INTEGRALES( SUPERFICE Y VOLUMEN ), Diapositivas de Cálculo

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Ecuaciones Diferenciales

Parciales

Gabriel López Garza

y

Fco. Hugo Martínez Ortiz

Universidad Autónoma Metropolitana

Campus Iztapalapa

El templete de este libro es una modificación del templete que puede encontrarse en: http://www.LaTeXTemplates.com cuyo autor original es Mathias Legrand Licencia: CC BY- NC-SA 3.0 (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/)

El presente libro fue escrito estrictamente para propósitos educativos, sin intereses de lucro ni comerciales algunos. Copyright c© 2013 Gabriel López

Primera edición del Preprint, 2013

II

el capítulo 6 sobre el método de separación de variables sin haber leído el capítulo de las ecuaciones de calor, de Laplace y de onda. El libro cumple completamente el programa de varias universidades, entre ellas el de la UAMI, pero contiene además algunos temas comple- mentarios, por ejemplo el capítulo dedicado al problema de Sturm-Liouville, o bien como ya se dijo, el capítulo de ecuaciones de primer orden. Creemos que dar la posibilidad de tener un panorama más completo de las ecuaciones diferenciales de ninguna manera puede ir en detrimento del estudiante. La mayor dificultad para lograr un buen desempeño en este tipo de cursos es la cantidad de conocimientos previos requeridos: cálculo de varias variables, ecuaciones diferenciales ordinarias, álgebra lineal. Sin estos conocimientos es imposible tener un mínimo avance en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales. Al final del libro se incluyen apéndices con un repaso en algunos temas esenciales de ecuaciones diferenciales ordinarias y del Cálculo. Este libro no hubiera sido escrito sin la colaboración y conocimientos de Francisco Hugo Martínez Ortiz a quien agradezco profundamente su buen ánimo y paciencia. Gabriel López Garza.

¿Qué es una edp? Clasificación de las ecuación lineales Forma canónica de las ecuaciones lineales Forma canónica de las ecuaciones hiperbólicas Forma canónica de las ecuaciones parabólicas Forma canónica de las ecuaciones elípticas Resumen de las formas canónicas edp con más de dos variables Problemas y ejercicios del Capítulo 1

1 Introducción

1.1 ¿Qué es una edp?

Una ecuación diferencial en derivadas parciales (edp), puede describirse como una relación donde aparece una función incógnita u junto con al menos una derivada parcial. Dado que en una edp deben aparecer derivadas parciales se sobreentiende que u depende de al menos dos variables independientes. En general, una edp es una relación de la forma

G(x 1 , x 2 ,... , xn, u, ux 1 ,... , uxn ,... , uxm 1 1 x

m 2 2 ...x

mk n ) =^0 ,^ (1.1)

donde m 1 + · · · + mk < ∞, es decir, en la relación aparecen un número finito de deriva- das parciales con respecto a cualquiera de las variables x 1 ,... , xn de una función incógnita u = u(x 1 , x 2 ,... , xn). En este libro utilizaremos t, x, y, z, η, ξ , x 1 , x 2 ,... , xn para denotar las variables independientes, la variable t estará asociada con el tiempo, mientras que las variables, x, y, z, η, ξ o bien x 1 , x 2 ,... , xn estarán asociadas con dimensiones espaciales. Las derivadas parciales de u se denotan en general como uxmi =

∂ mu ∂ xmi

. En este libro usaremos indistintamente

las notaciones uxx =

∂ 2 u ∂ x^2

y uηξ =

∂ 2 u ∂ η∂ ξ

Por supuesto, el número de variables de una ecuación diferencial parcial (1.1), se define como el número de variables de la función incógnita u.  Ejemplo 1.1 A continuación se presentan una serie de ecuaciones importantes: i) La ecuación de calor: ut − uxx = 0. ii) La ecuación de la barra: ut + uxxx = 0. iii) La ecuación de las funciones p−armónicas: div(‖∇u‖p−^2 ∇u) = 0 , donde 1 < p < ∞, ∇u = (ux, uy, uz) y ‖∇u‖ =

u^2 x + u^2 y + u^2 z. iv) La ecuación de Burgers: ut + uux = 0.

1.2 Clasificación de las ecuación lineales 3

 Ejemplo 1.3 Con la ecuación,

∂ u ∂t

∂ 2 u ∂ x^2

= cos x, se asocia el operador L[u] =

∂ u ∂t

∂ 2 u ∂ x^2



 Ejemplo 1.4 Con la ecuación de Laplace,

∂ 2 u ∂ x^2

∂ 2 u ∂ y^2

∂ 2 u ∂ z^2

= 0 , se asocia el operador

L[u] =

∂ 2 u ∂ x^2

∂ 2 u ∂ y^2

∂ 2 u ∂ z^2

 Ejemplo 1.5 La ecuación de Burgers ut + uux = 0 tiene asociado el operador no lineal L[u] = ut + uux. 

Es decir, en forma análoga a las ecuaciones diferenciales ordinarias, las ecuaciones en derivadas parciales, se dicen lineales, si el operador asociado es lineal.

Ejercicio 1.2 Verifique que las ecuaciones

∂ u ∂t

∂ 2 u ∂ x^2

= cos x, y

∂ 2 u ∂ x^2

∂ 2 u ∂ y^2

∂ 2 u ∂ z^2

son lineales y que la ecuación ut + uux = 0 , (como ya se mencionó) no es lineal. 

1.2 Clasificación de las ecuaciones lineales de segundo orden en

dos variables con coeficientes constantes

En general, las ecuaciones lineales de segundo orden en dos variables tienen la forma:

Auxx + Buxy +Cuyy + Dux + Euy + Fu + G = 0 (1.2) donde los coeficientes A, B,C, D, E, F, G son funciones reales definidas en una región Ω ⊂ R^2 y A^2 + B^2 + C^2 > 0 (claramente, la condición anterior garantiza que al menos uno de los coeficientes A, B, C sea distinto de cero). Si los coeficientes son constantes reales, con la posible excepción de G, a la ecuación (1.2) se le llama ecuación en derivadas parciales, lineal, de segundo orden con coeficientes constantes. En esta sección nos restringiremos a este caso. Es necesario hacer notar el parecido de la ecuación (1.2) con la ecuación general de las cónicas en el espacio R^2 :

Ax^2 + Bxy +Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 , (1.3)

con A, B,C, D, E, F ∈ R, y A^2 + B^2 +C^2 > 0. Como es sabido, (ver por ejemplo [ 22 ]) mediante un cambio de coordenadas apropiado el discriminante B^2 − 4 AC permanece invariante respecto al signo y la ecuación (1.3) puede simplificarse, es decir, se tiene una propiedad intrínseca de la ecuación, la cual permite una clasificación de las cónicas de acuerdo al signo de B^2 − 4 AC. Para la ecuación (1.2) ocurre algo similar a la ecuación (1.3) lo que permitirá clasificar las ecuaciones en derivadas parciales, lineales, de segundo orden en dos variables. Pero antes de establecer esta clasificación se requiere de la definición y lema siguientes:

4 Introducción

Definición 1.2 Se define el discriminante (o indicador) I de la ecuación en derivadas parciales (1.2) como I = B^2 − 4 AC.

Lema 1.1 Considere el cambio de coordenadas dado por

ξ = a 11 x + a 12 y η = a 21 x + a 22 y

con

a 11 a 12 a 21 a 22

∣ 6 =^0 ,^ (1.4)

con a 11 , a 12 , a 21 , a 22 ∈ R. Si A′uξ ξ + B′uξ η +C′uηη + D′uξ + E′uη + F′u + G′^ = 0 , es la ecuación transformada bajo el cambio de coordenadas (1.4) entonces sgn (B^2 − 4 AC) = sgn (B′^2 − 4 A′C′), es decir, el signo del discriminante I es invariante bajo el cambio de coordenadas.

Demostración: Dado el cambio de coordenadas (1.4) obtenemos ξx = a 11 , ξy = a 12 , ηx = a 21 , ηy = a 22 , de donde, mediante la regla de la cadena:

ux = uξ a 11 + uη a 21 , uy = uξ a 12 + uη a 22 , uxx = uξ ξ a^211 + 2 uξ η a 11 a 21 + uηη a^221 , uxy = uξ ξ a 11 a 12 + uξ η (a 11 a 22 + a 12 a 21 ) + uηη a 21 a 22 , uyy = uξ ξ a^212 + 2 uξ η a 12 a 22 + uηη a^222.

Sustituyendo (1.5) en (1.2) obtenemos:

A′uξ ξ + B′uξ η +C′uηη + F = 0 (1.6)

donde A′^ = Aa^211 + Ba 11 a 12 +Ca^212 , B′^ = 2 Aa 11 a 21 + B(a 11 a 22 + a 21 a 12 ) + 2 Ca 12 a 22 , C′^ = Aa^221 + Ba 21 a 22 +Ca^222 ,

y F sólo depende a lo más de las primeras derivadas parciales de u. Por medio de un cálculo directo se tiene

B′^2 − 4 A′C′^ = B^2 ((a 11 a 22 + a 21 a 12 )^2 − 4 a 11 a 22 a 21 a 12 ) − 4 AC((a 11 a 22 )^2 + (a 21 a 12 )^2 − 2 a 11 a 22 a 21 a 12 ) = (B^2 − 4 AC)(a 11 a 22 − a 21 a 12 )^2

de donde se sigue que sgn (B^2 − 4 AC) = sgn (B′^2 − 4 A′C′), dada la hipótesis ∣ ∣ ∣ ∣

a 11 a 12 a 21 a 22

∣ 6 =^0 ,

como se quería demostrar. 

6 Introducción

que A′^ = C′^ = 0 y B′^6 = 0. Supóngase que A 6 = 0. Si en (1.7) se fuerza A′^ = Aa^211 + Ba 11 a 12 +

Ca^212 = 0 y sucede que a 12 = 0 se tiene a 11 = 0 , pero entonces se contradice

a 11 a 12 a 21 a 22

∣ 6 =^0 ,

por lo tanto, a 12 6 = 0. Similarmente si se fuerza C′^ = 0 , en (1.7) y a 22 = 0 , se tiene a 21 = 0. Lo que también contradice que el determinante sea distinto de cero. Por lo tanto a 12 6 = 0 y a 22 6 = 0. Así A′^ = 0 ó C′^ = 0 , en (1.7) se pueden escribir como

Aφ 2 + Bφ +C = 0 ,

donde φ =

a 11 a 12

ó φ =

a 21 a 22

. Por lo que en cualquiera de los dos casos

φ =

−B ±

B^2 − 4 AC

2 A

Puesto que B^2 − 4 AC > 0 , el razonamiento anterior nos lleva a definir nuevas coordenadas (ξ , η) como: ξ = −(B +

B^2 − 4 AC)x + 2 Ay η = −(B −

B^2 − 4 AC)x + 2 Ay.

Observe que la condición

a 11 a 12 a 21 a 22

∣ 6 =^ 0 se cumple, dado que ∣ ∣ ∣ ∣

a 11 a 12 a 21 a 22

−(B +

B^2 − 4 AC) 2 A

−(B −

B^2 − 4 AC) 2 A

∣ =^ −^4 A

B^2 − 4 AC 6 = 0.

Además, sustituyendo en B′^ de la ecuación (1.7) con

a 11 = −B −

B^2 − 4 AC, a 12 = 2 A, a 21 = −B +

B^2 − 4 AC, a 22 = 2 A,

se tiene B′^ = − 4 A(B^2 − 4 AC) 6 = 0. En las nuevas coordenadas (ξ , η) la ecuación (1.2) adopta la forma

B′uξ η + F = 0. (1.9)

Dado que B′^6 = 0 dividiendo la ecuación (1.9) por B′^ y definiendo G = F/B′, se obtiene la forma canónica de la ecuación hiperbólica :

uξ η = G. (1.10)

Donde, como se ha mencionado, F depende a lo más de las derivadas parciales de primer orden de u y de igual forma G. Introduciendo el nuevo cambio de variables:

ξ ′^ =

ξ + η 2

, η′^ =

ξ − η 2

1.3 Forma canónica de las ecuaciones lineales 7

Se obtiene otra forma canónica de las ecuaciones hiperbólicas:

uξ ′ξ ′ − uη′η′ = F′. (1.11)

Se debe hace notar que la suposición A 6 = 0 no limita la generalidad de la discusión ya que si A = 0 , pero C 6 = 0 una discusión similar a la del caso A 6 = 0 conduce a la misma forma canónica (1.10). Finalmente si A = C = 0 entonces la ecuación (1.2) toma la forma Buxy + Dux + Euy + Fu + G = 0 la cual trivialmente puede llevarse a la forma canónica ya que por hipótesis B 6 = 0.  Ejemplo 1.9 Muestre que la ecuación diferencial parcial

uxx − 3 uxy − 10 uyy = 0

es hiperbólica y encuentre la forma canónica (1.10) de la ecuación. Solución: En este caso A = 1 , B = − 3 , C = − 10 así que B^2 − 4 AC = 49 > 0 , por lo tanto la ecuación es hiperbólica. Por medio de las ecuaciones (1.8) se encuentran las nuevas coordenadas: ξ = − 4 x + 2 y η = 10 x + 2 y Entonces las ecuaciones dadas por (1.5) son

uxx = 16 uξ ξ − 80 uξ η + 100 uηη , uxy = − 8 uξ ξ + 2 uξ η + 20 uηη , uyy = 4 uξ ξ + 8 uξ η + 4 uηη.

Sustituyendo éstas en la ecuación se obtiene:

− 166 uξ η = 0 o uξ η = 0 ,

la cual es la forma canónica de la ecuación. 

1.3.2 Forma canónica de las ecuaciones parabólicas

Para las ecuaciones de tipo parabólico se cumple I = 0. Supóngase que A 6 = 0 , la ecuación (1.2) puede simplificarse usando (1.8) lo cual lleva al cambio de variables:

ξ = −Bx + 2 Ay η = x,

donde η se ha elegido de manera que ∣ ∣ ∣ ∣

a 11 a 12 a 21 a 22

−B 2 A

∣ =^ −^2 A^6 =^0.

Sustituyendo en (1.7) los valores de a 11 = −B, a 12 = 2 A, a 21 = 1 , a 22 = 0 se tiene

A′^ = 0 , B′^ = 0 , C′^ = A. (1.13)

1.4 Resumen de las formas canónicas 9

I = B^2 − 4 AC Tipo Forma canónica

I > 0 hiperbólica uξ η = F′(uξ , uη , η, ξ ) ó uξ ξ − uηη = F′

I = 0 parabólica uηη = G′(uξ , uη , η, ξ )

I < 0 elíptica uξ ξ + uηη = H′(uξ , uη , η, ξ )

Cuadro 1.1: Formas Canónicas.

las cuales constituyen un cambio de coordenadas apropiado, como lo muestra el siguiente cálculo ∣ ∣ ∣ ∣

a 11 a 12 a 21 a 22

−B 2 A

4 AC − B^2

= − 2 A

4 AC − B^2 6 = 0.

Sustituyendo los coeficientes de las ecuaciones (1.17) en la ecuación (1.7) se tiene que A′^ = C′^ = A( 4 AC − B^2 ), B′^ = 0. (1.18) de donde al dividir la ecuación (1.6) por A( 4 AC − B^2 ) se obtiene la forma canónica de las ecuaciones elípticas: uξ ′ξ ′ + uη′η′ = F′, (1.19)

donde F′^ contiene a lo más, derivadas parciales de orden uno.  Ejemplo 1.11 Clasifique la ecuación 17 uxx + uxy + uyy = 0 y redúzcala a la forma canónica (1.19). Solución. Dado que A = 17 , B = C = 1 tenemos B^2 − 4 AC = −67 por lo tanto la ecuación es elíptica. Por medio de la transformación (1.17) se tiene que la forma canónica es uξ ξ +uηη = 0. 

1.4 Resumen de las formas canónicas

Dada la ecuación en derivadas parciales, lineal, de segundo orden, en dos variables, con coeficientes constantes Auxx + Buxy +Cuyy + Dux + Euy + Fu + G = 0 , se han establecido los resultados del cuadro 1.1:

N El análisis en este capítulo es meramente introductorio. Las formas canónicas de las ecuaciones lineales pueden estudiarse con mayor profundidad mediante el análisis de las curvas características, las cuales se introducen en este texto en el capítulo dedicado a las ecuaciones de primer orden. No se recomienda memorizar las fórmulas de este capítulo

10 Introducción

1.5 Clasificación de ecuaciones lineales de segundo orden con más

de dos variables

Una edp lineal de segundo orden en N variables es una ecuación que se puede expresar en la forma L[u] =

N ∑ i, j= 1

ai juxix (^) j +

N ∑ i= 1

biuxi + cu = d, (1.20)

donde ai j, bi, c y d son funciones reales de las variables x 1 ,... , xN. En esta sección se estudia la clasificación de la ecuación (1.20) en caso de coeficientes constantes, es decir, ai j, bi y c números reales. La propiedad que se usará para clasificar la ecuación (1.20) es una que se reduce a la invariabilidad del signo del discriminante I para la ecuación (1.2). Para motivar esta propiedad se requiere del concepto de forma cuadrática real

Definición 1.4 Una forma cuadrática real en N variables, es una función

H : RN^ → R, (x 1 ,... , xN ) 7 →

N ∑ i, j= 1

ai jxix (^) j (1.21)

con ai j ∈ R.

A toda matriz simétrica, es decir, toda matriz A que satisface A = At^ , donde At^ es la transpuesta de A, le corresponde una forma cuadrática y recíprocamente, a toda forma cuadrática se le puede asociar una matriz simétrica. En lo sucesivo supondremos que este será el caso. Por ejemplo, a la forma cuadrática H(x, y) = Ax^2 + Bxy +Cy^2 le corresponde la matriz simétrica

M =

A 12 B

1 2 B^ C

observe que

H(x, y) = (x, y)

A 12 B

1 2 B^ C

x y

Ahora con la parte principal Auxx + Buxy +Cuyy de la ecuación (1.2) se le asociará la forma cuadrática Ax^2 + Bxy +Cy^2 y la matriz asociada de esta forma cuadrática es la correspondiente a la parte principal de la ecuación (1.2). Así M es la matriz simétrica de la parte principal Auxx + Buxy +Cuyy de la ecuación (1.2). Sean λ 1 , λ 2 los valores propios de M, es decir, λ 1 , λ 2 son raíces de la ecuación det(λ I − M) = λ 2 − (A +C)λ − (B^2 − 4 AC)/ 4 = 0. Se deja como ejercicio verificar que λ 1 y λ 2 son números reales y que λ 1 λ 2 = −(B^2 − 4 AC)/ 4 = −I/ 4. De donde, I > 0 ⇔ λ 1 y λ 2 son distintos de cero y tienen signos opuestos. I = 0 ⇔ al menos uno de los λi, i = 1 , 2 , es cero. I < 0 ⇔ λ 1 y λ 2 son distintos de cero y tienen el mismo signo. De esta manera el signo de I se puede caracterizar por el signo de los valores propios de M.

12 Introducción

F′(uξ , uη , η, ξ ), es decir,

A 2 =

Finalmente, sea A 3 la matriz asociada con la forma canónica de las ecuaciones elípticas uξ ξ + uηη = F′(uξ , uη , η, ξ ), es decir,

A 3 =

Si calculamos los polinomios característicos de las matrices A 1 , A 2 , A 3 y los llamamos p 1 , p 2 , p 3 de manera correspondiente, obtenemos

p 1 (λ ) = det(λ I − A 1 ) = λ 2 − 1 / 4 , (1.23) p 2 (λ ) = det(λ I − A 2 ) = λ 2 − λ , (1.24) p 3 (λ ) = det(λ I − A 3 ) = (λ − 1 )^2. (1.25)

De esta forma, la ecuación p 1 (λ ) = 0 tiene dos soluciones (valores propios) con signo distinto λ = ± 1 / 2 , la ecuación p 2 (λ ) = 0 tiene las soluciones λ = 0 , λ = 1 y la ecuación p 3 (λ ) = 0 tiene una raíz doble λ = 1. 

 Ejemplo 1.13 La forma general de la ecuación en derivadas parciales lineal de segundo orden en tres variables es

Auxx + Buxy +Cuxz + Duyz + Euyy + Fuzz + G(x, y, z, u, ux, uy, uz) = 0

la cual tiene asociada la forma cuadrática:

H(x, y, z) = (x, y, z)

A 12 B 12 C

1 2 B^ E^

1 2 D 1 2 C^

1 2 D^ F

x y z

En particular, la ecuación de Laplace ∆u = uxx + uyy + uzz = 0 tiene asociada la forma cuadrá- tica:

H(x, y, z) = (x, y, z)

x y z

Así, el polinomio característico (1.22) correspondiente es (λ − 1 )^3 = 0 por lo que el operador de Laplace es elíptico. Para la ecuación Lu = uxx + uyy − uzz = 0 se tiene la forma cuadrática:

H(x, y, z) = (x, y, z)

x y z

por lo que la ecuación (1.22) es (λ − 1 )^2 (λ + 1 ) = 0 , y por lo tanto L es hiperbólico. 

1.5 edp con más de dos variables 13

N Los coeficientes en las formas cuadráticas pueden ser variables y los resultados de esta sección se aplican de manera puntual, sin embargo, los valores propios de la matriz asociada dependen también de las variables independientes por lo que un operador puede ser elíptico, hiperbólico o parabólico en la región donde se está considerando la ecuación.

1.6 Problemas y ejercicios del Capítulo 1 15

7. Compruebe que si se substituyen a 11 = −B, a 12 = 2 A, a 21 = 1 , a 22 = 0 en

A′^ = Aa^211 + Ba 11 a 12 +Ca^212 , B′^ = 2 Aa 11 a 21 + B(a 11 a 22 + a 21 a 12 ) + 2 Ca 12 a 22 , C′^ = Aa^221 + Ba 21 a 22 +Ca^222 ,

se obtiene A′^ = 0 , B′^ = 0 , C′^ = A.

8. Determine la forma canónica de las siguientes ecuaciones: a) uxx − 2 uxy + uyy + 9 ux + 9 uy − 9 u = 0. b) 2uxx + 3 uxy + uyy + 7 ux + 4 uy − 2 u = 0. c) uxx + uxy − 2 uyy − 3 ux − 15 uy + 27 x = 0. d) 9uxx − 6 uxy + uyy + 10 ux − 15 uy − 50 u + x − 2 y = 0. e) uxx + 4 uxy + 10 uyy − 24 ux + 42 uy − 2 (x + y) = 0. f ) uxx + 4 uxy + 13 uyy + 3 ux + 24 uy − 9 u + 9 (x + y) = 0. Solución: a), uηη + 18 uξ + 9 uη − 9 u = 0; b), uξ η + 3 uξ − uη + 2 u = 0; c), uξ η + uξ − 2 uη + ξ + η = 0; d), 27 uηη − 105 uξ + 30 uη − 150 u − 2 ξ + 5 η = 0; e), uξ ξ + uηη + 15 uξ − 4

6 uη + 1 / 3 ξ + 1 /

6 η = 0; f ), uξ ξ + uηη − 2 uξ + uη − u − ξ + η = 0;

9. Compruebe que si se sustituyen

a 11 = B, a 12 = 2 A, a 21 = 4 AC − B^2 , a 22 = 0 ,

en A′^ = Aa^211 + Ba 11 a 12 +Ca^212 , B′^ = 2 Aa 11 a 21 + B(a 11 a 22 + a 21 a 12 ) + 2 Ca 12 a 22 , C′^ = Aa^221 + Ba 21 a 22 +Ca^222 ,

se obtiene A′^ = C′^ = A( 4 AC − B^2 ), B′^ = 0.

10. Lleve las siguientes ecuaciones a la forma canónica a) uxx + 2 uyy + u = 0. b) uxx + 2 uxy + 5 uyy − 32 u = 0. Nota. Los problemas 1, 2, 3, 4, 8 fueron tomados del libro de problemas de editorial Mir [ 4 ], el cual ya no se edita.