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Temas relacionados con teoremas integrales de la matemática, incluyendo conceptos de gradient, divergencia, rotacional y laplaciana, teorema de stokes, campos conservativos y teorema de la divergencia de gauss. El documento también discute el significado físico de estos conceptos.
Tipo: Apuntes
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Lali Barri`ere
Departament de Matem`atiques - UPC
Enginyeria de Sistemes Aeroespacials
Enginyeria d’Aeroports
Enginyeria d’Aeronavegaci´o
Continguts
4.1 Gradient, divergencia, rotacional i laplacia
4.2 Teorema de Stokes
4.3 Camps conservatius a R
3
4.4 Teorema de la diverg`encia de Gauss
4.5 Camps soleno¨ıdals
4.1 Gradient, divergencia, rotacional i laplacia
F ´es
rot
∂x
∂y
∂z
× (f 1
, f 2
, f 3
i j k
∂x
∂y
∂z
f 1 f 2 f 3
∂f 3
∂y
∂f 2
∂z
∂f 1
∂z
∂f 3
∂x
∂f 2
∂x
∂f 1
∂y
Observaci´o: rot
F ´es un camp vectorial.
Si rot
F = 0 diem que
F ´es irrotacional.
2 , el laplaci`a de f ´es:
∆ f = ∇
2
f = div(grad f ) =
2 f
∂x
2
2 f
∂y
2
2 f
∂z
2
4.1 Gradient, divergencia, rotacional i laplacia
I (^) f : R
3 → R camp escalar C
2 =⇒ rot (grad f ) = ∇ × (∇ f ) = 0
3 → R
3 camp vectorial C
2 =⇒ div (rot
F ) = ∇(∇ × f ) = 0
4.2 Teorema de Stokes
Teorema de Green
F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)), C corba tancada simple i
D la regi´o del pla interior a C. Aleshores:
C
F · d~s =
D
∂x
∂y
dxdy
Si apliquem el teorema de Stokes amb:
I (^) Camp vectorial:
G(x, y, z) = (P (x, y), Q(x, y), 0)
I Superf´ıcie: S = {(x, y, z) ∈ R
3 | (x, y) ∈ D, z = 0}
Obtenim el teorema de Green:
C
G · d~s =
S
G · d
D
∂x
∂y
· (0, 0 , 1) dx dy =
D
∂x
∂y
dx dy
4.3 Camps conservatius a R
3
3
F camp vectorial C
1 a D ⊂ R
3
. Les tres condicions seg¨uents s´on
equivalents:
C
F · d~s = 0, per a tota corba tancada C.
C 1
F · d~s =
C 2
F · d~s, on C 1
i C 2
tenen els mateixos extrems.
2 , anomenat potencial, tal que:
F = ∇f.
Quan es compleix qualsevol d’aquestes tres condicions diem que
F ´es un
camp conservatiu.
Si
F ´es un camp conservatiu, aleshores:
rot
4.3 Camps conservatius a R
3
3
Un conjunt A ⊂ R
3 ´es simplement connex si tota corba tancada de A ´es la
vora d’una superf´ıcie S, que est`a tota ella tamb´e inclosa a A.
Exemples
I R
3 menys un nombre finit de punts ´es simplement connex.
3 menys una recta NO ´es simplement connex.
I R
3 menys una esfera ´es simplement connex.
3 menys una bola ´es simplement connex.
Un conjunt A ⊆ R
3 ´es simplement connex si tota corba tancada
continguda en A es pot deformar de manera cont´ınua fins a convertir-la en
un punt, sense sortir de A.
4.3 Camps conservatius a R
3
Si
F = (P, Q, R) ´es un camp conservatiu, el potencial f es calcula:
f (x, y, z) =
x
0
P (t, 0 , 0) dt +
y
0
Q(y, t, 0) dt +
z
0
R(x, y, t) dt
4.5 Camps soleno¨ıdals
Definici´o
3 → R
3 camp vectorial C
1 ´es soleno¨ıdal si existeix un camp vectorial
3 −→ R
3 tal que
Diem que
G ´es un potencial vectorial de
Propietats
I (^) Si F~ ´es soleno¨ıdal, aleshores per a tota S superf´ıcie tancada
S
F · d
I (^) Si
F ´es soleno¨ıdal, aleshores div
El rec´ıproc no sempre ´es cert, dep`en de les propietats del domini de
definici´o de
Es a dir: hi ha camps que satisfan ∇ ·
F = 0, que no s´on soleno¨ıdals.
4.5 Camps soleno¨ıdals
Definici´o
Un conjunt A ⊆ R
3 ´es estrellat si existeix un punt p ∈ A tal que per a
qualsevol altre punt q ∈ A el segment pq est`a contingut a A.
Exemples
3 | x
2
2
2 ≤ 1 } ´es un conjunt estrellat.
3 menys un punt NO ´es estrellat.
Propietat
3 ´es un conjunt estrellat.
I
3 → R
3 camp vectorial C
1 a A.
I (^) ∇ · F~ = 0 (en A).
Aleshores:
F ´es un camp soleno¨ıdal.
