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Interacción Gravitatoria
·Características
- Es universal: las masas gravitacionales son todas positivas y no les afecta ningún obstáculo material. - Es atractiva y no apantallable: las masas gravitacionales son todas positivas y no les afecta ningún obstáculo material. - Es de alcance infinito: son fuerzas que se extienden sin límite. - Es de extrema debilidad: la constante de gravitación universal es muy pequeña y hace que esta fuerza sea significativa solo para grandes masas. - Se propaga a la velocidad de la luz: se propaga a la velocidad de la luz mediante gravitones
Gravitación Universal
Toda partícula del Universo atrae a otra partícula con una fuerza que es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.
Ley de gravitación universal:
Vectorial: F = − G u (N)
r^2
M m
r
Escalar: F = − G (N)
r^2
M m
Cuando más de una partícula actúa sobre un cuerpo, se usa el principio de superposición, la suma de todas las fuerzas.
Campo
Es la modificación de las propiedades físicas del espacio que rodea a la magnitud que lo crea.
Intensidad de campo gravitatorio
Es una magnitud vectorial directamente proporcional a la masa que crea e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.
Intensidad de campo gravitatorio:
Vectorial: g = − G M u (N/kg) ó (m/s^2 )
r^2 r
Escalar: g = GM (N/kg) ó (m/s^2 )
r^2
Cuando el campo gravitatorio crea varios cuerpos, el principio de superposición permite calcular la intensidad de campo gravitatorio en un punto.
Representación de campo: líneas de campo
Son tangentes al vector intensidad de campo gravitatorio en cualquier punto del espacio. Se representan con líneas radiales que parten de la masa que crea el campo y con sentido hacia la misma. Indican la dirección y sentido. Por el principio de superposición, las líneas de campo nunca se cruzan y su número es proporcional a la intensidad de campo. Las líneas de fuerza del campo gravitatorio creado por una masa esférica convergen en el centro de la esfera. La fuerza gravitatoria que ejerce un planeta es una fuerza central y de simetría esférica. Son conservativas, el trabajo que realizan al desplazar un cuerpo entre dos puntos, es independiente a la trayectoria seguida y solo depende de las posiciones inicial y final.
Principio de conservación del momento angular Trabajamos con fuerzas centrales, cuando las direcciones de la fuerza que actúa sobre un cuerpo confluyen en un mismo punto. Cuando una fuerza respecto al punto fijo por el que pasa la dirección de la fuerza es nulo y su momento angular se mantiene invariable con el tiempo.
Las fuerzas conservativas son capaces de restituir todo el trabajo que se realiza para vencerlas, se acumula en forma de energía potencial. El trabajo realizado no depende del camino recorrido; tan solo depende de la posición inicial y final en que se encuentre el cuerpo. El trabajo realizado por o contra una fuerza conservativa a lo largo de una trayectoria cerrada es nulo, puesto que la posición inicial y final coinciden, siendo el desplazamiento nulo. La fuerza de rozamiento es una fuerza no conservativa, depende de la trayectoria seguida, se opone siempre al movimiento, su trabajo es negativo y hace que disminuya la energía del sistema.
Campo Gravitatorio Terrestre
El comportamiento físico del planeta Tierra hacia cualquier objeto exterior a la misma, nos permite considerarla como una masa esférica puntual. El campo gravitatorio para la superficie de la Tierra, es un valor constante* en todo el planeta. El vector campo gravitatorio tiene, en cualquier punto, dirección radial y sentido dirigido hacia el centro de la Tierra. *El valor de g no es constante, el movimiento de rotación terrestre influye sobre el valor de la intensidad gravitatoria
Peso. Es la fuerza con la que la Tierra atrae a cualquier objeto que se encuentre en su superficie. P = m · g El peso, es el caso particular de la fuerza de interacción gravitatoria aplicada a la superficie de un planeta (Tierra) y que provoca que cualquier objeto en sus proximidades se precipite sobre ella, aceleración de la gravedad. ★ Masa. Magnitud escalar, constante, independiente del lugar en que se encuentre el cuerpo. Indica la resistencia que un cuerpo ofrece a ser acelerado, responsable de crear una fuerza de atracción gravitatoria sobre otro cuerpo. Se mide en kg.
El carácter conservativo de la fuerza gravitatoria implica que no realiza ningún trabajo en una superficie equipotencial. El potencial es el mismo, no hay variación de energía potencial y, en consecuencia, el trabajo es nulo.
Superficie equipotencial: V (^) o = V ⇒^ W =− Δ E (^) p = mV (^) o − mV = 0
Aplicación de la Teoría de la Gravitación Universal al movimiento de satélites y planetas.
Periodo de revolución y velocidad orbital. Todo satélite que orbita un planeta está sometido a una fuerza centrípeta que lo mantiene en movimiento y es equivalente a la fuerza de atracción gravitatoria.
Relación entre la fuerza centrípeta y gravitacional:
F (^) c = m · a = m vr
2 = G M mr 2^ = F (^) g
Se obtiene de Fc = Fg , velocidad orbital: (^) v =
√ G^ r
M T
El tiempo que tarda en dar una vuelta completa se denomina periodo de rotación T
Periodo orbital: (^) T = 2π vr^ = 2π
r^3 GM
Leyes de Kepler
Primera ley: “todos los planetas se mueven en órbitas elípticas con el Sol situado en uno de sus focos.” Segunda ley: “el vector de posición de cada planeta barre áreas iguales en tiempo iguales.” Tercera ley: “el cuadrado del periodo del movimiento de un planeta es directamente proporcional al cuba de la distancia media del planeta al Sol.”
Velocidad orbital: v =
G (^) r
M T
Periodo orbital: T = 2π vr^ = 2π
r^3 GM
T r
= 4π
2 GM
3 r^3 te. T^2 =^ 4π^2
GM (^) = C M = GT^2
4π 2 r^3
Velocidad de escape: es la velocidad mínima de lanzamiento de un cohete para que pueda escapar de la atracción terrestre. A medida que el cohete se aleja de la superficie del planeta, aumenta su energía potencial a costa de su energía cinética. Se considera que un cuerpo escapa del campo gravitatorio terrestre cuando llega a una distancia infinita de la Tierra (Ep=0) con velocidad nula (Ec=0).
Em ( T ierra ) = Em ( inf inito )= 0 ⇒^ Em = Ec + Ep = 21 mv^2 − G (^) r
M (^) T m = 0
21^ mv^2 =^ G^ r
M (^) T m ⇒ (^) ve =
√ RT
2 GM (^) T
La velocidad de escape no depende de la masa del objeto, es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la distancia al centro de la Tierra (depende del punto de lanzamiento). ● Características: ○ Velocidad de lanzamiento: ■ Velocidad de escape (EM>0) el cohete llegará a su destino con cierta velocidad. ■ Velocidad de escape (EM<0) el cohete quedará ligado al campo gravitatorio.
Aspectos energéticos del movimiento de los cuerpos en un campo gravitatorio.
Energía de amarre o ligadura: energía mínima necesaria para que un cuerpo abandone la influencia del campo gravitatorio terrestre.
W = (^) − Δ Ep = (^) − [ E (^) p (∞) (^) − Ep ( T ierra )] = E (^) p ( T ierra )= (^) G (^) r
M (^) Tm
⇒ (^) Ep ( T ierra ) = 6 2, 5·10 ( 7 J kg / )
Energía mecánica de traslación de un satélite: energía mecánica que debe poseer un satélite para mantener una órbita estacionaria a una altura sobre la superficie de la Tierra. Cuando la velocidad del cuerpo es menor que la velocidad de escape, su energía será negativa y quedará ligado al campo gravitatorio describiendo una órbita circular o elíptica. Es el caso de todos los cuerpos del sistema solar. Si un satélite describe una órbita circular, la fuerza gravitatoria es, además, centrípeta.
F (^) c = F (^) g ⇒^ F (^) c = m a (^) n = m vr
2 = G M mr 2^ = F (^) g Nota a = vr
2
Energía cinética: Ec = 21 mv^2 = G M m 2 r
La energía mecánica de un satélite que se encuentra en órbita alrededor de un planeta es la suma de su energía potencial gravitatoria y energía cinética. Permanecerá constante mientras mantenga la órbita.
Energía mecánica:
Em = Ec + Ep = 21 mv^2 − G M mr^ = G 2 r
M m − G^ r
M m (^) = − G^ 2 r
M m
Depende de la energía mecánica, se pueden plantear tres órbitas diferentes:
E<0 ( Velocidad orbital<Velocidad de escape ). Las órbitas con energía negativa son cerradas (circulares o elípticas), se encuentran ligadas al campo gravitatorio del planeta. E=0 ( Velocidad orbital=Velocidad de escape). Las órbitas con energía cero son abiertas (parabólicas).
