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CUADRÁTICA
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Interpolación Cuadrática: Aproximación de Curvas, Diapositivas de Métodos Numéricos
Cómo aproximar una curva mediante una ecuación cuadrática (interpolación cuadrática). Se detalla el proceso para obtener los coeficientes de la ecuación y se calculan ejemplos con valores verdaderos y aproximados. Además, se comparan las aproximaciones lineales, cuadráticas y cúbicas.
Tipo: Diapositivas
2018/2019
1 / 13
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INTERPOLACIÓN
CUADRÁTICA
PANORAMA
GENERAL
El error en el ejemplo anterior se debe a que se aproximó una CURVA mediante una LÍNEA RECTA.
Por consiguiente, una estrategia que mejore la aproximación es la de introducir CIERTA CURVATURA en la LINEA QUE CONECTA A LOS PUNTOS.
1 2 3 4 5 6
Valor Verdadero
f(x) = ln (x)
x
f(x)
Aproximaciones Lineales
OBTENCIÓN DE LOS COEFICIENTES b0, b1 y b DEL POLINOMIO DE SEGUNDO ORDEN:
f ( x ) b 0 b 1 ( x x 0 ) b 2 ( x x 0 )( x x 1 ) Para ello, hemos quitado el indicador cuadrático y aplicaremos un procedimiento simple. x= x0 : Primero , para obtener b0 , evaluamos la función en
Entonces:
f ( x 0 ) b 0 b 1 ( x 0 x 0 ) b 2 ( x 0 x 0 )( x 0 x 1 )
b 0 f ( x 0 )
Ahora, para obtener en x=x1 , entonces: b1 , sustituimos b0 en la ecuación de arriba y evaluamos
OBTENCIÓN DE LOS
COEFICIENTES b0, b1 y b2 DE LA ECUACIÓN:
f ( x 1 ) f ( x 0 ) b 1 ( x 1 x 0 ) b 2 ( x 1 x 0 )( x 1 x 1 )
Lo que nos da:
1 0
1 (^1 ) (^0 )
x x
b f x f x
Por ultimo, para obtener b2 sustituimos en la ecuación inicial las expresiones que obtuvimos para b0 y b1 , evaluando en x= x2 y obtenemos:
2 0
1 0
1 0 2 1
2 1 2
x x
x x
f x f x
x x
f x f x
b
EJERCICIO y/o TAREA.
Calculamos los coeficientes de la INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA:
Con el fin de sustituirlos en la ecuación general:
Con: x0=1 f(x0)= x1=4 f(x1)=1. x2=6 f(x2)=1.
b 0 (^) f ( x 0 ) 1 0 1 (^1 ) (^0 ) x x b f x f x 2 0
1 0
1 0 2 1
2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) x x
x x
f x f x x x
f x f x b (^)
f ( x ) b 0 b 1 ( x x 0 ) b 2 ( x x 0 )( x x 1 )
En este caso el ERROR RELATIVO es:
Error Re lativo 0.^693147180. 69314718 ^0.^56584436 x 100 18. 4 %
1 2 3 4 5 6
Valor Verdadero
f(x) = ln (x)
x
f(x)
Aproximación Cuadrática Aproximaciones Lineales
1 2 3 4 5 6
Valor Verdadero
f(x) = ln (x)
x
f(x)
Aproximación Cuadrática Aproximaciones Lineales Aproximación Cúbica