Mec´anica e interpretacio´n de los m´ınimos
cuadrados ordinarios en la Regresi´on Mu´ltiple
September 12, 2023
Obtencio´n de las estimaciones de MCO
La ecuaci´on estimada de MCO se escribe como:
yˆ = βˆ0 + βˆ1x1 + βˆ2x2
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Mínimos Cuadrados Ordinarios en Regresión Múltiple: Análisis e Interpretación, Diapositivas de Econometría
El método de mínimos cuadrados ordinarios (mco) en la regresión múltiple, detallando cómo se obtienen las estimaciones y cómo se interpretan los coeficientes. Se presentan ejemplos prácticos sobre determinantes del promedio en la universidad y la ecuación para el salario por hora, ilustrando cómo los efectos parciales de las variables independientes influyen en la variable dependiente. Además, se discuten los valores ajustados, los residuales de mco y la interpretación del r-cuadrado como medida de la bondad de ajuste del modelo. El documento también aborda la importancia de mantener constantes otros factores al analizar el efecto de una variable independiente y cómo cambiar simultáneamente múltiples variables independientes afecta la variable dependiente. Finalmente, se examinan ejemplos sobre la explicación de los historiales de arrestos, destacando la utilidad de las estimaciones de mco para evaluar el efecto ceteris paribus de cada variable independiente.
Tipo: Diapositivas
2024/2025
1 / 28
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Mec´anica e interpretacio´n de los m´ınimos
cuadrados ordinarios en la Regresi´on Mu´ltiple
September 12, 2023
Obtencio´n de las estimaciones de MCO
La ecuaci´on estimada de MCO se escribe como: y ˆ = β ˆ 0 + β ˆ 1 x 1 + β ˆ 2 x 2
Donde: β ˆ 0 es la estimaci´on de β 0 β ˆ 1 es la estimaci´on de β 1 β ˆ 2 es la estimaci´on de β 2
Obtencio´n de las estimaciones de MCO (continuacio´n)
Para entender lo que hacen los MCO debemos entender la siguiente ecuaci´on: n (1) i =
Interpretacio´n de la ecuaci´on de regresi´on de MCO
y ˆ = β ˆ 0 + β ˆ 1 x 1 + β ˆ 2 x 2 (2) ▶ El intercepto β ˆ 0 es la predicci´on de y cuando x 1 y x 2 son ambos iguales a cero. ▶ Las estimaciones β ˆ 1 y β ˆ 2 se interpretan como efectos parciales o efectos ceteris paribus.
141 estudiantes de una universidad grande; los promedios generales de calificaciones tanto del bachillerato como de la universidad se dan en una escala de cuatro puntos. La ecuaci´on estimada para predecir el promedio general de calificaciones en la universidad es: colGPA = 1 , 29 + 0 , 453hsGPA + 0 , 0094ACT
Interpretacio´n
▶ El intercepto 1,29 no tiene un significado pr´actico en este contexto. ▶ β ˆ 1 = 0 , 453 implica que con ACT constante, cada punto adicional en hsGPA se relaciona con un aumento de 0,453 en el promedio general de la universidad. ▶ β ˆ 2 = 0 , 0094 indica que el efecto de ACT en colGPA es pequen˜o y casi insignificante.
Interpretaci´on: Por un aumento de un punto en el examen de admisi´on, el promedio general en la universidad aumentar`a en promedio en 0,0271 decimas. ▶ Como vemos el coeficiente de ACT es casi el triple del estimado en la primera ecuaci´on. Pero esta ecuaci´on no permite comparar dos personas con el mismo promedio general en el bachillerato.
Ejemplo (continuaci´on)
[Ecuaci´on para el salario por hora] Empleando las 526 observaciones sobre trabajadores en la base de datos
WAGE1.RAW, las variables educ (an˜os de educaci´on), exper (an˜os de experiencia en el mercado laboral) y tenure (an˜os de antigu¨edad en el empleo actual) se incluyen en una ecuaci´on para explicar log(wage). La ecuaci´on estimada para explicar log(wage) es: log(wage) = 0_._ 284 + 0_._ 092educ + 0_._ 0041exper + 0_._ 022tenure ▶ β ˆ 1 = − 0_._ 092 significa que, manteniendo exper y tenure constantes, un an˜o adicional de educaci´on se relaciona con un aumento del 9.2% en wage. ▶ β ˆ 2 y β ˆ 3 tambi´en tienen interpretaciones similares.
Ejemplo colGPA y ACT
▶ En el ejemplo el coeficiente de ACT mide la diferencia que se predice para colGPA cuando hsGPA se mantiene constante. ▶ Al darle al coeficiente de ACT una interpretaci´on de efecto parcial, puede parecer que se sali´o y se muestrearon personas con el mismo promedio pero con puntuaciones diferentes. ▶ Pero este no es el caso, porque los datos son una muestra aleatoria sin restricciones.
▶ La regresi´on mu´ltiple permite imitar esta situaci´on sin restringir los valores de ninguna de las variables independientes. ▶ El poder del an´alisis de regresi´on mu´ltiple es que permite hacer en un ambiente no experimental, mantener constantes otros factores.
Cambiar de manera simult´anea m´as de una variable
independiente
▶ A veces se desea cambiar simult´aneamente m´as de una variable independiente para determinar el efecto resultante sobre la variable dependiente.
Valores ajustados y residuales de MCO
▶ Despu´es de obtener la l´ınea de regresi´on de MCO, se pueden calcular los valores ajustados y los residuales. ▶ El valor ajustado para la observaci´on i se calcula como yi = β ˆ 0 + β ˆ 1 xi 1 + β ˆ 2 xi 2 + ... + β ˆ kxik. ▶ ▶ Los residuales se definen como ui = yi − y ˆ i.
Propiedades valores ajustados y residuales de MCO
▶ El promedio muestral de los residuales es cero y de esta manera ¯ y = y ¯ˆ ▶ La covarianza muestral entre cada una de las variables independientes y los residuales de MCO es cero. ▶ El punto ( ¯ x 1 ,x ¯ 2 ,...,x ¯ k,y ¯) se encuentra siempre sobre la l´ınea de regresi´on de MCO.
▶ La R-cuadrada se calcula como R (^) STCSRC^ y representa la proporci´on de la variaci´on muestral en yi que es explicada por la l´ınea de regresi´on de MCO. Un hecho importante acerca de R^2 es que nunca disminuye y, en general, aumenta cuando se agrega otra variable independiente a la regresi´on. ▶ El hecho de que la R^2 nunca disminuya cuando se agrega cualquier variable a la regresi´on hace de R^2 un instrumento poco confiable para decidir si agregar una o varias variables al modelo.
▶ El factor que debe determinar si una variable explicativa pertenece a un modelo es si ´esta tiene un efecto parcial distinto de cero sobre y en la poblaci´on. ▶ Luego veremos que cuando se estudie la inferencia estad´ıstica, se mostrar´a c´omo probar esta hip´otesis. Se ver´a tambi´en que, usada de manera adecuada, el R^2 permite probar si un grupo de variables es importante para explicar y. ▶ Por ahora, el R^2 se usar´a como una medida de la bondad de ajuste de un modelo determinado.