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Tema 6. Integral Indefinida.
Dadas las funciones 𝑓𝑓(𝑥𝑥) y 𝐹𝐹(𝑥𝑥), diremos que 𝐹𝐹(𝑥𝑥) es una función primitiva de 𝑓𝑓(𝑥𝑥)
si se verifica la igualdad 𝐹𝐹
′
( 𝑥𝑥
Ejemplo: Si 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 18𝑥𝑥
2
entonces 𝐹𝐹(𝑥𝑥) = 6𝑥𝑥
3
es una primitiva de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ya que
2
Si se conoce una de las primitivas de 𝑓𝑓(𝑥𝑥), bastará sumarle cualquier constante para
conocerlas todas.
Ejemplo:
1
3
1
2
3
2
Dada una función 𝑓𝑓(𝑥𝑥), se llama integral indefinida de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) al conjunto de todas sus
primitivas:
Propiedades :
Nota: Los procedimientos o técnicas que permiten el cálculo de ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥 son muy
distintos según cuál sea la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥). El más sencillo de estos procedimientos es el
que se encarga de resolver integrales inmediatas, además, veremos la integración por
partes, integración de funciones racionales e integración por cambio de variable.
Integrales inmediatas.
Unidad : ∫ 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 + 𝑘𝑘
𝑛𝑛
Potencial : ∫
′
( 𝑥𝑥
𝑛𝑛+
𝑓𝑓 𝑥𝑥 )
𝑛𝑛+
Logarítmica : ∫
− 1
𝑓𝑓
′
(𝑥𝑥)
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
Número a :
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
′
( 𝑥𝑥
𝑎𝑎
𝑓𝑓
( 𝑥𝑥
)
L (𝑎𝑎)
Número e : ∫
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
Trigonométricas :
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥 = − cos(𝑓𝑓
cos(𝑓𝑓
𝑓𝑓
′
(𝑥𝑥)
1+(𝑓𝑓(𝑥𝑥))
2
Nota: Si al integrar tenemos en nuestra primitiva un logaritmo, se denota como 𝐿𝐿.
Ejemplos:
3
4
2
𝑥𝑥
3
𝑥𝑥
4
+4𝑥𝑥+
1
1+4𝑥𝑥
2
Integración por partes.
El método de integración por partes se puede aplicar cuando el integrando, es decir, la
función a integrar es de la forma 𝑓𝑓
En la práctica, a la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) se la suele denotar como 𝑢𝑢, y a la función 𝑔𝑔(𝑥𝑥) como
Con la notación anterior, la fórmula de integración por partes se reduce a
Nota: Normalmente una de estas funciones es de tipo logarítmica o exponencial.
Ejemplo: ∫ 𝑥𝑥 · 𝑙𝑙𝑛𝑛
Integración de funciones racionales.
Se denomina función racional a la que toma la forma
polinomios en la variable 𝑥𝑥.
𝑃𝑃(𝑥𝑥)
𝑄𝑄(𝑥𝑥)
donde 𝑃𝑃(𝑥𝑥) y 𝑄𝑄(𝑥𝑥) son
Comencemos estudiando el cálculo de las integrales de un tipo especial de funciones
racionales, que son las llamadas fracciones simples.
1
Una función racional se llama fracción simple si toma la forma
(𝑥𝑥−𝑎𝑎)
𝑛𝑛
(𝑓𝑓𝑓𝑓𝑎𝑎𝑓𝑓𝑎𝑎 1) o
𝑀𝑀𝑥𝑥+𝑁𝑁
𝑥𝑥
2
+𝑝𝑝𝑥𝑥+𝑞𝑞
(𝑓𝑓𝑓𝑓𝑎𝑎𝑓𝑓𝑎𝑎 2), donde el polinomio 𝑥𝑥
2
- 𝑝𝑝𝑥𝑥 + 𝑞𝑞 no tiene raíces reales.
1+
3
𝑥𝑥
- Por cada par de raíces complejas de multiplicidad ℎ aparecerán ℎ sumandos
2
2
2
2
ℎ
Para determinar las constantes 𝐴𝐴, 𝐴𝐴 1
1
1
, … hay varios métodos, pero
el más usual es reducir todos los denominadores de las fracciones simples al común
denominador 𝑄𝑄(𝑥𝑥) e identificar los coeficientes de los numeradores con los de 𝑃𝑃(𝑥𝑥).
Se llega así a un sistema lineal de ecuaciones.
2 𝑥𝑥+
Ejemplo: ∫
𝑥𝑥
3
− 3 𝑥𝑥+
Integración por cambio de variable.
Dada la integral ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥, si consideramos a 𝑥𝑥 como una función de una nueva
variable 𝑎𝑎, de forma que 𝑥𝑥 = 𝑔𝑔(𝑎𝑎), entonces 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑔𝑔
′
( 𝑎𝑎
𝑑𝑑𝑎𝑎 y podemos hacer la
sustitución formal
Supuesto que la segunda integral es más simple que la primera, se puede resolver en la
variable 𝑎𝑎 y posteriormente sustituir 𝑎𝑎 en función de 𝑥𝑥. Hay ocasiones en las que, en
lugar de dar 𝑥𝑥 en función de 𝑎𝑎, se da 𝑎𝑎 en función de 𝑥𝑥.
Vamos a ver a continuación algunos de los cambios de variables más usuales dentro
del cálculo integral, no son únicos y nos pueden dar “pistas” sobre posibles cambios de
variable.
- Funciones con raíces de 𝑥𝑥 (𝑥𝑥
1⁄
1⁄
𝑓𝑓
1⁄𝑓𝑓
𝑓𝑓− 1
𝑑𝑑𝑎𝑎; 𝑓𝑓 = 𝑓𝑓𝑎𝑎𝑓𝑓 (í𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛𝑎𝑎𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑙𝑙𝑎𝑎𝑠𝑠 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑎𝑎𝑒𝑒𝑠𝑠)
- Funciones racionales de la exponencial:
𝑥𝑥
⟹ 𝑥𝑥 = ln 𝑎𝑎 ; 𝑑𝑑𝑥𝑥 =
Ejemplo:
𝑒𝑒
𝑥𝑥
1+𝑒𝑒
2 𝑥𝑥
√𝑥𝑥
√
Bibliografía:
Toda la información aquí recogida ha sido extraída de los siguientes libros:
- Métodos matemáticos para la economía y empresa, un curso práctico.
Autores: Ángeles Cámara Sánchez, María Mercedes Martin Lope y Ana Medina
López.
Editorial: Ommpress
- Algebra Lineal para los grados en ciencias sociales.
Autores: Ángeles Cámara Sánchez, Raquel Garrido Abia, Miguel Ángel Marcos
Calvo, María Mercedes Martin Lope y José Ramón Monrobel Alcántara.
Editorial: Delta publicaciones
- Algebra lineal con métodos elementales.
Autores: Luis M. Merino González y Evangelina Santos Aláez.
