Integración en varias variables
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Ejemplo 1.
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Ejemplo 1.
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Ejemplo 1.
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Cálculo Integral: Ejemplos y Exercicios de Integración Doble, Apuntes de Cálculo
Documento que presenta ejemplos y ejercicios para aprender a calcular integrales dobles en el plano cartesiano, incluyendo integrales definidas en regiones limitadas por curvas y ecuaciones implicitas.
Tipo: Apuntes
2020/2021
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Integración en varias variables
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Ejemplo 1.
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Ejemplo 1.
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Ejemplo 1.
b
a
f
x
dx
l´
ım
x
f
x
i
x
i
6 / 86
Ejemplo 2. Veamos cómo podemos calcular el volumenencerrado entre los planos
x
x
y
y
z
0 y la gráfica de la función
f
x
y
x
2
y
(^2)
7 / 86
Ejemplo 2.
8 / 86
Ejemplo 2.
=
1 n
m ∑^ k
=
1
(^1) m
f
(
1 n
,
k m
)
1 n
m ∑^ k
=
1
(^1) m
f
(
2 n
,
k m
)
· · ·
1 n
m ∑ k
=
1
(^1) m
f
(
1
,
k m
)
−
−
−
→
m
→∞
1 n
∫
1 0
f
(
1 n
,
y
)
dy
1 n
∫
1 0
f
(
2 n
,
y
)
dy
· · ·
1 n
∫
1 0
f
(
1
,
y
)
dy
13 / 86
Ejemplo 2.
14 / 86
Ejemplo 2. Si ahora hacemos para cada
x
g
x
1 0
f
x
y
dy
tendremos que la expresión
anterior se puede escribir como
1 n
∫
1 0
f
(
1 n
,
y
)
dy
1 n
∫
1 0
f
(
2 n
,
y
)
dy
· · ·
1 n
∫
1 0
f
(
1
,
y
)
dy
=
1 n
g
(
1 n
)
1 n
g
(
2 n
)
· · ·
1 n
g
(
1
)
−
−
−
→
n
→∞
∫
1 0
g
(
x
)
dx
=
∫
1 0
∫
1 0
f
(
x
,
y
)
dy dx
15 / 86
Ejemplo 2. En resumen, el volumen buscado lo podemosobtener como
1 0
1 0
x
2
y
(^2)
dy dx
1 0
x
2
dx
Definición 1. Llamamos intervalo en
R
n
a todo conjunto de la
forma
[
a
1
b
1
]
×
[
a
2
b
2
]
×
×
[
a
n
b
n
]
Definición 2. Una partición de un intervalo
I
= [
a
1
b
1
]
×
[
a
2
b
2
]
×
×
[
a
n
b
n
]
de
R
n
es el producto cartesiano de particiones de
cada uno de los intervalos
[
a
i^
b
i^
]
17 / 86
Ejemplo 3. Sea el intervalo
I
= [
]
×
[
]
. Una partición
de
[
]
es
y una partición de
[
]
es
por lo que una
partición de
I
tendrá por elementos:
18 / 86
Ejemplo 3.
19 / 86
Ejemplo 3.
20 / 86
Proposición 1. Cualquier función continua definida en unrectángulo
R
es integrable.
25 / 86
Ejemplo 4. La función dada por
f
x
y
xy
(^2)
x
y
es
continua en todo
R
. En particular lo es en el
rectángulo
R
= [
]
×
[
]
y por tanto es
integrable en el mismo.
26 / 86
Ejemplo 4.^ ∫
R
f
x
y
dx dy
[ 1
,
2
] ×
[ 0
, 1
]
xy
(^2)
x
y
dx dy
2 1
1 0
xy
(^2)
x
y
dy dx
1 0
xy
(^2)
x
y
dy
xy
(^3)
xy
y
(^2) 2
1 0
x
27 / 86
Ejemplo 4.^ ∫
[ 1
, 2
] ×
[ 0
, 1
]
xy
(^2)
x
y
dx dy
2 1
1 0
xy
(^2)
x
y
dy dx
2 1
x
dx
x
2
x 2
2 1
28 / 86
Ejemplo 5. Hemos visto que para medir una superficiearbitraria recurrimos a la aproximación por mediode familias finitas de rectángulos. Esa es la ideaen la que se fundamenta la integral. ¿Pero quéocurre si utilizamos ese mismo procedimiento paramedir una curva? Consideremos por ejemplo elsegmento que une los puntos
y
29 / 86
Ejemplo 5. Si cubrimos el segmento mediante
n
cuadrados
iguales con vértices opuestos sobre dichosegmento tenemos que la suma de las áreas es
1 n
cantidad que se acerca a cero a medida que
n
crece. Decimos que este segmento tiene área 0.
30 / 86
Definición 4. Decimos que un conjunto
B
de
R
2
tiene área o
medida 0 si existe una sucesión de familias derectángulos que cubren a
B
de modo que la
correspondiente sucesión de sumas de áreasconverge a 0.
31 / 86
Ejemplo 6. Consideremos el segmento de parábola y
x
2
x
32 / 86
Proposición 2. Sea
f
R
R
una función acotada sobre el
rectángulo
R
con valores reales tal que el
conjunto en el que
f
es discontinua tiene área
cero. Entonces
f
es integrable en
R
37 / 86
Ejemplo 7. Sea la función dada en
R
2
por
f
x
y
x
2
y
(^2)
si
x
y
xy
si
x
y
f
es acotada en cualquier conjunto acotado y sus
puntos de discontinuidad son los de la recta x
y
- El conjunto de los puntos de esta recta
que están en el rectángulo
R
= [
]
×
[
]
tiene
medida nula, por lo que
f
es integrable en
R
38 / 86
Ejemplo 7.
39 / 86
Proposición 3. Sean
f
y
g
funciones integrables en un rectángulo
R
y
c
un número real cualquiera. Se tiene
entonces que
f
g
y
cf
son funciones integrables
en
R
y que
R
f
x
y
g
x
y
dA
R
f
x
y
dA
R
g
x
y
dA
y
R
cf
x
y
dA
c
R
f
x
y
dA
40 / 86
Proposición 3. Además, si
f
x
y
g
x
y
para cada
x
y
de
R
, entonces
R
f
x
y
dA
R
g
x
y
dA
41 / 86
Proposición 4. Sea una familia de rectángulos
R
1
R
2
R
m
que
se cortan en conjuntos de medida nula y cuyaunión es un rectángulo
R
. Si
f
es integrable en
cada uno de los rectángulos
R
1
R
2
R
m
entonces
f
es integrable en
R
y
R
f
x
y
dA
m ∑^ i
=
1
R
i
f
x
y
dA
42 / 86
Ejemplo 8. Sea
f
R
2
R
definida por
f
x
y
x
si
x
y
si
x
y
si
x
y
y
si
x
y
si
x
y
43 / 86
Ejemplo 8.^ ∫
[ 0
, 2
] ×
[ 0
, 2
]
f
x
y
dA
[ 0
, 1
] ×
[ 0
, 1
]
f
x
y
dA
[ 1
, 2
] ×
[ 0
, 1
]
f
x
y
dA
[ 0
, 1
] ×
[ 1
, 2
]
f
x
y
dA
[
1
, 2
] ×
[ 1
, 2
]
f
x
y
dA
[ 0
, 1
] ×
[ 0
, 1
]
x dA
[ 1
, 2
] ×
[ 0
, 1
]
dA
[ 0
, 1
] ×
[ 1
, 2
]
dA
[ 1
, 2
] ×
[ 1
,
2
]
y dA
44 / 86
Proposición 6 (Teorema de Fubini). Sea
f
una función acotada definida en un
rectángulo
R
= [
a
b
]
×
[
c
d
]
y con un conjunto
de discontinuidades de área cero. Si para cada x
[
a
b
]
existe
d c
f
x
y
dy
, entonces existe
b a
d c
f
x
y
dy dx
y
R
f
x
y
dA
b a
d c
f
x
y
dy dx
49 / 86
Proposición 6 (Teorema de Fubini). Análogamente, si para cada
y
[
c
d
]
existe
b a
f
x
y
dx
, entonces existe
d c
b a
f
x
y
dx dy
y
R
f
x
y
dA
d c
b a
f
x
y
dx dy
50 / 86
Ejemplo 10. Sea la función
f
x
y
x
y
si
x
y
x
y
si
x
y
y sea
R
= [
]
×
[
]
. Calcular
R
f
51 / 86
Ejemplo 10.
y
x
x
y
−
= 0
52 / 86
Ejemplo 10. Observamos que en el rectángulo
[
]
×
[
]
f
x
y
x
y
, mientras que en
[
]
×
[
]
f
x
y
es igual a
x
y
o
x
y
dependiendo de
que
x
y
esté por debajo o por encima de la
recta
x
y
- La continuidad de las
funciones dadas por
x
y
y
x
y
junto con el
hecho de que el segmento en que la recta corta a R
es un conjunto de medida cero nos permite
calcular la integral de la siguiente manera.
53 / 86
Ejemplo 10.
R
f
1 0
1 0
f
x
y
dy dx
12 0
1 0
f
x
y
dy dx
1 12
1 0
f
x
y
dy dx
12 0
1 0
f
x
y
dy dx
1 12
32
−
x
0
f
x
y
dy
1 32
−
x
f
x
y
dy
dx
54 / 86
Ejemplo 10.
12 0
1 0
f
x
y
dy dx
1 12
32
−
x
0
f
x
y
dy dx
1 12
1 32
−
x
f
x
y
dy dx
12 0
1 0
x
y
dy dx
1 12
32
−
x
0
x
y
dy dx
1 12
1 32
−
x
x
y
dy dx
55 / 86
Ejemplo 10.
12 0
xy
y
(^2)
1 0
dx
1 12
xy
y
(^2)
32
−
x
0
dx
1 12
xy
y
(^2)
132
−
x
dx
12 0
x
dx
1 12
x
2
dx
1 12
x
2
x
dx 56 / 86
Ejemplo 11. D
x
y
R
2
x
x
y
x
D
x
2
y
(^2)
dA
1 0
x −
x
x
2
y
(^2)
dy dx
1 0
x
2
y
y
(^3) 3
x −
x
dx
1 0
x
3
3
dx
x
4 3
1 0
61 / 86
Ejemplo 11.
62 / 86
Ejemplo 12. Calcular
D
xy
y
(^2)
dA
siendo
D
el triángulo de
vértices
y
63 / 86
Ejemplo 12.
y
−
3
−
2
−
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 x
y
0 x
=
y
x
= 10
y
64 / 86
Ejemplo 12.
D
xy
y
(^2)
dA
1 0
10
y
y
xy
y
(^2)
dx dy
1 0
10
y
y
xy
y
(^2)
1
/
2
dx dy
1 0
y
xy
y
(^2)
3
/
2
10
y
y
dy
1 0
y
(^2)
dy
y
(^3)
1 0
65 / 86
Ejemplo 13. Evaluemos
D
y dA
siendo
D
la región formada
por los puntos
x
y
tales que 0
x
/π
y
y
además
y
sen
x
66 / 86
Ejemplo 13.
y
x
y
≥
2
x/π
y
≤
sen
x
67 / 86
Ejemplo 13.
68 / 86
Ejemplo 14. Sea
f
R
2
R
2
dada por
f
r
, θ
r
cos
θ,
r
sen
θ
Entonces,
f
1
f
2
r
, θ
r
, θ
cos
θ
r
sen
θ
sen
θ
r
cos
θ
r
También se suele escribir
x
y
r
, θ
r
, θ
en lugar de
f
1
f
2
r
, θ
r
, θ
73 / 86
Proposición 7. Sea
T
D
∗
D
una biyección
C
(^1)
entre dos
regiones de
R
2
. Entonces, para cualquier función
integrable
f
D
R
se tiene que
D
f
x
y
dx dy
D
∗
f
T
u
v
T
1
T
2
u
v
u
v
du dv
74 / 86
Ejemplo 15. Calculemos
D
log(
x
2
y
(^2)
dx dy
siendo
D
la
región del primer cuadrante acotada por los arcosde circunferencia
x
2
y
(^2)
2 y
x
2
y
(^2)
75 / 86
Ejemplo 15. Si
D
∗
= [
]
×
[
, π/
]
y
T
r
, θ
r
cos
θ,
r
sen
θ
entonces
T
es una biyección de clase
C
(^1)
entre
D
∗
y
D
. Podemos aplicar entonces el teorema de
cambio de variable y escribir
D
log(
x
2
y
(^2)
dx dy
D
∗
log((
r
cos
θ
2
r
sen
θ
2
x
y
r
, θ
dr d
θ 76 / 86
Ejemplo 15.
D
∗
r
log
r
(^2)
dr d
θ
√
3
√
2
π/
2
0
r
log
r
(^2)
d
θ
dr
√
3
√
2
π^2
r
log
r
(^2)
dr
π
√
3
√
2
r
log
r dr
77 / 86
Ejemplo 15. Integrando por partes tenemos que^ ∫
x
log
x dx
u
′
v dx
uv
uv
′
dx
x
2 2
log
x
x
2 2
1 x
dx
x
2 2
log
x
x 2
dx
x
2 2
log
x
x
2 4
de modo que
78 / 86
Ejemplo 15.
D
log(
x
2
y
(^2)
dx dy
π
√
3
√
2
r
log
r dr
π
r
(^2) 2
log
r
r
√
3 √
2
π
log
log
π
log
log
79 / 86
Ejercicios propuestos
- Calcular las siguientes integrales iteradas: (a)
1 −
1
1 0
x
4
y
(^2)
y
dy dx
(b)
π/
2
0
1 0
y
cos
x
x
dy dx
(c)
1 0
1 0
xye
x
y
dy dx
80 / 86