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apuntes en pdf de integrales complejas
Tipo: Apuntes
1 / 13
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1 / 51
Definici´
on:
Sea
w
a,^
b]
una funci´
on comple-
ja de variable real definida en un intervalo [
a,
b]. Si
u^
y^
v^
son la parte real y la parte imaginaria de
w
respectivamente y son ambas derivables en un punto t^ de [
a,
b], entonces definimos la derivada de
w
en
t
mediante
d dt
w^
(t
u
′(t
iv
′ (t
2 / 51
Ejemplo
Si
w
(t
(^2) t
t^ + cos
t)
i, entonces
d dt
w^
(t
t^ + (
sen
t)
i
3 / 51
4 / 51
Definici´
on:
Sea
w
a,
b]
una funci´
on compleja
de variable real definida en un intervalo [
a,
b]. Si
u
y
v^
son la parte real y la parte imaginaria de
w
respec-
tivamente y son ambas integrables en [
a,^
b], entonces
definimos la integral de
w
en [
a,
b] como
b^ wa
(t
)^ dt
b^ ua
(t
)^ dt
∫ i b a
v^ (
t)
dt
Ejemplo:
π^ ( 0
t^ +
i^ cos
t)
dt
π^ t dt 0
∫ i π 0
cos
t dt
t
π 0
i^ (sen
t|
π 0
π
π
5 / 51
Longitud de una curva
c^ : [
a,^
b]
2
c(
t^1
c(
t)^2
c(
t^3
c(
t)^0
l(c
(^3) ∑ i=
‖c
(t
)^ i
c(
ti−
c(
t^1
c(
t^1
c(
t^2
c(
t^2
c(
t)^3 c(
t)^3
c(
t)^4 c(
t)^4
c(
t)^5 c(
c t) 5 (t^6
c(
t^6
c(
t)^0
l(c
(^6) ∑ i=
‖c
(t
)^ i
c(
ti−
c(
t)^1 c(
t^2
) c(
t)^3
c(
t^4
)^ c
(t
c(
t)^6
c (t
c(
t)^8
c(
c t) 9 (t
c(
t^11
c(
t^12
c(
t)^0
l(c
(^12) ∑ i=
‖c
(t
)^ i
c(
ti−
6 / 51
Definici´
on:
Definimos la longitud de una curva
γ
con parametrizaci´
on
z
a,
b]
como
γ) =
b^ | a
′z( t)
|^ dt
Ejemplo:
Sea la curva
γ
dada por
z(
t) = 1 +
i^
ite ,^ t
, π
γ) =
π^ ∣∣ 0
5 ie
∣it ∣ dt
π^50
dt
π
7 / 51
Definici´
on:
Sea
γ
una curva en un dominio abierto
de
y con parametrizacion
z
a,
b]
. Si
f
es una funci´
on continua en
, entonces definimos la
integral de
f^
sobre
γ
como
∫^ γ
f^ (
z)
dz
b^ f a
(z
(t
′z( t)
dt
Ejemplo:
Sea la funci´
on
f^ (
z) =
z^
1 y sea
γ^
la curva
dada por la parametrizaci´
on
z
(t
t+
(^2) it
t^
∫^ γ
f^ (
z)
dz
1 f 0
(z
(t
′z( t)
dt
t^ +
it
i^2
t)
dt
8 / 51
Proposici´
on:
Sea
f^
una funci´
on continua en un do-
minio abierto
. Las siguientes afirmaciones son equi-
valentes entre si:a)
f^
tiene una primitiva en
b)
∫^ γ
f^
= 0 cualquiera que sea el camino cerrado
γ
en
c) La integral de contorno es independiente del
camino. Esto es, si
γ
y 1 γ
son dos caminos que 2
unen los puntos
α
y
β
, entonces
∫^ γ
f 1
∫^ γ
f 2
Ejemplo:
Sea la funci´
on
f^
(z
y
x
ix
2
y el
camino
γ^
γ
γ^2
con parametrizaciones respectivas
z^1
(t
it
y
z
(t 2
t^
i^
y^
t^ ∈
∫^ γ
f^ (
z)
dz
∫^ γ
f 1 (z
)^ dz
∫^ γ
f 2 (z
)^ dz
1 f 0
(z
t))
′z 1 (t
)^ dt
1 f 0
(z
t))
′z 2 (t
)^ dt
1 f 0
(it
)i dt
1 f 0
(t
i)
dt
14 / 51
1 ti dt 0
t^
(^2) it )^ dt
1 i 2
i^ =
3 i 2
Sea ahora el camino
γ
dado por la parametrizaci´ 3
on
z^3
(t
t
i)
,^ t
γ
, al igual que 3
γ
une el
origen con el punto 1 +
i. Sin embargo,
15 / 51
∫^ γ
f 3 (z
)^ dz
1 f 0
(z
t))
′z 3 (t
)^ dt
1 f 0
(t
i))(1 +
i)
dt
i)
(^2) it dt
i
A pesar de que
γ
y
γ
unen los mismos puntos, las 3
integrales calculadas no coinciden. La aplicaci´
on de
la proposici´
on anterior nos permite concluir que
f^
no
tiene primitiva.
16 / 51
Teorema de Cauchy-Goursat
Proposici´
on:
Sea
f^
una funci´
on anal´
ıtica en un abier-
to
simplemente conexo
y sea
γ
una curva
cerra-
da simple rectificable
contenida en
. Se verifica
entonces que
∫^ γ
f^ (
z)
dz
17 / 51
Ejemplo:
Calc´
ulese
∫^ γ
z e (^2) z
dz
siendo
γ^
la circun-
ferencia
|z
f^ (
z) =
ze (^2) z
es anal´
ıtica salvo en
z^
4 y
z^
Existe por ello un abierto
que contiene a la curva
|z
= 2 y en el que
f
es anal´
ıtica. Y dado que
γ
es una curva cerrada simple y rectificable podemosafirmar que
∫^ γ
z e (^2) z
dz
18 / 51
Proposici´
on
Sean
γ
y 1 γ
dos curvas simples cerra- 2
das y orientadas positivamente con
γ
2
interior a
γ
Si
f^
es anal´
ıtica en la regi´
on cerrada formada por las
dos curvas y los puntos que se encuentran entre lasmismas, entonces
∫^ γ
f 1 (z
)^ dz
∫^ γ
f 2 (z
)^ dz
19 / 51
Aplicaci´
on:
Calcular
∫^ γ
z^
a
dz
siendo
γ
una curva
simple cerrada que no contiene el punto
z
a
Supongamos en primer lugar que el punto
a
est´
a en
el exterior de la curva
γ
. En este caso la funci´
on es
anal´
ıtica en un abierto que contiene la curva y por tanto la integral es nula.
20 / 51
Si
r^
es suficientemente peque˜
no, la circunferencia
γ
r
dada por
z
(t
re
iθ, θ
π] est´
a tambi´
en
en el interior de
γ
γ
γr
f^
es anal´
ıtica en un dominio (abierto y conexo) que
contiene las dos curvas. Tenemos por ello que
25 / 51
∫^ γ
f^ (
z)
dz
∫^ γ
f r (z
)^ dz
∫^ γ
r
(^2) z
dz
∫^ γ
r
(z
z^ −
dz
∫^ γ
( r
z^ −
z^ + 1)
dz
∫^ γ
r
z^
dz
∫^ γ
r
z^ + 1)
dz
π
i^ =
π
i
26 / 51
Proposici´
on:
Sea
γ
una curva simple cerrada positi-
vamente orientada y sean
γ
,... , γ 1
n^
tambi´
en curvas
simples cerradas positivamente orientadas situadas enel interior de
γ
de modo que los interiores de dos de
ellas no tienen puntos comunes.
γ^1
γ^2
γ^3
γ^4
γ^5
γ
27 / 51
Si
f^
es una funci´
on anal´
ıtica en un conjunto cerrado
que contiene todas las curvas se˜
naladas y los puntos
entre ellas entonces
∫^ γ
f^
n∑ k=
∫^ γ
f k
28 / 51
Ejemplo
Calc´
ulese
∫^ γ
5 z
(^2) z
z
dz
siendo
γ
la curva que se ilus-
tra a continuaci´
on:
29 / 51
5 z
(^2) z
z^
a z
b z^ −
a (z
bz
(^2) z
z^
(a
b
)z
a
(^2) z
z
a
b^
a^
a
b^
30 / 51
γ^1
γ^2
γ
31 / 51
∫^ γ
5 z
(^2) z
z
dz
∫^ γ
z^ −
(^2) z
z
dz
∫^ γ
z^ −
(^2) z
z
dz
∫^ γ
2 z^
z^ −
dz
∫^ γ
2 z^
z^
dz
∫^ γ
2 z 1 dz
∫^ γ
1
z^
dz
∫^ γ
(^2) z 2 dz
∫^ γ
2
z^
dz
2 π
i^ + 3
πi
πi
32 / 51
Si hacemos
f^
(z
cos
z^
z
z^ + 3
, entonces
∫^ γ
cos
z^
z
(^2) z
dz
∫^ γ
cos
z^
z
(z
z^
dz
∫^ γ
cos
z+sen
z z+3 z −
dz
∫^ γ
f^ (
z) z^
dz
πi f
πi
cos 3 + sen 3
1 π 3
i(cos 3 + sen 3)
37 / 51
Ejemplo
Calc´
ulese
∫^ γ
z e z(
z^ −
siendo
γ
el camino que se ilus-
tra a continuaci´
on:
38 / 51
γ^2
γ^1
39 / 51
∫^ γ
z e z(
z^ −
∫^ γ
1
z e z(
z^
∫^ γ
2
z e z(
z^ −
∫^ γ
1
z e z−^2 z^
∫^ γ
1
z e z z^ −
2 π
i^
(^0) e 0 −
πi
(^2) e 2
π
i(e
40 / 51
Proposici´
on:
Si
f^
es anal´
ıtica en una curva cerrada
simple orientada positivamente
γ
y en su interior, en-
tonces, para cada
z
en el interior de 0
γ
( f n)(
z^0
n
2 π
∫ i γ
f^ (
z)
(z
z^0
n+1)
dz
n^
41 / 51
Ejemplo
Calcular
∫^ γ
sen 3
z (^4) z
dz
siendo
γ
el c´
ırculo
z|
orientado positivamente.
42 / 51
Aplicando el resultado anterior con
f
(z
) = sen 3
z
tenemos que
∫^ γ
sen 3
z (^4) z
dz
∫^ γ
f^ (
z) (z
3+
dz
2 π
i f^ 3!^
(3)
2 π
i 3!
9 π
i
43 / 51
Ejercicios propuestos de Matem´
aticas avanzadas para
ingenier´
ıa, volumen 2 (c´
alculo vectorial, an´
alisis de
Fourier y an´
alisis complejo) de Zill y Cullen:
Secci´
on de ejercicios 10.
Secci´
on de ejercicios 10.2: ejercicios del 1 al 21
Secci´
on de ejercicios 10.3: ejercicios del 1 al 12
Secci´
on de ejercicios 10.4: ejercicios del 1 al 15
44 / 51
6 t
t^ +
i(
(^2) t
dt
(^3) t
t)
dt
∫ i 2 0
(t
dt
3 t 2
(^2) t
( i
1 t 3
∣∣∣t∣ 2 0
i
49 / 51
Ejercicio 1 de la secci´
on 10.
Calcular
∫^ γ
(z
i)^
dz
siendo
γ
el c´
ırculo
|z
Soluci´
on:
Basta aplicar el teorema de Cauchy-Goursat
para concluir que
∫^ γ
(z
i)^
dz
50 / 51
Teorema de Cauchy-Goursat: Sea
f^
una funci´
on anal´
ıtica en un abierto
simplemente conexo
y sea
γ
una curva
cerrada simple rectificable
contenida en
Se verifica entonces que
∫^ γ
f^ (
z)
dz
Ejercicio 7 de la secci´
on 10.
Calcular
∫^ γ
tan
z dz
siendo
γ
el c´
ırculo
|z
Soluci´
on:
Basta aplicar el teorema de Cauchy-Goursat
para
concluir que
∫^ γ
tan
z dz
51 / 51
Teorema de Cauchy-Goursat: Sea
f^
una funci´
on anal´
ıtica en un abierto
simplemente conexo
y sea
γ
una curva
cerrada simple rectificable
contenida en
Se verifica entonces que
∫^ γ
f^ (
z)
dz
