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Integrales indefinidas, Diapositivas de Matemáticas

Universidad de los Andes (ULA)Matemáticas

Explicación de las integrales indefinidas con ejercicios

Tipo: Diapositivas

2017/2018

Subido el 27/11/2018

Fdez_15 🇪🇸

5

(1)

3 documentos

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Integrales Racionales

Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador hacemos la división de polinomios y

obtenemos la suma del resultado de la división (un polinomio nuevo) y del resto de la división a dividir

por el polinomio del denominador

C(x) es un polinomio y su integral no tiene ninguna dificultad

La fracción de R(x)/Q(x) es una expresión racional de 2 polinomios, y el del numerador es de grado

inferior al del denominador.

En la parte teórica consideraremos SOLO expresiones racionales en las cuales el polinomio del

numerador es de grado inferior al polinomio del denominador.

PROCEDIMIENTO

1. Descomponemos el denominador en factores.

2. Transformamos el numerador de manera “apropiada”

3. Re-escribimos la integral de forma más conveniente

4. Integramos

Dependiendo de las raíces del denominador encontramos los siguientes tipos de integrales racionales:

P(x)

Q(x)dx =C(x)dx +R(x)

Qx dx

∫∫∫

P(x)

Q(x)

Descubre Diapositivas de Matemáticas Universidad de los Andes (ULA)

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Integrales indefinidas

integrales indefinidas

Integrales Indefinidas

Ejercicios de integrales indefinidas

INTEGRALES INDEFINIDAS

Integrales indefinidas

INTEGRALES INDEFINIDAS

Integrales Indefinidas

Integrales indefinidas

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Integrales Racionales

Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador hacemos la división de polinomios y

obtenemos la suma del resultado de la división (un polinomio nuevo) y del resto de la división a dividir

por el polinomio del denominador

C(x) es un polinomio y su integral no tiene ninguna dificultad

La fracción de R(x)/Q(x) es una expresión racional de 2 polinomios, y el del numerador es de grado

inferior al del denominador.

En la parte teórica consideraremos SOLO expresiones racionales en las cuales el polinomio del

numerador es de grado inferior al polinomio del denominador.

PROCEDIMIENTO

1. Descomponemos el denominador en factores.

2. Transformamos el numerador de manera “apropiada”

3. Re-escribimos la integral de forma más conveniente

4. Integramos

Dependiendo de las raíces del denominador encontramos los siguientes tipos de integrales racionales:

P ( x )

Q ( x )

dx = C ( x ) dx +

R ( x )

Qx

dx ∫ ∫ ∫

P ( x )

Q ( x )

Caso 1: Integrales racionales con raíces reales simples

Los coeficientes A

1

, A

2

, …, A

n

son números que se obtienen efectuando la suma e identificando

coeficientes

3 x

3

+ 5 x

x

2

− x − 2

∫

dx

3 x

3

+ 5 x x

2

− x − 2

14 x + 6 3 x + 3

3 x

3

+ 5 x

x

2

− x − 2

∫

dx = ( 3 x + 3 ) dx +

14 x + 6

x

2

− x − 2

∫ ∫

dx

Ejemplo

( )= ( − )( − )...( − ) ⇒ 1 2 n

Q x x a x a x a

x

2

− x − 2 = ( x − 2 )( x + 1 ) ⇒

Denominadores iguales => Numeradores iguales

( 2 )( 1 )

( 1 ) ( 2 )

2

14 6 1 2

2

− +

- −

=

− −

x x

A x A x

x x

x

⇒

−

=

− +

=

− −

( 2 )( 1 ) ( 2 ) ( 1 )

14 6

2

14 6 1 2

2

x

A

x

A

x x

x

x x

x

P ( x )

Q ( x )

A

1

( x − a

1

A

2

( x − a

2

An

( x − a

n

( 2 )( 1 )

( ) ( 2 )

( 2 )( 1 )

2 1 1 2 2 1 2 1 2

− +

- −

=

− +

- −

=

x x

A A x A A

x x

Ax A Ax A

14 6 ( ) ( 2 ) 1 2 1 2

x + = A + A x + A − A

Caso 2: Integrales racionales con raíces reales múltiples

Los coeficientes A

i,j

son números que se obtienen efectuando la suma e identificando coeficientes

3 x + 5

x

3

− x

2

− x + 1

∫

dx

Ejemplo

= − − − ⇒

kn

n

k k

Q ( x ) ( x a ) ( x a ) ...( x a )

2

1

⇒

−

− + + − + +

=

−

− + + − + +

=

− − +

1 2

2

1

2

1

1 2

1

2

1 1

1

2

1

3 2

( 1 )( 1 )

( 2 1 ) ( 1 ) ( 1 )

( 1 )( 1 )

( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 )

1

3 5

x x

A x x B x B x

x x

A x B x x B x

x x x

x

⇒

−

=

−

=

− − +

2

1

3 2 2

( 1 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )

3 5

1

3 5

x

B

x

B

x

A

x x

x

x x x

x

( ) ( ) ( )

1 2

1 2 1 1 2

2

1 1

1 2

1 2 2

2

1 1 1

2

1

3 2

( 1 )( 1 )

2

( 1 )( 1 )

( 2 ) ( ) ( )

1

3 5

−
− − + − +

=

−

− + + − + +

=

− − +

x x

A B x A B x A B B

x x

Ax Ax A Bx B B x B

x x x

x

⇒

−
− + + − +

=

− − +

1 2

1 2 1 1 2

2

1

2

1

3 2

( 1 )( 1 )

2

1

3 5

x x

Ax Bx Ax B x A B B

x x x

x

Denominadores iguales => numeradores iguales

x

3

− x

2

− x + 1 = ( x + 1 )

1

( x − 1 )

2

−

...

( )

...

( ) ( )

2

2 , 2

2

2 , 2

1

2

2 , 1

k

x a

A

x a

A

x a

A

kn

n

n kn

n

x a

A

x a

A

x a

A

( )

...

( ) ( )

,

2

, 2

1

, 1

−

= 1

1

1 , 1

2

1

1 , 2

1

1 , 1

( )

...

( ) ( ) ( )

( )

k

x a

A

x a

A

x a

A

Q x

P x

( A 1

B 1

) = 0

− 2 A 1

B 2

= 3

A 1

− B 1

B 2

= 5

⎧

⎨

⎪

⎩

⎪

⇒

( ) ⇒

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

= −

=

⇒

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

−

=

= −

⇒

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

−

=

= −

⇒

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

− + =

=

= −

⇒

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

− − + =

= −

4

2

1

2

1

4

2

3 4

2 8

2

3

2 5

2 3

5

2 3

2

1

2

1

1 1

2

1

1 1

1 2

1 1

1 1 2

1 2

1 1

B

A

B

A B

B

A B

B B

A B

B B B

B B

A B

3 x + 5

x

3 − x

2 − x + 1

=

1

2 ( x + 1 )

1

−

1

2 ( x − 1 )

1

4

( x − 1 )

2

⇒

3 x + 5

x

3 − x

2 − x + 1

dx =

1

2

dx

( x + 1 )

−

1

2

dx

( x − 1 )

4

dx

( x − 1 )

2

=

1

2

log x + 1 −

1

2

log x − 1 − 4 ( x − 1 )

− 1

C

3 x + 5

x

3 − x

2 − x + 1

=

A 1

B 1

x

2 − 2 A 1

− B 2

x + A 1

− B 1

B 2

( x + 1 )

1 ( x − 1 )

2

⇒

Resolución 2: anulación denominador

Resolución 1: Polinomios iguales <=> Coeficientes iguales

( ) ( ) ( )

⇒

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

= + − − + − +

− + = + − − − − + − +

- = + + − − + + − +

1 2 1 1 2

2

1 1

1 2 1 1 2

2

1 1

1 2 1 1 2

2

1 1

3 ( 0 ) 5 ( 0 ) 2 ( 0 )

3 ( 1 ) 5 ( 1 ) 2 ( 1 )

A B A B A B B

8 = + 2 B 2

2 = 4 A 1

5 = A 1

− B 1

B 2

⎧

⎨

⎪

⎩

⎪

⇒

4 = B 2

1

2

= A 1

5 =

1

2

− B 1

4

⎧

⎨

⎪

⎩

⎪

⇒

4 = B 2

1

2

= A 1

−

1

2

= B 1

⎧

⎨

⎪

⎩

⎪

⇒

8 = A 1

B 1 ( ) − 2 A 1

− B 2 ( )

A 1

− B 1

B 2 ( )

2 = A 1

B 1 ( ) +^2 A 1

− B 2 ( ) +^ A 1

− B 1

B 2 ( )

5 = + A 1

− B 1

B 2 ( )

⎧

⎨

⎪

⎩

⎪

⇒

( ) ( ) ( )

⇒

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

= −

= +

= + − − + − +

0

1

3 5 2 1 2 1 1 2

2

1 1

x

x A B x A B x A B B

3 x + 5

x

3 − x

2 − x + 1

=

1

2 ( x + 1 )

1

−

1

2 ( x − 1 )

1

4

( x − 1 )

2

⇒

3 x + 5

x

3 − x

2 − x + 1

dx =

1

2

dx

( x + 1 )

−

1

2

dx

( x − 1 )

4

dx

( x − 1 )

2

=

1

2

log x + 1 −

1

2

log x − 1 − 4 ( x − 1 )

− 1

C

Funciones trigonométricas - Funciones Racionales de sin(x), cos(x)

f ( − x )= f ( x )

f ( − x )=− f ( x )

4 4 4

x x

f x

x

f x

4

3

4

3

4

3

4

3

f x

x

f x

x

f x =−

funciones pares funciones impares

sin( ) sin( ) sin( )

( ) f x

x

f x = =

x

f x

sin ( )

4

f ( −sin( x ))= f (sin( x ))

par en el seno impar en el seno

f ( −sin( x ))=− f (sin( x ))

f ( −sin( x ),−cos( x ))= f (sin( x ),cos( x ))

par tanto en seno como en coseno

x

f x

sin( )

sin ( ) ( sin( )) sin( )

4 4

f x

x

f x =−

Funciones trigonométricas - Funciones Racionales de sin(x), cos(x)

par en el seno

impar en el seno

f ( −sin( x ))= f (sin( x ))

f ( −sin( x ))=− f (sin( x ))

sin ( )

cos( ) 1

2

x

f x

( ) sin ( );

5

f x = x

f ( −sin( x ),−cos( x ))= f (sin( x ),cos( x ))

1 sin( )cos( )

x x

f x

par en el seno

impar en el seno

par en el seno

impar en el seno

par en el seno

impar en el seno

cos ( )

sin ( )

2

x

f x = + tg x =

( ) cos( ) cos( )sin ( )

0

f x = x = x x

cos( ) sin ( )

sin ( )

2

3

x x

x

f x

f ( x )=tan( x )

f ( x )=tan x

par tanto en seno como en coseno

Qué son las siguientes funciones

∫

sin( )cos ( )

2

x x

dx

impar en seno cos( x )= t

cos( x )= t ⇒ d (cos( x ))= dt ⇒

∫ ∫

2 2 2

2

sin( )cos ( ) t t t

dt

x x

dx

2

sin( x ) = 1 − t

(− sin( x )) dx = dt ⇒

2

1

sin( ) t

dt

dx

x

dt

dx

∫ ∫

−

2 2 2 2

( 1 ) ( 1 t ) t

dt

t t

dt

Q t

P t

∫

Resolvemos dt

Q t

P t

∫

Sustituimos t =cos( x )

Funciones trigonométricas - Funciones Racionales de sin(x), cos(x)

Sustituciones

Ejemplo

f(x) impar en seno cos(x) = t

f(x) impar en coseno sin(x) = t

f(x) par tanto en seno como en coseno tan(x) = t

2 ⇒ cos( x )= 1 − t 2

1 t

dt

dx

[ ]

2

1 t

dt dx

2

⇒ sen ( x )= 1 − t 2

1 t

dt

dx

[ ]

2

2 2 2 2

( ) tan ( )cos ( )

t

t sen x x x

[ ] [ ]

2 2

2

1 tan ( )

cos ( )

x t

x

Funciones trigonométricas - Funciones Racionales de sin(x), cos(x)

Sustituciones

SIEMPRE válido tan(x/2) = t

cos( ) 2 cos

2

⇒ = −

x

x^1

1 tan

2

x

2

1 tan

t

x

2

2 1

1 tan

2 tan

tan( )

t

x

2

1

( ) tan( )cos( )

t

sen x x x

2

1

t

dt

dx

Integrales con trinomios de segundo grado

dx

ax bx c

mx n

∫

2

⎟^ +

∫ ∫ ∫

2

x

d x

x x

dx

x x

dx

C

x

C arctg

x

arctg +

Ejemplo

∫ ±

2 2

_ 0 _ _ _

x a

dx

si m nos reconducimos a

Integrales con trinomios de segundo grado

dx

ax bx c

mx n

∫

2

_ 0 _ _ 2

2

2 2

ax bx c

dx

d

ax b

si m sustituimos xa b t

ax bx c a x b l

∫ ∫ ∫ ∫

dx

ax bx c

a

mb

n

dx

ax bx c

ax b

a

m

dx

ax bx c

a

mb

ax b n

a

m

dx

ax bx c

mx n

2 2 2 2

Ejemplo

∫

ax bx c

dx

a

mb

ax bx c n

a

m

2

)

log (

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

log 1

2

2 2 2 2

x

d x

dx x x

x x

dx

x x

x

dx

x x

x

dx

x x

x

C

x

x x +

log

log 1

2

Integrales del tipo

∫

mx + n ax + bx + c

dx

2

( )

sustituyen do

∫

2

x x

dx

Ejemplo

∫

dx

ax bx c

mx n

se reduce a uno de tipo

t

mx n

2

_ _ _ _ _

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 2 2

2

2 2 2

2

2 [( 1 2 ) ] 1 2 2

1 ) 1 ]

1 ) 1 [(

( 1 ) 1 t t

dt

t t t

dt

t t

t

dt

t

dt

t t

t

dt

x x

dx

t

x 1

2 2

t

dt

t

dx

t

d x d

t

x

t

x

sustituyendo

t t t C

t

dt

t t

dt

t t

dt

∫ ∫ ∫ 2

log

2

2 2 2