¡Descarga interes compuesto variado y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
TEMA 2: OPERACIONS AMB INTERÈS SIMPLE
2.1.- CONCEPTE D’INTERÈS SIMPLE
Es denomina interès a la compensació econòmica que rep un subjecte disposat a renunciar a un capital en un moment determinat per recuperar-lo en un període posterior.
En el règim de capitalització simple , el capital productor d’interessos sempre és el mateix al llarg del període de durada de l’operació.
Suposem que s’inverteix un capital de 1.000 € durant un any a un interès del 4%. Al final del període, els interessos produïts seran de:
1.000 € × 0,04 = 40 €
Per tant, sumats al capital inicial, l’inversor disposa d’un capital de 1.040 € al final de l’any.
2.2.- CAPITALITZACIÓ
Es denomina capitalització al càlcul d’uns capitals generadors d’interessos en un moment posterior a la inversió d’aquests.
C 0 C 1 C 2.... Cn
Suposem un capital inicial C 0 que genera uns interessos en cada període. Capitalitzar consisteix en calcular el capital en el moment n , tenint en compte un tipus d’interès i.
C 1 = C 0 · i + C 0 = C 0 · (1 + i)
C 2 = C 1 + C 0 · i ;
C 2 = C 0 · (1 + i) + C 0 · i = C 0 · (1 + i + i)
La fórmula general seria:
Cn = C 0 + C 0 · i · n ; Cn = C 0 (1 + i · n)
On C 0 = Capital inicial o principal de l’operació. Cn = Capital final (Capital inicial més interessos). i = Tipus d’interès. n = Període de temps.
2.3.- ACTUALITZACIÓ
L’actualització és l’operació inversa a la capitalització. Per tant, consistirà en substituir els drets sobre un capital amb un venciment futur, per un altre capital menor en el moment actual.
0 1
C 0 Cn
Per tant, l’operació inversa a la capitalització és l’obtenció del capital inicial a partir del capital final, donada una taxa d’interès i coneguda una diferència temporal.
Cn C 0 = (1 + i · n)
A l’actualització també se l’anomena descompte.
2.4.- FRACCIONAMENT DEL TANT D’INTERÈS
Si el tipus d’interès ve expressat en períodes anuals, el temps també s’haurà d’expressar en anys.
Si el tant ve donat per a períodes mensuals, trimestrals, etc., el temps s’haurà d’expressar en mesos, trimestres, etc.
Suposant que l’any es fracciona en k parts, cada una d’elles serà un k-èssim d’any, és a dir, 1/k d’any.
2.6.- INTERÈS DE DIFERENTS CAPITALS COL·LOCATS AL MATEIX TANT
Suposem diferents capitals C 1 , C 2 , ...,Cn , col·locats a un mateix tant anual simple i durant t 1 , t 2 , t 3 , ...,tn dies respectivament i es vol saber l’interès total que produeixen:
I 1 , I 2 , I 3 , ..., In
i I 1 = C 1 · · t 1 360
i I 2 = C 2 · · t 2 360 . . . i In = Cn · · tn 360
I (total) = I 1 + I 2 + I 3 + ... + In
C 1 i t 1 C 2 i t 2 Cn i tn I (total) = + + ... + 360 360 360
C 1 i t 1 + C 2 i t 2 + ... + Cn i tn
I (total) = 360
i
i I (total) = (C 1 t 1 + C 2 t 2 + ... + Cn tn) = 360
i
2.7.- TANT MIG DE COL·LOCACIÓ DE DIFERENTS CAPITALS
Siguin C 1 , C 2 , ...,Cn , diferents capitals invertits als tants d’interès anuals i 1 , i 2 , ..., in , (no fraccionaris) respectivament, durant un temps t (anys).
El tant mig de col·locació dels esmentats capitals i serà aquell què, aplicat als diferents capitals, durant el temps t , produeixi el mateix valor final o el mateix interès.
i I (total) = (C 1 t 1 + C 2 t 2 + ... + Cn tn) 360
Multiplicador fix
C 1 t 1 + C 2 t 2 + ... + Cn tn
360
i
Divisor fix
2.8.- EL DESCOMPTE
Actualment, és molt habitual, sobretot en operacions de compra-venda d’articles d’un elevat preu, no pagar al comptat l’import total de la compra.
El venedor estudiarà primer el preu que li haurà de posar a l’article per a què aquesta forma de cobrar no perjudiqui els seus interessos.
Un cop marcada la quantitat dels terminis a pagar, pot ser que aquests es documentin amb instruments formals de pagament, dels quals el més habitual és la lletra de canvi.
Si el venedor desitja cobrar la lletra abans del seu venciment, la presentarà al banc per a què aquest li avanci els diners (negociació), però el banc li exigirà un interès i no li lliurarà el nominal de la lletra, sinó el resultat de restar-li al nominal l’interès que correspongui.
S’anomena descompte a aquesta operació de crèdit que es porta a terme per institucions bancàries, mitjançant la qual el venedor rep els diners amb antelació al venciment del document i l’intermediari financer cobrarà el nominal al venciment de l’efecte comercial.
2.8.1.- DESCOMPTE COMERCIAL O BANCARI
En aquest cas, la quantitat de descompte es calcula sobre el valor nominal del document. Si anomenem Cn al nominal de l’efecte o capital que té un venciment en el moment n , i al tant unitari anual que ens exigeix el banc per avançar els diners, i n al temps en anys que va des de la data de negociació i el venciment, el descompte comercial serà:
n ΣCh ih h= i = n ΣCh h=
dc = Cn · i · n
El venedor rebrà la diferència entre el valor nominal de l’efecte i el descompte. A aquesta diferència se l’anomena valor efectiu.
VE = Cn - dc
Quan es descompta una lletra, el banc, a més del descompte, ens resta també una altra quantitat en concepte de comissió i de vegades una altra en concepte de despeses.
Per tant el valor líquid de la negociació serà:
VL = Cn – dc – Comissió - Despeses
2.8.4.- FOR-FAIT (COST TOTAL)
És una taxa única que inclou:
El descompte comercial La comissió Les despeses
n
ΣNh th
n h=
VL = ΣNh -
h=1 360
Divisor fix
f
Tant unitari anual
de FOR-FAIT
