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Unidad 3. Interacción magnética
BACHILLERATO
Física 2 Actividades de los epígrafes
Unidad 3. Interacción magnética
BACHILLERATO
Física 2 Actividades de los epígrafes
1 Fuerza magnética sobre una partícula cargada
Página 99
1 Un protón se mueve a 5 000 m/s perpendicularmente a un campo magnético de 0,6 T. Determina el módulo de la fuerza magnética que actúa sobre el protón y la aceleración que le provocará. Datos: qp = 1,6 · 10–19^ C; mp = 1,67 · 10–27^ kg. Los datos que nos proporcionan, que están expresados en el SI de unidades, son: qp = 1,6 · 10–19^ C ; mp = 1,67 · 10–27^ kg ; v = 5 000 m/s ; B = 0,6 T Según la ley de Lorentz, la fuerza magnética que actuará sobre el protón de carga qp , que se mueve a una velocidad v^8 en un campo magnético B
8 es:
F (^) m = q (^) p $ ( v # B )
8 8 8
cuyo módulo es: Fm = q (^) p $ v B sen $ $ o donde o es el ángulo que forma la velocidad con el campo magnético. Por consiguiente:
F (^) m = 1 6 10 , $ –^19 $ 5 000 0 6$ , $ sen 90 ° =4 8 10, $ –^16 N Como vemos, es una fuerza extremadamente pequeña, pero como actúa sobre un protón, cuya masa es del orden de 10–27^ kg, produce una enorme aceleración:
8 = ,
s
m F m a a (^) m
F
m p 2 9 10 p
m 27
16 11
$ $
2 Determina la expresión de la fuerza magnética, F (^) m
8 , que actúa sobre una partícula car- gada con q = –10–5^ C en un instante en el que la partícula se mueve a una velocidad v^8 = 10^4 · i
8 m/s en el seno de un campo magnético uniforme B =2 · j T
8 8 . Los datos son: v = 10 4 $ i m/s ; B = 2 $ j T ; q =– 10 –^5 C 8 8 8 8
que se encuentran expresados en el SI. Aplicamos la ley de Lorentz: F (^) m = q $ ( v^8 # B )
8 8
Estudiemos la dirección y sentido que tendrá el vector v^8^ # B
8
. Según la regla del producto vectorial, el vector v^8^ # B
8 tiene la dirección y sentido del eje Z :
X
Y
Z
B
v
v × B
Física 2 Actividades de los epígrafes
Y puesto que hay que multiplicarlo por una carga eléctrica negativa, obtenemos una fuerza magnética en el sentido contrario al eje Z :
X
Y
Z
B
v
Fm
Ahora nos queda determinar el módulo de la fuerza magnética: F (^) m = q $ v B sen $ $ o = 10 –^5 $ 10 4 $ 2 $ sen 90 ° =0 2, N
Página 100
3 Determina la fuerza magnética que actúa sobre una partícula de –5 nC al desplazarse a 2 · 10^4 m/s a lo largo del eje Z en una región en la que existe un campo B
8 = (2 · i
8
8
8 ) · 10–3^ T. Los datos del ejercicio son: q – 5 nC – 5 10 C ; v^8^ 2 10 k m/s ; B 2 i – j 5 k 10 T 9 4 8 8 8 8 8 – 3 = = $ = $ $ = `^ $ + $ j$ Determinaremos la fuerza magnética que actúa sobre la partícula aplicando la ley de Lo- rentz, pero ahora lo vamos a calcular utilizando el determinante para encontrar el producto vectorial v # B 8 8 , que será más fácil, puesto que el campo magnético tiene componentes en los tres ejes de coordenadas:
v B ( ) T m/s
i j k 0 i j 2
8 8 8 8 8
La fuerza magnética la podemos determinar ya directamente:
F (^) m = – 5 10 $ –^9 $ ( 20 $ i + 40 $ j ) = – ( i + 2 $ j ) $ 10 –^7 N
8 8 8 8 8
4 Una partícula de carga q se mueve a una velocidad v 8 = (10 · i
8
8 ) · 10^3 m/s en un campo magnético B
8 = (–2 · i
8
8 ) T. Determina la expresión de F (^) m
8
. ¿Por qué crees que se obtiene este resultado?
Los datos del ejercicio son: v^8^ = ( 10 $ i + 5 $ j ) $ 10 3 m/s ; B =( – 2 $ i – j ) T
8 8 8 8 8
Debemos aplicar la ley de Lorentz. Utilizamos la expresión del determinante para calcular v^8^ # B
8 :
v B
i j k
1
8
8 8 8
Se obtiene cero porque los vectores velocidad y campo magnético son paralelos con senti- dos opuestos, es decir, forman un ángulo de 180°. Entonces, la ley de Lorentz nos da una fuerza igual a cero sobre la partícula:
F (^) m = q $ 0 = 0
8
La partícula no se ve afectada por la presencia del campo magnético.
Física 2 Actividades de los epígrafes
Escribimos el campo magnético de manera vectorial calculando sus componentes en los ejes: B (^) x = – B sen $ o = – 0 5 , $ sen 30 ° =–0 25, T
B (^) y = B $ cos o =0 5, $ cos 30 ° =0 43, T Por tanto: B = ( – 0 25 , $ i +0 43, $ k ) T
8 8 8
Aplicamos la ley de Lorentz, pero primero calcularemos el producto v^8^ # B
8 :
v B T m/s
i j k 10 k 0 25
8 8 8 8
F = q $ ( E + v # B ) = – 5 10 $ –^4 $ ( 4 000 $ j + 4 300 $ k ) = – ( ,2 0 $ j +2 2, $ k ) N
8 8 8 8 8 8 8 8
8 En un determinado instante, una partícula cargada con 1 mC se mueve en la dirección y sentido del eje Z a una velocidad de 1 000 m/s, siendo la fuerza magnética igual a F (^) m
8 = (– i
8
8 ) N. Determina la expresión vectorial del campo magnético que existe en esa región.
Los datos del ejercicio son: q = 1 mC = 10 –^3 C ; v^8^ = 1000 $ k m/s ; F (^) m = ( – i + 3 $ j )N
(^8 8 8 )
El campo magnético tendrá una expresión del tipo: B = B (^) x $ i + B (^) y $ j + B (^) z $ k
8 8 8 8
Utilizamos la ley de Lorentz:
F q ( v B ) (^8) q ( )
F i j i j v B 10
m $^ #^ m – 3 –^3
8 8 8
8 8 8 8 8 8 8
Escribimos la expresión del producto vectorial v^8^ # B
8 y la igualamos al resultado anterior:
v B ( )
i
B
j
B
k B B
0 0 1000 – i B j 10 x y
x z
y
8 8 8 8 8
Igualando: ( – B (^) x $ i + B (^) y $ j ) $ 10 3 = ( – i + 3 $ j ) $ 10 3 8 B (^) x = 3 T ; By = 1 T
8 8 8 8
Por tanto: B = ( 3 $ i + j + B (^) z $ k ) T
8 8 8 8
donde Bz puede tomar cualquier valor (no influye en la fuerza porque esta componente del campo magnético es paralela a la velocidad).
Página 103
9 Un electrón describe circunferencias de 228 μm de diámetro en un campo magnético de 5 G perpendicular al plano de estas. Determina la velocidad a la que se desplaza. Datos: me = 9,1 · 10–31^ kg; qe = –1,6 · 10–19^ C. Los datos del ejercicio son:
m (^) e = 9 1 10, $ –^31 kg ; q (^) e = 1 6 10, $ –^19 C ; D = 228 μm = 2 28 10, $ –^4 m ; B = 5 G = 5 $ 104 T
Física 2 Actividades de los epígrafes
El radio de la circunferencia es:
, R D 2 2 , m
4 4
= = $^ = $ –
Cuando el electrón describe un movimiento circular uniforme en el campo magnético, se verifica que la fuerza magnética está actuando como una fuerza centrípeta:
F F 8 q v B m vR^ 8 R q B
m v m e e e
e c
2 $ $ $ $
Y se obtiene la expresión que permite calcular el radio de la circunferencia. Pero en este ejercicio, tenemos que calcular la velocidad, así que la despejamos y sustituimos valores:
v (^) m m/s
R q B 9 1 10
e
e 31
4 19 4
$ $ –^ –^ –
10 Determina el período y la frecuencia del movimiento de la partícula anterior.
El período de un movimiento circular uniforme, T, se obtiene fácilmente teniendo en cuenta que:
v^ π^8 π^ π^ π T
R T
v (^) q B
m v R^ q
m v B
e
e e
$ $ $ (^) $ $ (^) $ e $
Por tanto:
=
π (^) π ,
T , s q B
2 m 1 6 10 5 10
e
e 19 4
31 8
$
Y la frecuencia es simplemente el valor inverso al período:
= ,
f (^) T^1 , Hz 7 1 10
8
7 = = $ – $
11 Un protón y un electrón entran a la misma velocidad en un campo magnético perpen- dicular de 10 G. ¿Qué relación habrá entre los radios de las circunferencias que describen? Datos: mp = 1,67 · 10–27^ kg; me = 9,1 · 10–31^ kg.
Los datos del ejercicio son: m (^) p = 1 67 10 , $ –^27 kg ; me =9 1 10, $ –^31 kg
El radio de giro para el electrón viene descrito por:
R
q
m v e e B
e $
Y para el protón:
R (^) q B
m v p p
p $
La carga eléctrica del electrón en valor absoluto es igual a la del protón: q (^) e = qp Que representaremos por q.
Física 2 Actividades de los epígrafes
Por otro lado: v (^) == v $ sen o =3 3 10, $ 5 $ sen 80 ° =3 2 10, $^5 m/s
El radio de la circunferencia es:
R (^) q B , m , mm
m v 1 6 10 0 65
p 5 1 10^ 5 1 p
p 19
27 5 3
$
La frecuencia a la que se describen las circunferencias es:
π = π ,
f (^) m , Hz
q B (^2 2) 1 67 10
p
p 27
19 6
$ $
2 Magnetismo en la tecnología
Página 104
13 Una carga eléctrica q se mueve a una velocidad constante v^8 = 20 000 · i
8 m/s a pesar de estar dentro de un campo magnético B
8 = 10 · j
8 T. ¿Existe además un campo eléctrico? Determínalo.
Los datos son: v^8^ = 20 000 $ i m/s ; B = 10 $ j T
8 8 8
Si la velocidad de la partícula fuese paralela al campo magnético, es decir, si ambos vecto- res formasen 0° o 180°, entonces la fuerza magnética sería cero y la velocidad de la partícula permanecería constante. Pero, como vemos, no estamos en ese caso. Por consiguiente, debe existir un campo magnético que haga que la fuerza de Lorentz total sea cero. Entonces: F = q $ ( E + v # B ) = 0 8 E + v # B = 0 8 E =– v # B
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
Determinemos el producto vectorial v # B 8 8 :
v B T m/s
i j k 20 000 k 0
8
8 8 8 8
En consecuencia: E =–2 10 $ 5 $ k N C /
8 8
14 Un selector de velocidades consta de los siguientes campos:
B
8 = 500 · i
8 G ; E
8 = –10^4 · j
8 V/m Obtén la velocidad de las cargas seleccionadas. Los datos del enunciado son: G G
B 500 i G 500 i T^ i T ; E j V m/ 10
4
Existe una velocidad de las partículas para la cual la fuerza de Lorentz es cero. F = q $ ( E + v # B ) = 0 8 E + v # B = 0 8 E =– v # B
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
Si representamos la velocidad de la partícula por sus componentes: v^8^ = v (^) x $ i + v (^) y $ j + v (^) z $ k
8 8 8
Física 2 Actividades de los epígrafes
Entonces:
v B ( )
i j v
k v v v j v k 0
x y z^5 2 z – y 2
8 8
8 8 8 8 8
Este resultado es igual al campo eléctrico:
E j ( v j v k ) 8 v ; v m/s 5 10
- 10 – 5 10 (^) z – (^) y y (^0) z 2 2 4 2 4 5 -
8 8 8 8
Por tanto, la expresión de la velocidad es: v = ( v (^) x $ i +2 10$ 5 $ k )m/s 8 8 8
donde vx puede tomar cualquier valor.
15 Un selector de velocidades se prepara para que seleccione a los protones de 1 500 m/s. ¿Qué les ocurrirá a los de 1 600 m/s? ¿Y a los de 1 400 m/s? ¿Y si fuesen electrones?
En un selector de velocidades, la fuerza de Lorentz se anula para la velocidad que se ha seleccionado: F = q $ ( E + v # B ) = 0 8 E + v # B = 0
8 8 8 8 8 8 8
La ecuación anterior quiere decir que E
8 y v # B 8 8 son vectores opuestos cuando la velocidad es v = 1 500 m/s. Si la velocidad es mayor de este valor, el módulo de v^8^ # B
8 se hace también mayor y los vectores dejan de sumar cero. Luego, ahora existirá una fuerza neta en la dirección y sentido de v^8^ # B
8 , la partícula se desviará en esa dirección y sentido, es decir, la dirección del campo eléctrico pero en sentido contrario. Contrariamente ocurre cuando la velocidad es menor; en este caso, v^8^ # B
8 se hace menor y se rompe el equilibrio, predominando el vector E
8
. Luego la partícula se desvía en la direc- ción y sentido del campo eléctrico. Si la partícula fuese un electrón, se desviaría en sentido contrario al que lo hace el protón puesto que al tener una carga negativa, la fuerza de Lorentz cambia de sentido con respecto a la del protón.
Página 105
16 El isótopo que describe una circunferencia mayor en un espectrógrafo de masas, ¿es el de mayor masa o el de menor? La expresión que proporciona el radio de la circunferencia es:
R (^) q B m v $
En un espectrógrafo de masas, todos los isótopos entran con la misma velocidad, puesto que pasan por un selector de velocidades. Además, todos ellos tienen la misma carga eléc- trica por tratarse del mismo elemento químico. En lo único que se diferencian es en la masa. Por este motivo, podemos decir que el radio es directamente proporcional a la masa.
R (^) q B v = (^) $ $ m = k $ m
donde k es una constante igual a v /( q í B ). En consecuencia, cuanto mayor sea la masa del isótopo, mayor será el radio de la circunfe- rencia que describe.
Física 2 Actividades de los epígrafes
Luego, la ecuación que debe cumplirse es:
8 8 p 8 p 8
p F P I l B m g I l B l g I B g B (^) I
g m $^ $^ $^ $^ $^ $^ $^ $^ $^
Debemos expresar la densidad lineal del hilo en unidades del SI.
p (^) m
g g
kg m
kg 10 10
= $ 3 = 10 –^2
Ahora sustituimos: p (^) , , T , T (^) T
G
B I , G
g 8
$ –^2 $ 4
Página 110
19 Una espira circular de radio 2 cm está en el plano XY en Z = 0. Es recorrida por una co- rriente de intensidad 0,5 A en sentido antihorario visto desde coordenadas z positivas. Determina su momento debido a la interacción con un campo magnético constante B
8 = (0,2 · j
8
8 ) T. Realiza un dibujo de la situación, indicando hacia dónde gira la espira.
Los datos son:
R = 2 cm = 2 10 $ –^2 m ; I = 0 5, A ; B = ( ,0 2 $ j +0 8, $ k ) T
8 8 8
La disposición de los distintos elementos del ejercicio es:
X
Y (^) I
Z
B
m
La expresión del vector superficie es: S = π $ R^2 $ k
8 8
Y el momento dipolar magnético es: m^8 = I $ S = π $ R^2 $ I $ k =π $ ( 2 10$ – 2 2^ ) $ 0 5, $ k =6 3 10, $ –^4 $ k A m$^2
8 8 8 8
El momento que experimenta la espira lo podemos calcular mediante la expresión:
M m B , N m
i j k 0 i 0
= # = $ –^4 – 1 3 10$ –^4 $ $
8 8 8
8 8 8 8
La espira girará con un eje paralelo al eje X. Si miramos la espira desde la parte positiva del eje X, la veremos girar en sentido horario hasta que el vector momento dipolar magnético se oriente con el campo magnético.
20 ¿Qué puedes decir de una espira por la que circula una intensidad de corriente de 0,2 A si su vector superficie es S
8 = 0,02 · i
8 m^2? ¿Hacia dónde girará si B
8 = 0,4 · j
8 T? ¿Cuánto vale el momento?
Los datos son: I = 0 2 , A ; S = 0 02, $ i m 2 ; B =0 4, $ j T
8 8 8 8
Física 2 Actividades de los epígrafes
Si el vector superficie de la espira es S =0 02, $ i m^2
(^8 ) , quiere decir que la superficie delimita- da por la espira es paralela al plano YZ, tal y como se muestra en la imagen:
X
Y
Z
I
B S
El vector momento dipolar magnético es paralelo y con el mismo sentido que el vector superficie, puesto que es:
m = I $ S = 0 2 0 002 , $ , $ i =4 10$ –^3 $ i A m$^2 8 8 8 8
La espira girará hasta que su vector momento dipolar magnético se oriente con la misma dirección y sentido que el vector del campo magnético. Así, el eje de giro es un diámetro paralelo al eje Z, y girará en sentido antihorario si miramos desde el eje Z positivo. El momento que hace girar la espira en la posición inicial es:
M m B , N m
i j k 4 10 k 0
= # = $ –^3 =1 6 10$ –^3 $ $
8 8 8
8 8 8 8
Si con el dedo pulgar de la mano derecha señalamos en la dirección y sentido del momen- to, el resto de los dedos nos indica el sentido de giro. Vemos que es compatible con el sentido de giro que se ha especificado anteriormente.
21 Un imán tiene un momento dipolar magnético m = 0,08 A · m^2. ¿Cuántas espiras cua- dradas de 2 cm de lado, por las que circulan 0,2 A, son necesarias para simular el com- portamiento del imán? Los datos son: m = 0 08 , A m $ 2 ; a = 2 cm = 2 10$ –^2 m ; I =0 2, A La superficie de una espira es: S = a^2 = ( 2 10 $ – 2 2^ ) =4 10$ –^4 m^2 El momento dipolar magnético de las N espiras es: m = N I S $ $ Si queremos que el valor de su momento dipolar magnético sea igual al del imán, igualamos y despejamos N:
N I S
m 0 2 4 10
$ –^41000
4 Creación del campo magnético
Página 112
22 ¿Cuáles son las fuentes y los sumideros del campo eléctrico? ¿Y del gravitatorio?
Las fuentes del campo eléctrico son las cargas positivas, y los sumideros, las negativas. En el campo magnético, en cambio, no existen fuentes ni sumideros del campo.
Física 2 Actividades de los epígrafes
La expresión matemática que nos da el módulo del campo magnético de un hilo de corrien- te es: , B K (^) a T
I
h 2 10 h
h 7 2
= l = = $
La expresión que nos da el módulo del campo magnético de una espira circular en su centro es:
π π π
B K (^) a , T
I
e 2 10^ 6 3 10 e
e (^) 7 2
$ $ $ $ $ $ –^ –
= l = = $ $ = $
Luego el campo magnético creado por la espira es un factor π mayor al campo creado por el hilo.
π (^) π B
B
h
e 6
6
$
= $^ $ =
5 Ley de Ampère
Página 114
26 Determina la circulación a lo largo del circuito de la figura si las intensidades son I 1 = 50 mA, I 2 = 60 mA, I 3 = 100 mA y I 4 = 10 mA.
B
d l
I 1
I 2
I 3
I 4
c
Los datos son: I (^) 1 = 50 Am = 5 10 $ –^2 A ; I (^) 2 = 60 mA = 6 10$ –^2 A ; I (^) 3 = 100 mA = 0 1, A ; I 4 = 10 mA = 10 –^2 A
Si calculamos la circulación en el sentido indicado en la imagen, las intensidades de corrien- te hacia arriba son positivas, y las que van hacia abajo, son negativas, según la regla de la mano derecha.
Aplicando la ley de Ampère:
c = B d $ l = μ 0 $ I
8 8
Donde para el caso de que haya varios hilos de corriente, I es la suma de todas las intensi- dades de corriente que atraviesan la superficie de la espira, cada una con su signo:
I = I (^) 1 + I (^) 2 – I (^) 3 + I 4 Por consiguiente:
c = μ 0 $ ( I (^) 1 + I (^) 2 – I (^) 3 + I (^) 4 ) = 4 $ π$ 10 –^7 $ ( 5 10$ –^2 + 6 10$ –^2 – 0 1, + 10 –^2 )^ =2 5 10, $ –^8 T m$
Física 2 Actividades de los epígrafes
27 En la figura se muestra una bobina por la que circula una corriente eléctrica de 1 A. Determina la circulación a lo largo de los recorridos L 1 y L 2.
L 1 L 2
I
El único dato es:
I = 1 A
Y además la imagen que muestra la disposición de los distintos elementos.
L 1 L 2
N S
I I
Para calcular la circulación del campo magnético en ambos casos, aplicamos la ley de Am- père:
c = B d $ l = μ 0 $ I
(^8 )
Para el recorrido L 1 , la superficie delimitada por esta espira es cortado por una única inten- sidad eléctrica, que es precisamente la que circula por la bobina. En la imagen se ve que según el sentido en el que se va a recorrer la espira, la intensidad de corriente atraviesa la espira en sentido negativo al definido por la regla de la mano derecha. Por tanto:
c = μ 0 $ I = 4 $ π $ 10 –^7 $ ( – 1 ) =–1 3 10, $ –^6 T m$
Para el recorrido L 2 , la circulación es cero puesto que la superficie delimitada por la espira no es atravesada por ninguna intensidad de corriente.
Página 116
28 Una bobina de espiras apretadas tiene una longitud de 5 cm, y es atravesada por una intensidad I = 0,5 A que produce en su interior un campo magnético B = 1,9 · 10–3^ T. ¿Cuántas espiras forman la bobina?
Los datos de la bobina son:
l = 5 cm = 5 10 $ –^2 m ; I = 0 5, A ; B =1 9 10, $ –^3 T
Física 2 Actividades de los epígrafes
Dos hilos de corriente paralelos con sus intensidades eléctricas en el mismo sentido se atraen con una fuerza por unidad de longitud que viene dada por la expresión:
F l (^) K (^) a , (^) mN
I I
$ $ 1 2 –^7 0 5 10–^6
= l = = $
31 Un hilo de corriente de 10 m de longitud por el que circulan 2 A es repelido por otro hilo, paralelo a él, con una fuerza de 0,08 N cuando están a 1 mm de separación. ¿Qué intensidad de corriente eléctrica circula por el otro hilo? ¿Cuál es su sentido?
Los datos del ejercicio son: l (^) 1 = 10 m ; I (^) 1 = 2 A ; F (^) 1 = 0 08, N ; a = 1 mm = 10 –^3 m La expresión que nos da la fuerza por unidad de longitud entre dos hilos es:
l
F
K (^) a
I I
1
(^1) = $ l$ 1 $ 2
Despejamos nuestra incógnita: , A l
I
K l
a F (^2) 2 10 10 2
1 2
1 7
3
$ $ $
= (^) l = =
Como la fuerza entre los hilos de corriente es repulsiva, las corrientes deben circular en sentidos opuestos.
Física 2 Actividades finales
Página 126
Fuerza sobre una partícula
1 Un electrón se mueve con una energía cinética de 20 eV cuando entra en un campo
magnético de 900 G perpendicular a su velocidad. Determina la aceleración centrípeta que le produce. Datos: me = 9,1 · 10–31^ kg; qe = –1,6 · 10–19^ C.
Los datos que nos proporcionan, en unidades del SI, son:
eV (^) eV
, J
E 20 1 , J
c 3 2 10
19 18
= $ $^ = $ –
G
G
T
B 900 T
= $ 4 =9 10$ –^2
m (^) e =9 1 10 , $ –^31 kg
q (^) e =–1 6 , $ 10 –^19 C
Un esquema de la situación planteada en el problema es el siguiente:
v
B Fm
Para dibujar la fuerza magnética, hemos tenido en cuenta la expresión de la ley de Lorentz:
F (^) m = q (^) e $ ( v # B )
8 8 8
y la dirección y el sentido que tendrá el vector fuerza magnética, F (^) m
8 , atendiendo a la regla del producto vectorial de v^8^ # B
8 , y a la inversión del sentido al multiplicar por la carga ne- gativa del electrón. Ahora, solo nos preocuparemos de calcular el módulo de la fuerza magnética: F (^) m = q (^) e $ v B $ Pero antes, debemos determinar la velocidad de la partícula utilizando el valor conocido de su energía cinética:
E m v 8 v (^) m
E
c e (^) e = $ $ 2 = $ c
Sustituimos:
, = ,
F q (^) m , N
E
B
m e 9 10^ 3 8 10 e
c (^) 19 31
18
$ $^ $ $ $ –^ – $
Puesto que la fuerza magnética es siempre perpendicular a la trayectoria, actúa como fuer- za centrípeta o normal. En consecuencia:
8 = = ,
s
F F m a a m m
F
m C e c c 4 2 10^2 e
m 31
4 16
$ $
Física 2 Actividades finales
Esta fuerza, llamada fuerza de Lorentz, viene definida por la siguiente ecuación vectorial:
F = q $ v # B
8 8 8
El módulo de la fuerza es:
F^ =^ q $ v^8^ $ B $ sen ( v , B )
8 8 8
Su dirección es perpendicular al plano que forman v^8 y B
8 , y su sentido, el de avance del tornillo cuando va de v^8 a B
8 por el camino más corto si la carga es positiva, y el contrario cuando es negativa. Cuando la velocidad, v 8 , y el campo, B
8 , son paralelos, tienen la misma dirección, el ángulo que forman es 0° o 180° y, por tanto, el módulo de la fuerza es cero:
F^ =^ q $ v $ B $ sen 0 ° = 0
8 8 8
F^ =^ q $ v^8^ $ B $ sen 180 °= 0
8
5 Determina la fuerza de Lorentz sobre una partícula de 3 nC que se desplaza a
v^8 = 800 000 · k
8 m/s en un campo eléctrico E
8 = (2 · i
8
8
8 ) · 10^4 V/m y un campo magnético B
8 = 150 · j
8 G.
Los datos son:
nC nC
nC ; m/s ; ( )
C
C (^) m
V
q 3 3 v k E i j k 10
= = $ 9 = 3 10$ –^9 = 800 000 $ = 2 $ + 3 $ + $ 104
8 8 8 8 8 8
G G
G
B 150 j 150 j T^ , j T 10
4
Aplicamos la ley completa de Lorentz, en la que aparece el campo eléctrico también:
( ) ( )^ =
F q E v B i j k
i j k 3 10 2 3 10 0 0
m
9 4 2
8 8 8 8 8 8 8
J^8 8
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
= 3 10 $ –^9 $ ( 2 $ i + 3 $ j + k ) $ 10 4 – 1 2 10, $ 4 $ i = 3 10$ –^9 $ ( ,0 8 $ i + 3 $ j + k )$ 104 =
8 8 8 8 8 B^8 8
= ( 2 , 4 $ i + 9 $ j + 3 $ k )$ 10 –^5 N
8 8 8
6 Una carga de – 4 μC se desplaza a una cierta velocidad a lo largo del eje X, donde exis-
te un campo eléctrico E
8 = 100 · j
8 V/m y un campo magnético B
8 = (0,1 · i
8
8
8 ) T. Encuentra la expresión vectorial de la velocidad si la partícula experimenta una fuerza de F
8 = 8 · 10–^4 · k
8 N.
Los datos proporcionados son:
μ C μC nC
C C ;
m q 4 4 E j V 10
6
= = $ = $ –^68 = $^8
B = ( ,0 1 $ i – 0 2, $ j + 0 1, $ k ) T ; F =8 10$ –^4 $ k N
8 8 8 8 8 8
También sabemos que la velocidad solamente tiene coordenada x:
v = v (^) x $ i 8 8
Física 2 Actividades finales
Escribiremos la ley de Lorentz, y desarrollamos:
F q E v B j
i v
j k 4 10 100 0 1
m x
J^8 8
L
K
K
KK
N
P
O
O
OO
= – 4 10 $ –^6 $ 100 $ j + ( – 0 1 , $ v (^) x $ j^ –^ 0 2, $ v (^) x $ k ) =–4 10 $ –^6 $ ( 100 – 0 1, $ v (^) x ) $ j – 0 2, $ vx $ k =
8 8 8 8 B 8 8 8 B
= – 4 10 $ –^6 $ ( 100 – 0 1, $ v (^) x ) $ j + 8 $ v (^) x $ 10 –^7 $ k
8 8
Ahora igualamos nuestro resultado con el valor de la fuerza magnética que nos proporciona el enunciado, de donde podremos despejar la incógnita, vx.
Fm = – 4 10 $ –^6 $ ( 100 – 0 1, $ v (^) x ) $ j + 8 $ vx $ 10 –^7 $ k =8 10$ –^4 $ k
8 8 8 8 8 8
Para que se cumpla la igualdad, debe cumplirse que la coordenada en el eje Y se anule:
, (^8) s m 100 – 0 1 $ v (^) x = 0 vx = 1000 8 8
Podemos comprobar, que la coordenada en el eje Z coincide al poner este valor de la ve- locidad encontrado:
F (^) m = 8 $ vx $ 10 –^7 $ k = 8 1000 10$ $ –^7 $ k =8 10$ –^4 $ k N
8 8 8 8 8
7 Un electrón es acelerado con 500 V; seguidamente, entra en un campo magnético
uniforme perpendicular a la velocidad de 1 000 G. Determina qué campo eléctrico hay que superponer al magnético para que la partícula continúe en línea recta.
Si el electrón es acelerado con 500 V, entonces su energía cinética es de 500 eV. Los datos proporcionados por el ejercicio son los siguientes:
G G , ; , ; ,
G
B 1000 1000 T^ T m kg q C 10
4 e^ e
= = $ = = $ –^31 = $ –^19
eV (^) eV
, J
E 500 1 J
c 8 10
19 17
= $ $^ = $ –
Vamos a determinar la velocidad del electrón utilizando el dato de su energía cinética:
, (^) s m E m v v (^) m
E
c e 1 3 10 e
2 c 31
(^177)
$ $
Para que el electrón se mueva en línea recta, la fuerza total que actúa sobre la partícula debe ser cero. Es decir, la fuerza de la ley de Lorentz tiene que ser cero:
F (^) m = q $ ( E + v # B ) = 0 8 E + v # B = 0 8 E =– v # B
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
Para poder trabajar con vectores, elegimos un sistema de referencia en el que la partícula se mueve a lo largo del eje X, y en el que el campo magnético tiene la dirección y el sentido del eje Y. Entonces:
v^8^ = 1 3 10 , $ 7 $ i ms^ ; B =0 1, $ j T
8 8 8
