Integrales Definidas: Conceptos, Métodos y Teoremas, Ejercicios de Matemáticas

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INTEGRALES

Integrales definidas

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Índice

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Integral definida: método de Darboux

Para calcular una aproximación de dicha área se dará los siguientes

pasos:

1. Se realiza una partición del intervalo [a, b] en n partes.
2. La función f(x) es continua en los intervalos [x (^) i-1, x (^) i] ya que lo es en [a, b].

Por el Teorema de Weierstrass, se puede asegurar que la función f(x) alcanza un máximo, M (^) i, y un valor mínimo, m (^) i, en cada intervalo [x (^) i-1, x (^) i].

3. Se dibuja los rectángulos inferiores de base x (^) i – x (^) i-1 y de altura m (^) i.
4. Se dibuja los rectángulos superiores de base x (^) i – x (^) i+1 y de altura M (^) i.

Partición

Partición del intervalo [a, b]:

Intervalos inferiores: Intervalos superiores:

Suma Superior

5. Sumamos el área de los rectángulos superiores y se obtiene una aproximación del área por exceso.

S (f,P)= M 1 (x 1 - x 0 ) + M 2 (x 2 – x 1 ) + … + Mn(x (^) n – x (^) n-1) Se define suma superior de f para P n y la designamos

S(f , P) = ∑i 1= M (xi i −x i 1− )

Integral definida

A medida que aumentamos el número de subdivisiones en la partición, de manera que disminuimos las longitudes de los subintervalos , las sumas inferiores van aumentando y las sumas superiores van disminuyendo.

Luego las sumas inferiores dependen del número de particiones que tomemos en [a, b]. Tendremos, entonces, que las sumas inferiores son una sucesión {s 1 , s 2 , … , s (^) n } de números reales creciente y acotada superiormente por cualquier suma superior. s 1 < s 2 < … < s (^) n < S Luego esta sucesión tiene límite, que coincide con un valor aproximado por defecto del área bajo una curva si la función es positiva.

Integral Riemann

Podemos asegurar que el área del recinto está comprendida entre las dos aproximaciones. (^) b b

∫a f (x)dx^ ≤^ Área^ ≤ ∫a f (x)dx

Integral inferior de f en I = (^) [ a, b]como (^) ∫a^ b f (x)dx^ =^ Sup s(f , P) / P{ ∈Pn}

Integral superior de f en I = (^) [ a, b]como (^) ∫a^ b f (x)dx = Í nf (^) { S(f , P) / P ∈Pn}

Definición. Sea f : a, b[ ] → R una función acotada. Entonces f es

integrable Riemann si y solo si (^) ∫a b f (x)dx = ∫a b f (x)dx y

se denota (^) ∫a b f (x)dx. (Integral definida sobre (^) [ a, b (^) ])

Integral definida Se define integral definida en [a, b] y se representa por:

Se llama a los números: a: límite inferior de integración b: límite superior de integración

Nota. Este proceso es válido para funciones negativas siempre que se entienda que un área negativa nos indica que el recinto que delimita la función queda por debajo del eje OX.

∫ab f(x)dx

b b b

∫ a f (x)dx^ =^ ∫ a f (x)dx^ = ∫ a f (x)dx

Funciones integrables Condiciones suficientes para ser funciones integrables:

• Las funciones continuas en un intervalo [a,b] son integrables en [a,b].
• Las funciones monótonas en [a,b] son integrables en [a,b].
• Las funciones definidas en [a,b] que son continuas salvo en un conjunto finito o infinito numerable de puntos donde presentan saltos finitos, son integrables en [a,b].
• Si f es integrable en (^) [ a, b (^) ] , entonces |f(x)|

también lo es, y además

b b a a ∫ f (x)dx^ ≤ ∫ f (x)dx.

Propiedades de las integrales definidas

1.^ a

∫a f (x)dx^ = 0 ; por convenio

Si f(x) es integrable y f (x) ≥ 0 en [a,b] ⇒ ∫a b f (x)dx = Área sombreada.

Sigue

b a a b

2. ∫ f (x)dx = −∫f (x)dx

Sigue

Propiedades de las integrales definidas

b Área = (^) ∫a f (x)dx

c b Área = (^) ∫a f (x)dx −∫c f (x)dx

6. ∫a b f(x)dx ≤ ∫ab f(x)dx

b Área = − (^) ∫a f (x)dx

a b

I) a b

II)

III)

a

c b

Propiedades de las integrales definidas b b ∫a f(x)dx^ ≤ ∫a f(x)dx b c b ∫a f(x)dx^ =^ ∫a f (x)dx^ + ∫c f (x)dx

b ∫a f(x)dx

a

c b

+ -

Se haría la resta y si el resultado es negativo se convierte f en positivo.

En este caso los dos sumandos Son positivos

a (^) c b

Teorema del valor medio

Sea f una función continua en un intervalo [a,b]. Existe al menos un c ∈ [a,b] tal que:

∫a^ b f (x)dx^ = f(c)^ (^ b - a)

Si f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ [a,b], dicho teorema tiene un significado

intuitivo claro: el área del rectángulo de base (b – a) y altura f(x 0 )

es igual al área del recinto determinado por f, el eje OX y las rectas

x = a, x = b

b - a

f(c)

Demostración del teorema del valor medio

a b

y = f (x)

f (a)

f (b)

M

m b - a

m

M

x

y Si M = máximo valor de f(x) en [a,b] y Si m = mínimo valor de f(x) en [a,b], Sabemos:

m (b – a) ≤ ∫a b f (x)dx≤^ M (b – a)

Área del rectángulo pequeño (^) Área del rectángulo grande

Entonces tomando y 0 = ( b - a^1 ) ∫a bf(x)dx se tiene que y 0 ∈ [m,M].

Teorema Weierstrass: y 0