¡Descarga Métodos de Integración: Descomposición, Sustitución y Partes y más Esquemas y mapas conceptuales en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
TEMA 3.- EL CÁLCULO INTEGRAL DE UNA
FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
3.3.-OTRAS TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
La integración de funciones puede llegar a ser muy complicada. Por ello, para facilitarla existen diversos procedimientos generales, de los cuales los más importantes son los que se presentan a continuación.
Integración Por Descomposición
Este método se basa en la aplicación de las dos propiedades fundamentales de las integrales indefinidas: la integral de la suma de dos funciones y la integral del producto de una constante por una función.
Ejemplos
1º.- Calcular la siguiente integral indefinida:
3 x^2 5 x dx
Resolución:
Por la 1ª propiedad de linealidad de la integral indefinida:
3 x^2 5 x dx 3 x dx^2 5 xdx
Por la 2ª propiedad de linealidad de la integral indefinida:
3 2 3.^2
x dx x dx
xdx xdx
Pero las dos integrales que quedan son inmediatas. En la primera, m = 2, y en la segunda, m = 1. Así,
3 2 1 2 2
x x dx C
x xdx C
Por consiguiente,
2 3 2 5 3 2 5 3 5 2
x
x^ ^ x dx^ ^ x dx^ ^ xdx^ ^ x^ ^ C
2º.- Calcular la siguiente integral indefinida:
(^ sen x ( )^^ ^3 tg x^ ( ))^ dx
Resolución:
(^ sen x ( )^^ ^3 tg x^ ( ))^^ dx^ ^ sen x dx ( )^^ ^ 3 tg x dx^ ( )^^ ^ sen x dx ( )^^ ^3 tg x dx ( )
cos( ) x 3 Ln cos( ) x C
3º.- Calcular la siguiente integral indefinida:
2 2
3 cos 1
x x dx x
^
Resolución:
2 2 2 2
3 cos 3 cos( ) 7 1 1
x x dx x dx x dx dx x x
^ ^ ^ ^ ^
^
x^3^ sen x ( ) 7 Ln x x^2 1 C
A continuación, se despejan x y dx en función de t y dt , sustituyéndolos en el integrando:
dt f t u f t dt u
En conclusión, lo que se hace en la práctica para aplicar el cambio de variable es escribir x como una función de t : x=g(t), o también t como una función de x : t=u(x), e incluso funciones de x como funciones de t: f 1 (x)=f 2 (t). En estos dos últimos casos, habitualmente hay que despejar x como función de t para hallar dx.
- Integración de la nueva integral en t.
Si la integral resultante en t es más sencilla que la dada inicialmente se procede a su resolución:
f^ ( )^ t dt^^ ^ F t ( )^ C
En caso contrario, hay que elegir otra sustitución más adecuada. Obsérvese que el resultado depende de una variable que no es la original.
- Deshacer el cambio de variable: sustitución de la variable t por x (volver a la variable inicial).
f^ ( )^ t dt^^ ^ F t ( )^^ ^ C^ ^ F u x ( ( ))^ C
Por ejemplo, la integral:
sen x^4 .cos x dx.
se simplifica notablemente si se aplica el cambio de variable :
t=sen(x)
Entonces, se cumplirá que:
dt=cos(x)dx
con lo que la integral quedaría reducida a:
5 4 5
t
t dt^ ^ c
Finalmente, siempre se ha de deshacer el cambio de variable, con lo que el resultado final sería: 5 (^4) .cos. 5
sen x
sen x^ x dx^ ^ c
En principio, se puede aplicar cualquier cambio de variable que tenga sentido (por ejemplo, x=Ln(-t 2 ) no tiene sentido ya que t 2 0 ). Aunque no existen reglas fijas para utilizar el método del cambio de variable, en general, este método resulta muy adecuado en los siguientes casos:
Cuando aparecen productos de senos y cosenos de una expresión de la variable; Si aparecen expresiones con factores del la forma e u(x). Cuando una expresión racional puede reducirse a la forma 1/(a+bx^2 ), donde se buscará el arco tangente, o para buscar el arco seno o el arco coseno.
Concretamente, se establecen los siguientes Cambios de Variable : Integrando Irracional de la forma:
a. n^ ax b , se transforma en racional mediante el cambio de variable ax b zn. b. (^) q px x^2 , se transforma en racional mediante el cambio de variable q px x^2^ ( z x )^2.
c. q px x^2 x x , se transforma en racional
mediante el cambio de variable q px x^2 ( x )^2 z^2 , o
bien, q px x^2 ( x )^2 z^2
Integrando Racional de sen(x) y cos(x) El cambio de variable x 2 arctg z ( )transforma una función racional de sen(x) y cos(x) en una función de z. Después de efectuar la integración,
se deshace el cambio de variable, es decir,
z tg x
con objeto de
expresar el resultado en función de la variable original.
Cambios de Variable Trigonométricos Un integrando que sea de las formas a^2 b x^2^2 , a^2^ b x^2 2^ , o b x^2^2 a^2 , se puede transformar, si no contiene otro factor irracional, en otro integrando formado a base de
x x u x dx du x dx du
Entonces, la integral indefinida dada se convierte en la siguiente:
(^) 2 2
2 4 6 ( ) cos( ) cos 4 6 2 2 2
^ x^ ^ sen x^ ^ x^ ^ dx^ ^ sen u du^ ^ u^ ^ C^ ^ x^ ^ x^ ^ C
Integración Por Partes
El método de la integración por partes se emplea para simplificar el cálculo de la integral de un producto de funciones que puedan interpretarse como del tipo u(x).v’(x). Sean u(x) y v(x) funciones derivables de x. En estas condiciones se verifica que:
d u v dv du u v x u x v x dx dx dx
u v x u x v x v x u x
u x v x u v x v x u x Integrando
u x v x dx u v x v x u x dx
Considerando el concepto de primitiva, finalmente, se obtiene la expresión para la integración por partes:
u x v ( ).^^ ( )^ x dx^^ ^ u x v x ( ). ( )^^ v x u ( ).^^ ( ) x dx
O bien, si dv v (^) ( ) x dx y du u (^) ( ) x dx , también se utiliza la expresión siguiente para la
integración por partes:
u dv.^^ ^ u v.^^ v du.
Para aplicarlo en la práctica, se separa el integrando en dos partes: una de ellas se iguala a u(x) y la otra v’(x). Es conveniente tener en cuentas las dos siguientes cuestiones: a) La parte que se iguala a v’(x) debe ser fácilmente integrable; b) Además, v x u ( ). ( ) x dx ha de ser más fácil de integrar que u x v ( ). ( ) x dx , es decir,
v x u ( ).^^ ( ) x dx no debe ser más complicada que^ u x v ( ).^^ ( ) x dx.
Fórmulas de Reducción Mediante la integración por partes se obtiene las siguientes Fórmulas de Reducción :
n (^) ( ) n (^) ( ) cos( ) n ( ) n sen x dx sen x x sen x dx n n
^
cos ( ) n^ cos n^ ( ) ( ) cos n ( ) n x dx x sen x x dx n n
^
2 2 1 2 1
1^ n^^2 2 1 n^^2 21 n
x n dx dx x n^ x^ ^ n x
Las dos primeras relaciones, utilizadas de forma reiterada, proporcionan un método para calcular las primitivas de senn^ (x) o cos n^ (x). La 3ª relación es muy importante para integrar funciones racionales.
Ejemplos
1º.- Calcular la siguiente integral indefinida:
xLn x (^^ 3) dx
Utilizamos la integración por partes para lo que se realiza la siguiente identificación de funciones:
2
dx u Ln x du x x dv xdx v
De modo que integrando por partes:
2 2 2
2 2
x x x xLn x dx Ln x dx Ln x x dx x x x x Ln x x Ln x C
^
2º.- Calcular la siguiente integral indefinida:
x^2^ sen (3 ) x dx
Utilizamos la integración por partes en base a la siguiente identificación de funciones:
u x^2^ du 2 xdx 1 (3 ) cos(3 ) 3
dv sen x v x
