!
Una vez utilizadas las propiedades, el valor de la función Gamma quedará reducido
a un valor ( p )con p 0 , 1 , que puede consultarse en tablas.
Ejemplos
x e dx x^3 0
Para que esta integral represente una ( p ), es decir, para encontrar el valor de p ,
tenemos que hacer un cambio de variable:
x t x t dx t dt t dt 31 23
1 3 13 3
x^ e dx t e t dt t t e dt
x t 23 t 0
23 16
12
0
13 0
12 3
0
t^ e dt
t .
3.2 Función Beta: :( 0 , )( 0 ,)
Si p 0 y q 0 ,definimos
1 0
1 1 ( p , q ) x ( 1 x ) dx
p q
Esta integral es impropia y convergente para 0 p 1 y 0 q 1.
Propiedades
1. Para cada p , q 0 , ( p , q ) ( q , p )
p
p para cada p 0
q
q para cada q 0
p q
p q p q
INTEGRALES MÚLTIPLES
La integral múltiple se define para funciones de varias variables n (^) f : del
mismo modo que se definió la integral simple de funciones de una variable, a partir de
una integral superior (ínfimo de las sumas superiores) y una integral inferior (supremo
de las sumas inferiores). Cuando ambas integrales coincidan diremos que
f ^ x 1 , x 2 ,..., xn ^ es integrable.
La integral de la función se representa n n R
(^) ... f ( x 1 , x 2 ,..., x ) dx 1 dx 2 ... dx.
Nosotros calcularemos únicamente integrales de funciones : , 2 f es decir,
integrales dobles.
Si f ( x , y )es no negativa, la integral doble f x y dxdy R
(^) (, ) representa el volumen
que cubre la gráfica de f ( x , y ).
Si f ( x , y ) 1 , la integral doble dxdy R 1 representa el área del recinto R.
Cálculo de integrales dobles. Integración reiterada
Se integra respecto de cada una de las variables suponiendo que las demás variables
son constantes. El orden de integración dependerá de la forma que tenga el recinto de
integración R.
1. Recinto rectangular de lados paralelos a los ejes
Cuando la variables x varía en un intervalo a , b y la variable y lo hace en un
intervalo c , d , es indiferente integrar primero respecto a x o primero respecto a y.
f xydxdy f xydydx f xydxdy
d
c
b
a
b
a
d
c
Ejemplo: R 1 , 2 0 , 2
2 1
2
0
2 1
2 2 1
2 0
( ) ( ( ) ) dx x dx
y x y dxdy x ydydx xy
y
y
2 1
2
x x xx.
2. Recinto en que x varía en un intervalo a , b e y varía entre dos funciones de
x , f ( x ) y g ( x )
^
()
( )
gx
fx
b
a
f xy dxdy f x y dydx
Ejemplo ( , ) / 0 3 ; 0 ; 4
2 R xy x y x y
^
dx
x dx x x
y x y dxdy x ydydx xy
y x
y
x 3 0
(^42)
0
3 0
4 2 0
3 (^0 )
(^33)
0
3 3 0
2
x
x
x
x x dx
3. Recinto en el que y varía en un intervalo c , d y x varía entre dos funciones
de y , f ( y ) y g ( y )
^
( ) ( )
gy f y
d c
f xy dxdy f xy dxdy
Ejemplo
y
R x y y x
2
2 1
2
(^12)
0
2 1
2 1 2 0
(^22) 1
2 2
( ) y dy
y y dy
x xy dxdy xy dxdy
x y
x
y
