MATEMÁTICA II
Lic. Luis Capuñay Gonzales
SEMANA N°3
INTEGRAL DEFINIDA
• DEFINICIÓN Y PROPIEDADES
• TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO
1. INTRODUCCIÓN
2. INTEGRAL DEFINIDA
Definición
Sea 𝑓 una función definida en el intervalo cerrado [𝑎 ,𝑏], entonces la integral definida de 𝒇 entre 𝒂 𝑦 𝒃, denotada por
∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎, se define como
∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎= lim
‖Δ‖→0 (∑ 𝑓(𝑐𝑖)Δ𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 ) (∗)
Si el límite existe.
Si el límite en (∗) existe, se dice que la función 𝒇 es integrable en el intervalo [𝒂 , 𝒃] y que la ∫𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝒃
𝒂 existe.
Observaciones de la definición:
- La definición de la integral definida se da en términos de límite.
- Los números 𝒂 𝑦 𝒃 se denominan límites (o extremos) de integración, siendo "𝒂" el límite inferior y "𝒃" el límite superior.
En este contexto, cuando se usa el término límite se refiere a uno u otro extremo del intervalo y no tiene ninguna relación
con las definiciones de límite.
- La función 𝑓 que aparece en el primer miembro en (∗) se denomina función integrando (o simplemente integrando).
- La integral definida es un número real, es decir puede ser un número negativo, positivo o cero.
3. CONTINUIDAD IMPLICA INTEGRABILIDAD
Teorema.
Si la función 𝒇 es continua en el intervalo cerrado [𝒂 , 𝒃], entonces 𝒇 es integrable en [𝒂 , 𝒃], es decir ∫𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝒃
𝒂 existe.
Comentario
Hay funciones definidas para cada valor de 𝑥 en [𝑎 , 𝑏] para las cuales el límite en (∗) no existe.
4. CONDICIONES SUFICIENTES DE INTEGRABILIDAD
Teorema.
Si una función 𝒇 es acotada en el intervalo cerrado [𝒂 ,𝒃], es decir, si existe una constante positiva 𝐵 tal que −𝐵≤𝑓(𝑥)≤𝐵
para toda 𝑥 en el intervalo y tiene un número finito de discontinuidades en intervalo [𝒂 , 𝒃], entonces 𝒇 es integrable en el
intervalo.
5. PROPIEDADES BÁSICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Teorema.
Si 𝒇 y 𝒈 son funciones integrables en [𝑎 , 𝑏] y 𝑘 es una constante, entonces 𝒇+𝒈,𝒇−𝒈,𝒌𝒇 son integrables en [𝑎 , 𝑏].
Además
𝒂) ∫[𝒇(𝒙)+𝒈(𝒙)]
𝒃
𝒂 𝒅𝒙 = ∫𝒇(𝒙)
𝒃
𝒂𝒅𝒙 + ∫ 𝒈(𝒙)
𝒃
𝒂𝒅𝒙 ( 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑆𝑢𝑚𝑎 )
𝒃) ∫[𝒇(𝒙)−𝒈(𝒙)]
𝒃
𝒂 𝒅𝒙 = ∫𝒇(𝒙)
𝒃
𝒂𝒅𝒙 − ∫ 𝒈(𝒙)
𝒃
𝒂𝒅𝒙 ( 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 )
