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Este documento pertenece a la ampliación de matemáticas de la upc y trata sobre los temas 2.1 a 2.5 de integrales de línea y el teorema de green. Se explican conceptos como corbas parametrizadas, integrales de línea de campes escalares y vectoriales, teorema de green y camps conservativos.
Tipo: Apuntes
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Lali Barri`ere
Departament de Matem`atiques - UPC
Enginyeria de Sistemes Aeroespacials
Enginyeria d’Aeroports
Enginyeria d’Aeronavegaci´o
Continguts
2.1 Corbes parametritzades
2.2 Integrals de l´ınia de camps escalars
2.3 Integrals de l´ınia de camps vectorials
2.4 Teorema de Green
2.5 Camps conservatius
2.1 Corbes parametritzades
Observacions
I (^) La gr`afica d’un cam´ı injectiu ´es una corba, C = σ([a, b]).
I (^) Diferents parametritzacions poden donar lloc a la mateixa corba.
I (^) L’orientaci´o del cam´ı σ ´es el sentit de recorregut de la corba C per σ.
Treballem amb camins C
1 ( o C
1 a trossos).
Derivada d’un cam´ı i longitud d’una corba
I (^) σ : R → R
n ⇒ σ
′ (t) = (σ
′
1
(t),... , σ
′
n
(t))
I (^) La longitud de la corba C = σ([a, b]) ´es, si σ ´es injectiu:
b
a
||σ
′ (t)||dt
Cas particular: σ(x) = (x, f (x)) ⇒ `(C) =
b
a
1 + (f
′ (x))
2 dx
I (^) σ posici´o, σ
′ velocitat, ||σ
′ (t)|| m`odul de la velocitat
2.2 Integrals de l´ınia de camps escalars
Definici´o
Si σ : [a, b] → R
n ´es un cam´ı C
1 , i f : R
n → R ´es un camp escalar, tals
que f ◦ σ ´es cont´ınua en [a, b], la integral de f sobre σ ´es:
σ
f ds =
b
a
f (σ(t))||σ
′ (t)||dt
Si C = σ([a, b]), es pot dir integral de f sobre C:
C
f ds =
σ
f ds.
Observaci´o Si f = 1, la integral de l´ınia sobre una corba ´es la longitud de
la corba.
La integral de l´ınia d’un camp escalar NO dep`en de la parametritzaci´o de
la corba.
2.3 Integrals de l´ınia de camps vectorials
Relaci´o entre la integral de l´ınia de camps vectorials i camps escalars
n → R
n camp vectorial.
Definim f : R
n → R sobre el cam´ı σ : [a, b] → R
n com:
f (σ(t)) =
F (σ(t)) ·
σ
′ (t)
||σ
′ (t)||
Aleshores:
F (σ(t)) ·
σ
′ (t)
||σ
′ (t)||
||σ
′
(t)|| =
F (σ(t)) · σ
′
(t)
i, per tant: ∫
σ
f ds =
σ
F · d~s
La integral de l´ınia d’un camp vectorial ´es la integral de l´ınia del camp
escalar obtingut en projectar sobre el vector tangent.
2.3 Integrals de l´ınia de camps vectorials
Si σ : [a, b] → R
n ´es un cam´ı C
1 , i f : R
n → R ´es un camp escalar C
1
aleshores: (^) ∫
σ
∇f · d~s = f (σ(b)) − f (σ(a))
Recordem El gradient de f ´es el vector de derivades parcials.
En el cas d’un camp a R
2 :
∇f (x, y) =
∂f
∂x
(x, y),
∂f
∂y
(x, y)
2.4 Teorema de Green
Si:
I (^) C ´es una corba tancada, simple i C
1 a trossos,
I (^) D ´es la regi´o del pla interior a la corba C,
I
F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) ´es un camp vectorial C
1 .
Aleshores:
C
P dx + Q dy =
D
∂x
∂y
dx dy
El teorema de Green es pot fer servir per calcular una integral de l´ınia
mitjan¸cant una integral doble o b´e, inversament, per calcular una integral
doble mitjan¸cant una integral de l´ınia.
2.4 Teorema de Green
I
Area(D) =
D
dx dy =
C
x dy − y dx = −
C
y dx =
C
x dy
I (^) Si existeixen dues funcions P (x, y) i Q(x, y) tals que
f (x, y) =
∂x
(x, y) −
∂y
(x, y)
llavors es pot utilitzar el teorema de Green per calcular
D
f (x, y)dx dy
2.5 Camps conservatius
El teorema de Green tamb´e ´es v`alid sobre regions amb forats, si s’orienten
b´e les vores.
C 1
C 2
D
Es a dir, si
C
1
F · d~s +
C
−
2
F · d~s =
D
∂x
∂y
dx dy
