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Actividades a desarrollar
A continuación, se definen los 4 Tipos de ejercicios a desarrollar según las temáticas
de la unidad.
Tipo de ejercicios 1 – Análisis de gráficas.
Ejercicio e.
Encontrar el área de la región comprendida entre las gráficas de
f ( x )= 2 x + 2 y
g
x
= x
3
− 4 x
2
Interprete el resultado usando la gráfica del ejercicio generada en GeoGebra.
A =
a
b
[
f ( x )− g ( x )
]
dx
Lo primero que podemos hacer en el siguiente ejercicio es hacer una grafica en
geogebra para ver como se comportan las graficas y como tenemos que
plantear las integrales.
Como podemos apreciar para calcular de manera correcta el área tenemos que
calcular dos integrales, para ello primero tenemos que calcular los puntos de
intersección entre las gráficas eso lo hacemos de la siguiente manera
Como se puede ver en la gráfica tenemos tres puntos de intersección los cuales son
x =− 1 , x = 1 , x = 4
Por lo cual procedemos a hacer dos integrales :
A =
− 1
1
[ g ( x ) − f ( x ) ] dx +
1
4
[ f ( x ) − g ( x ) ] dx
A =
− 1
1
[
x
3
− 4 x
2
dx +
1
4
[
2 x + 2 −( x
3
− 4 x
2
dx
A =
− 1
1
[ x
3
− 4 x
2
− x + 4 ] dx +
1
4
[− x
3
2
+ x − 4 ] dx
El planteamiento de estas dos integrales es debido a que las funciones cambian de
posición la que en un principio estaba sobre la otra al cambiar intervalo cambia de
posición entonces para el cálculo neto del área bajo la curva se tiene que hacer de esta
manera
Solucionando las integrales tenemos
A =
(
x
4
4 x
3
x
2
)
(
− x
4
4 x
3
x
2
− 4 x
)
Hallamos el radio exterior
R ( x )= √
2 x − x
2
Como es una esfera no tiene radio interior
V =
0
2
π
√ 2 x − x
2
2
dx
Cancelo el radical con el exponente
V =
0
2
π
2 x − x
2
dx
Saco π de la integral porque es una constante
V = π
0
2
2 x − x
2
dx
Aplico la propiedad
x
n
x
n + 1
n + 1
V = π
(
2 x
1 + 1
x
2 + 1
)
V = π
(
2 x
2
x
3
)
Evaluó en los límites
V = π
{
(
2
3
)
(
2
3
)
}
V = π
{
(
)
}
V =
4 π
TIPO DE EJERCICIOS 3 – APLICACIONES DE LAS INTEGRALES EN LAS CIENCIAS
Ejercicio e.
En algunas reacciones químicas, la razón a la que la cantidad de una sustancia cambia
con el tiempo es proporcional a la cantidad presente. Por ejemplo, para la
trasformación de δ – glucolonatona en ácido glucónico, se tiene
dy
dx
=−0.6 y
cuando t
se mide en horas. Si hay 100 gramos de δ – glucolonatona cuando t=
a. ¿Cuántos gramos quedarán después de la primera hora?
b. ¿Para qué tiempo la cantidad original se habrá reducido a la mitad?
Solución:
dy
dt
=−0.6 y
Pasamos a multiplicar el dx
dy =−0,6 ydt
Pasamos a dividir el -0,6y
100 = C
2
e
−0,6( 0 )
100 = C
2
e
0
100 = C
2
100 = C
2
Reemplazo el
C
2
en la función original
y = 100 e
−0,6 t
Para t=1 hora y ( 1 )= 100 e
−0,6( 1 )
y ( 1 )= 100 e
−0,
y ( 1 )=54,
Después de 1 hora quedaran 54,88 gramos
Para cuando y=
50 = 100 e
−0,6( t )
= e
−0,6( t )
= e
−0,6 ( t )
Aplico logaritmo natural en ambo lados
ln
(
)
=ln ( e
−0,6 ( t )
ln
(
)
=−0,6 tln ( e )
Como ln(e)=1 reemplazo
ln
(
)
=−0,6 t
Paso a dividir el -0,
ln
(
)
= t
t =1,
La cantidad original se abra reducido a la mitad en 1,15 horas
Tipo de ejercicios 4 – Aplicaciones de las integrales en general.
Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso:
Segura, V. A. (2014). Matemáticas aplicadas a las ciencias económico-administrativas:
simplicidad matemática. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 170 – 200).
Alvarado, M. (2017) Cálculo integral en competencias. Grupo Editorial Patria. (pp. 193
Desarrollar el ejercicio seleccionado:
Ejercicio e.
Si la función de demanda de un producto es D
x
= 35 − x
2
, encuentre el excedente del
consumidor cuando:
i.
Q = 5 / 2
ii. Cuando el artículo es gratis, es decir que P = 0
Teniendo en cuenta que el excedente del consumidor es
E. C =
0
Q
D ( x ) dx − QP
Y teniendo en cuenta que según la curva excedente
E. C =
[
35 x −
x
3
]
E. C =
[
3
]
E. C =
BIBLIOGRAFIA
Superprof.es. (2020). Área comprendida entre dos funciones. Recuperado el 14 de
abril del 2020 de:
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/integrales/area-
comprendida-entre-dos-funciones.html
Cocinando Delicias. (2016). Proyecto Geogebra. Asignación Docente. UnADM. Sólido
de Revolución. Recuperado el 14 de abril del 2020 de:
https://www.youtube.com/watch?v=_t8gjDBWBEs
Samanamud, Julio. (2015). Calculo Integral en las Ciencias Biológicas. Recuperado el
14 de abril del 2020 de: https://es.slideshare.net/JulioSamanamud/clculo-integral-
en-las-ciencias-biolgicas
