Interseccion Recta-Plano, Apuntes de Geometría Descriptiva

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Ud.2. SISTEMA DIÉDRICO

Intersección de

Rectas y Planos

GEOMETRÍA

DESCRIPTIVA I

 Ud. Temática 1. SISTEMAS DE REPRESENTACION.

• Conceptos generales  Ud. Temática 2. SISTEMA DIEDRICO.
• 2.1 Fundamentos: Punto, recta y plano.
• 2.2 Intersecciones de rectas y planos.
• 2.3 Posiciones relativas de rectas y planos. Paralelismo y perpendicularidad
• 2.4 Operaciones: Giros, cambios de plano y abatimientos
• 2.5 Distancias
• 2.6 Ángulos de rectas y planos  Ud. Temática 3. SUPERFICIES.
• 3.1 Superficies poliédricas radiadas. Prisma y pirámide
• 3.2 Poliedros regulares
• 3.3 Esfera, cono y cilindro  Ud. Temática 4. INTERSECCIONES DE SUPERFICIES Y SOMBRAS.
• 4.1 Tipos de intersecciones. Generalidades y métodos.
• 4.2 Teoría general de sombras. Figuras planas.
• 4.3 Teoría general de sombras. Superficies

Programa de la Asignatura

INTERSECCIÓN DE RECTA Y PLANO OBLICUO. VISIBILIDAD.

c’

s’

t’

s

t

c

• De acuerdo con el método general, tomamos un plano que contenga a la recta R. El más sencillo es uno proyectante del vertical Q (de canto),

Ud.2.2. Intersección de Recta y Plano

r’

r

2’

1

2

1’

i’

i

• La intersección de éste plano con el definido por las rectas S y T , es una recta que pasa por 1 y 2.
• La intersección de la recta 1 - 2 con la recta dada R , proporciona el punto I, solución a la intersección de la recta R con el plano definido por S y T

Definir la intersección del plano oblicuo definido por las rectas S y T , y la recta R.

• Para definir la visibilidad , nos apoyaremos en una recta de punta que pase por algún punto crítico ( 1’ ). Nos indicará que la recta S, está por delante de R , por lo que en ese tramo, hasta llegar a la intersección, R no será visible.

= Q

INTERSECCIÓN DE RECTA Y PLANOS PROYECTANTES (I)

c’

s = t

t

c

1. INTERSECCIÓN RECTA – PLANO DE CANTO

Ud.2.2. Intersección de Recta y Plano

r’

r

i’

i

Determinar la intersección de la recta R y el plano de canto definido por las rectas S y T ,

La proyección vertical del punto de intersección i’ , será la intersección de las proyecciones verticales s’ y t’ con la proyección vertical r’ , de R.

Son casos de resolución inmediata ya que no se necesita ningún plano auxiliar.

La visibilidad de R , supuesto el plano opaco, también se estudiará en la proyección vertical. El punto I , es el límite entre la parte vista y la oculta. La parte izquierda de r’ está por debajo del plano, por lo que estará oculta en la proyección horizontal.

s

i

t’^ x’

2

t

1

i’

2’

r

r’

x

1’

ÓSCAR LÓPEZ ZALDÍVAR · Geometría Descriptiva I · Departamento de Expresión Gráfica · EUATM

= Q’

Ud.2.2. Intersección de Recta y Plano

Ejercicio:

Hallar el punto de intersección de la recta R, con el plano P, definido por las

rectas T y X

La intersección de dos planos P y Q es una recta R que quedará definida cuando se conozcan dos puntos fijos de ella comunes a ambos planos.

• Dados dos planos que se cortan P y Q , se introduce un plano auxiliar ( PH 1 ) y se hallan las rectas ( r y s ) de intersección entre los tres planos. De esta forma se obtiene el punto 1 que pertenecerá a la recta de intersección R.
• Se repite la operación introduciendo otro plano auxiliar PH 2 , cuya intersección con los planos P y Q dará las rectas t y v. De la intersección de estas rectas, obtendremos un segundo punto ( 2 ) de la recta R de intersección.

MÉTODO GENERAL DE INTERSECCIÓN DE PLANOS

Ud.2.2. Intersección de Planos

P r

R

(^1) PH 1

2

PH 2

s Q

t (^) v

Definir la intersección y la visibilidad de las figuras planas ABC y STU :

• En primer lugar introduciremos la arista a’b’ en un plano de canto imaginario Q , y definiremos su intersección con las proyecciones t’s’ y t’u’. Hallaremos los puntos 1’ y 2’, y sus proyecciones horizontales 1 y 2. El punto de corte m será el primero de la intersección.

DOS PLANOS OBLICUOS. MÉTODO DE INTERSECCIÓN RECTA-PLANO.

Ud.2.2. Intersección de Planos

b’

b a

a’

u’

s

t

u

• De igual forma haremos con la arista b’c’ cortando a s’u’ y t’u’ , para hallar los puntos 3’ y 4’ , y n.
• La proyección vertical de la intersección es directa subiendo los puntos m y n a sus aristas.

2’ t’

• La visibilidad se puede estudiar apoyándonos en una recta vertical que pase por un punto conflictivo k. La proyección vertical k 1 tiene una cota superior a k 2 , por lo que el lado AB esta por encima del ST. En la proyección vertical nos apoyaremos en una recta de punta, por ejemplo en el punto 3’.

m

m’

c

1

2

3

4

n

k

s’ 1’

k 1

k 2

c’

3’

4’

n’

Q’

Definir la intersección y la visibilidad de las figuras planas ABCD y EFG :

• De acuerdo al método general, introduciremos dos planos horizontales P y Q. Cada uno de los planos cortarán a las dos figuras planas según dos rectas: P 1 Q 1 y P 2 Q 2
• Con la intersección de estas rectas dos a dos ( P 1 con P 2 y Q 1 con Q 2 ), hallaremos dos puntos i y ii de la intersección de ambas figuras.
• Los puntos 1 y 2 serán los límites de la intersección entre las figuras planas ABCD y EFG.
• La visibilidad se determinará con una recta de punta P en un punto crítico de cruce de aristas: b’c’ está por delante de e’f’ , por lo que será visible hasta la recta de intersección.

2’

1’

2 1

b’

g’

f

e c

e’

c’

g

f’

d’

a’

d

b

i ii

P’

Q’

p

Ud.2.2. Intersección de Planos

DOS PLANOS OBLICUOS. MÉTODO DE PLANOS PARALELOS.

P 1

Q 1

P 2

Q 2

• La unión de ambos puntos de intersección nos dará la recta intersección de las figuras planas.

a

p’