Integral Definida: Conceptos, Propiedades y Teoremas - Prof. Hernandez, Apuntes de Ingeniería Civil

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UNIVERSIDAD PRIVADA

ANTENOR ORRREGO

Dr. MARCO ANTONIO CALDERÒN HERNÀNDEZ

INTEGRAL DEFINIDA

Definición.- Si 𝑓 se define en el intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] y el limite lim ∆ → 0 𝑖= 1 𝑛 𝑓(𝑐 𝑖

𝑖 existe, entonces es integrable en [𝑎, 𝑏] y el limite se denota por lim ∆ → 0 𝑖= 1 𝑛 𝑓(𝑐 𝑖

𝑖

𝑎 𝑏 𝑥 𝑑𝑥 El limite recibe el nombre de integral definida de 𝑓 de 𝑎 a 𝑏

3.- Si f es integrable en los tres intervalos cerrados determinados por a, b y c, entonces 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑐 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 4.- Si 𝑓 y 𝑔 son integrables en [𝑎, 𝑏] y 𝑘 es una constante, entonces, las funciones 𝐾𝑓 y 𝑓 + 𝑔 son integrables en [𝑎, 𝑏] , y 𝑎 𝑏 𝑘𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑎 𝑏 [𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑎 𝑏 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

Teorema. Si una función f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y F es una antiderivada de f en el intervalo [a,b], entonces 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 𝑎 𝑏 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎) Ejemplo. Evaluar 1 2 𝑥 2 − 3 𝑑𝑥 0 𝜋/ 4 𝑆𝑒𝑐^ 2 (𝑥)𝑑𝑥

Ejemplos. Calcular 0 2 𝑥 2

• 1 2 (2𝑥) 𝑑𝑥 0 𝜋/ 6 𝑆𝑒𝑛 2 3𝑥 cos 3𝑥 𝑑𝑥

INTEGRACIÓN POR PARTES EN UNA INTEGRAL DEFINIDA

Ejemplo 𝑎 𝑏 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 𝑎 𝑏 − 𝑎 𝑏 𝑣𝑑𝑢

TEOREMA:

Si u = u(x) y v= v(x) son funciones con derivadas continuas en 𝐼 = 𝑎, 𝑏 , entonces: Escriba aquí la ecuación. Calcular 1 3 𝑥 2 ln(𝑥) 𝑑𝑥