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Integrales no elementales
(¿se puede resolver esta integral?)
Miguel Mata Pérez
30 de mayo de 2019
Resumen Dada una función f ( x ), no siempre es posible encontrar una función antiderivada, es decir, una función g ( x ) cuya derivada g ′( x ) sea igual a f ( x ), y cuando es posible dicha solución no siempre se puede expresar en forma elemental. En este trabajo recopilamos una lista de funciones cuyas integrales no son elementales. También presentamos, sin demasiado rigor, algunos conceptos generales y algunas ideas que nos permitan identificar otras funciones sin integral elemental.
1. Introducción
Sean f (x) y g(x) funciones tales que g′(x) = f (x) (lo cual también implica que
f (x) dx = g(x) + c), entonces se dice que g(x) es una «primitiva», «antiderivada» o «integral» de f (x).
Es sabido que existen funciones que no tienen primitiva. También existen funciones cuya primitiva existe, pero que no es posible expresarla en forma elemental. Se suele decir que la integral de tales funciones «no se puede resolver»: no es que no se esté empleando la técnica correcta, o que dicha técnica aún no haya sido inventada, sino que ninguna técnica puede ni podrá conseguir que tales integrales sean expresadas en términos de funciones elementales y eso está demostrado matemáticamente.
El problema de identificar las funciones sin primitiva elemental lo abordó por primera vez Laplace en 1812. Entre los años 1833 y 1841, Liouville se encargo de continuar dicho trabajo y desarrolló importantes resultados. En 1853, Chebyshev logró generalizar cierto tipo de funciones algebraicas que no tienen primitiva elemental. En 1916, Hardy aplicó el teorema de Liouville para caracterizar un tipo especial de funciones logarítmicas que no tienen primitiva elemental.
2. Conceptos básicos
Función elemental: Una función se dice que es elemental si puede ser expresada mediante un número finito de sumas, restas, productos, cocientes o composiciones de:
Potencias: Raíces: x, x^2 , x^3 ,...
x, 3
x, 4
x,... Exponenciales: Logaritmos: e x , a x^ (a 6 = 1). ln x, log a x (a 6 = 1). Funciones trigonométricas: Funciones trigonométricas inversas: sen x, cos x, tan x,... arc sen x, arc cos x,... Funciones hiperbólicas: Funciones hiperbólicas inversas: senh x, cosh x, tanh x,... arg senh x, arg cosh x,...
Ejemplos: f 1 (x) = esen^ x √ x − x^3
, f 2 (x) = x^4 − cos
ln(1 + x^2 ).
Función integrable: Se dice que una función es integrable si satisface la definición formal de la integral (por ejemplo, mediante sumas de Riemann).
Observaciones: Existen funciones no integrables. También existen funciones integrables cuya in- tegral no se puede escribir mediante una función elemental.
Ejemplo: x e x
2 es integrable y de hecho
x e x
2 dx = 12 e x
2
Ejemplo: e x
2 es integrable, pero
e x
2 dx no es expresable mediante una función elemental.
Observación: Toda función continua es integrable, pero no toda función continua tiene integral elemental.
3. Algunas integrales no elementales
Esta sección es la motivación principal de este trabajo. En ella se presenta un listado de funciones integrables que no tienen primitiva elemental. La intención es presentar una lista que sirva como guía para identificar funciones no integrables en términos elementales.
3.1. Funciones algebraicas
Toda una familia de funciones algebráicas, entre las que se destacan las elípticas, no tienen integral elemental; en particular las siguientes:
ax n^ + b dx (a, b ∈ R no nulos, n ∈ Q, n > 2 )
dx √ ax n^ + b
(a, b ∈ R no nulos, n ∈ Q, n > 2 )
dx √ (1 − x^2 )(1 − k^2 x^2 )
dθ √ 1 − k^2 sen^2 θ
(0 < k < 1)
1 − k^2 x^2 √ 1 − x^2
dx ≡
1 − k^2 sen^2 θ dθ (0 < k < 1)
P (x) dx √ Q(x)
(P (x) y Q(x) polinomios, Q sin raíces repetidas, gr(Q) ≥ 3 y gr(P ) < gr( 2 Q )− 1 )
x m (ax n^ + b) p dx (a, b ∈ R, m, n, p ∈ Q, a, b, n 6 = 0 y p, m n +1 , m n +1 + p 6 ∈ Z)
Observación: Las integrales (1) y (2) son un caso particular de (6).
Observación: Las integrales
sen(ln x) dx y
cos(ln x) dx son elementales: el cambio de variable y = ln x las transforma en
e y^ sen y dy y
e y^ cos y dy que se resuelven por doble aplicación de integración por partes.
Observación: Las integral (9) es un caso particular de (6), haciendo sen x = u y, por tanto,
cos x = (1 − u^2 )
(^1) / 2 .
3.3. Funciones exponencial y logaritmo
Las siguientes integrales que involucran la función exponencial y su función inversa, el logaritmo natural, no tienen primitiva elemental:
e x
2 dx 41.
ln x dx
e
(^1) /x dx 43.
dx ln x
e
(^1) /x 2 dx 45.
dx √ ln x
e e
x dx 47.
ln(ln x) dx
x e ax^ dx (a 6 = 0) 49.
e ax √ x
dx (a 6 = 0)
e x^ ln x dx 51.
x x^ dx
Más aún, se cuenta con algunas reglas más generales:
e P^ ( x )^ dx (P (x) polinomio con gr(P ) ≥ 2 )
x^2 n e ax
2 dx (n ∈ Z, a ∈ R, a 6 = 0)
e ax + b x n^
dx (n ∈ Z+, a, b ∈ R, a 6 = 0)
e ax^ ln n (bx) dx (n ∈ Z+, a, b ∈ R, a, b 6 = 0)
ln n (ln(ax k^ )) dx (n ∈ Z, n 6 = 0, a, k ∈ R, a, k 6 = 0)
ln(ax n^ + b) x
dx (n ∈ Z+, a, b ∈ R+)
ln x P (x)
dx (P (x) polinomio sin raíces repetidas y gr(P ) ≥ 2 )
Observación: Es claro que la integral ( 40 ) es un caso particular de la (52), pero también de la (53) tomando a = 1, b = 0 y n = 0. También la intergal (47) es un caso particular de la (56) y la (50) de la (55).
3.4. Funciones hiperbólicas
Atendiendo a las definiciones senh x = 12 (e x^ − e− x ) y cosh x = 12 (e x^ + e− x ), es posible intuir otras expresiones no elementales. Por ejemplo,
∫ (^) senh x x dx^ y^
∫ (^) cosh x x dx^ no pueden ser ambas elementales porque si lo fueran, e
x x =^
senh x x +^
cosh x x tendría integral elemental, pero tal razonamiento no descarta que una de ellas pudiera ser elemental y la otra no.
Más útil que lo anterior, atendiendo a las relaciones senh x = −i sen(ix) y cosh x = cos(ix), mediante un simple cambio de variable resulta en que todas las integrales no elementales (7) a (25) tampoco lo son para sus versiones hiperbólicas.
Como ejemplos, las siguientes integrales no son elementales:
senh x x dx 60.
cosh x x dx
senh (^1) x dx 62.
cosh (^1) x dx
x senh x dx 64.
x cosh x dx
senh x √ x
dx 66.
cosh x √ x
dx
senh e x^ dx 68.
cosh e x^ dx
ln x senh x dx 70.
ln x cosh x dx
senh(P (x)) dx (P (x) polinomio con gr(P ) ≥ 2 )
cosh(P (x)) dx (P (x) polinomio con gr(P ) ≥ 2 )
4. Comprendiendo mejor a las funciones elementales
Teorema (funciones elementales): Sean f y g funciones elementales, entonces f + g, f − g, f · g, f g (g 6 ≡ 0 ) y f ◦ g son elementales.
Proposición: Sean f , g y h funciones tales que h es elemental y
f = h −
g, entonces
f es elemental si y sólo si
g lo es.
Observación: Lo anterior se sigue de que, si
g es elemental, entonces
f es la resta de dos funciones elementales, por lo tanto es elemental. Y si
g no es elemental, entonces
f tampoco lo es, pues si lo fuera
g = h −
f sería la resta de dos funciones elementales por lo que tendría que ser elemental, llevando a una contradicción.
Observación: Dado lo anterior, la técnica de integración por partes será de gran utilidad para saber si una integral es elemental o no a partir de otra conocida.
Teorema (función inversa): Sea f (x) elemental e invertible y f −^1 (y) su inversa.
f (x) dx es elemental si y sólo si
f −^1 (y) dy es elemental.
Teorema de Liouville: Una función algebraica f es elemental si y sólo si existen funciones alge- braicas u 0 , u 1 , u 2 ,... , u n y constantes c 1 , c 2 ,... , c n tales que
f = u′ 0 +
∑^ n
k =
c k
u′ k u k
Observación: En el teorema anterior es claro que
f = u 0 +
∑^ n
k =
c k ln u k = u 0 + ln
∏^ n
k =
u kck^.
Teorema de la integral binomia de Chevyshev: La integral
x m (b + ax n ) p^ dx con a, b ∈ R, m, n, p ∈ Q y a, b, n 6 = 0, es elemental si y sólo si al menos uno de los tres números p, m n +1 , m +1 n + p es entero.
Ejemplo: La integral
x^3
x^2 + 1 dx es elemental pues m n +1 = 2.
Ejemplo: La función 3
x x^2 +1 no tiene integral elemental pues^ m^ =^
1 3 ,^ n^ = 2^ y^ p^ =^ −^
1
Ejemplo: La integral
sen x dx no es elemental pues haciendo u = sen x la integral se transforma
en
u (^1) / 2 (1 − u^2 ) − (^1) / 2 du, que no es elemental.
Teorema del álgebra diferencial de Liouville: Sean f (x) y g(x) cociente de polinomios y g no constante,
f (x)e g ( x )dx es elemental si y sólo si existe una función R(x) cociente de polinomios tal que f (x) = R′(x) + R(x) g′(x).
Observación: El teorema anterior implica, de hecho, que
f (x)e g ( x )dx = R(x)e g ( x )^ + c.
Ejemplo:
e x 2 dx no es elemental. En el teorema anterior, si f (x) = 1 y g(x) = x^2 , no es difícil
comprobar que no existen P (x) y Q(x) polinomios sin factores comunes tales que R(x) = P Q^ (( xx )) y
1 = R′(x) + 2x R(x).
Teorema de Liouville-Hardy: Si f (x) es un cociente de polinomios,
f (x) ln x dx es elemental si y sólo si existe una función R(x) cociente de polinomios y una constante k tal que f (x) = k x +R′(x).
Observación: El teorema anterior implica que
f (x) ln x dx = k 2 ln^2 x + R(x) ln x −
∫ (^) R ( x ) x dx, donde la última integral, al resultar ser un cociente de polinomios, se resuelve mediante el algoritmo de Bernoulli.
Ejemplo:
∫ (^) ln x x^2 dx^ no es elemental. En el teorema anterior, si^ f^ (x) =^
1 x^2 , no es difícil comprobar que no existen P (x) y Q(x) polinomios sin factores comunes tales que R(x) = P Q^ (( xx )) y (^) x^12 = (^) xk + R′(x).
5. Alternativas de solución
Si una función f (x) es integrable, pero no en términos elementales, por el teorema fundamental del cálculo siempre se puede afirmar que ∫ f (x) dx = F (x) + c donde F (x) =
∫ (^) x
a
f (u) du
para cualquier valor a en el dominio donde f es integrable. Aunque correcta, esta solución es poco satisfactoria por la posible dificultad de resolver la integral definida para cualquier valor de x requerido.
5.1. Expansión mediante series de Taylor
En algunos casos, es posible encontrar una expresión para la evaluación de integrales no elementales, a través de su serie de Taylor, cuando ésta existe.
Serie de Taylor: Sea f (x) una función infinitamente diferenciable y a un punto del dominio de f , la serie de Taylor de f centrada en a se define por
∑^ ∞
n =
f ( n )(a) n!
(x − a) n
y es igual a f (x) si la serie converge.
En el caso particular de que a = 0, la serie se conoce como serie de MacLaurin.
Observación: Por medio de la serie de Taylor es posible aproximar el valor de la función tanto como se desee. De hecho, gracias al residuo de Taylor , es posible calcular qué tan buena es la aproximación o cuántos términos son necesarios para alcanzar una precisión deseada.
Observación: La serie de Taylor tiene la propiedad de que la derivación y la integración puede hacerse término a término.
Ejemplo: Expresemos
e x
2 dx, que no es elemental, mediante su serie de Taylor. La n-ésima derivada de f (y) = e y^ está dada por f ( n )(y) = e y , por lo que f ( n )(0) = 1, así la serie de Taylor de e y^ centrada en cero es:
f (y) =
∑^ ∞
n =
f ( n )(0) n!
(y − 0) n^ =
∑^ ∞
n =
y n n!
evaluada en y = x^2 :
e x
2 = f (x^2 ) =
∑^ ∞
n =
x^2 n n!
de donde: (^) ∫
e x
2 dx =
n =
x^2 n n!
dx =
∑^ ∞
n =
x^2 n n!
dx =
∑^ ∞
n =
x^2 n + n!(2n + 1)
5.2. Integrales no elementales notables
Algunas integrales no elementales han sido definidas por su relevancia en algunos ámbitos de la matemática. A continuación se presentan las más notables, con sus respectivos desarrollos en series.
Función error: erf(x) =
π
∫ (^) x
0
e− t
2 dt =
π
∑^ ∞
n =
(−1) n x^2 n + n!(2n + 1)
Integral exponencial: Ei(x) =
∫ (^) x
−∞
e t t dt = γ + ln x +
∑^ ∞
n =
x n n! n (x > 0 )
Integral logarítmica: li(x) =
∫ (^) x
0
dt ln t
= Ei(ln x) = γ + ln(ln x) +
∑^ ∞
n =
ln n^ x n! n
