Estimación de Parámetros: Media y Proporción, Diapositivas de Estadística

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ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS: MEDIA Y PROPORCIÓN

Media de una Población Proporción en un universo Binomial (una característica con valores dicotómicos) (Cap 5 Libro)

ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS

 Introducción  Dos importantes ramas de la Inferencia Estadística son la estimación de parámetros y la prueba de hipótesis. En este capítulo será tratado el problema de estimación y en el siguiente la prueba de hipótesis.

ESTIMACIÓN PUNTUAL DE LA MEDIA O ESPERANZA

 Cuando se aproxima un parámetro de una distribución a través de un valor decimos que se está haciendo es una estimación puntual. Supongamos que tenemos una muestra aleatoria (x1, x2,.. .,xn) desde una distribución f(x;θ) y que deseamos usar esos valores para estimar el parámetro θ, el cual es desconocido. Luego, una función de x1, x2,.. .,xn será usada para estimar θ.  Definición 5.1: Estimación y estimador puntual

ESTIMACIÓN POR INTERVALO DE CONFIANZA

 Los estimadores puntuales son también variables aleatorias y, por lo tanto, no se puede esperar que en una realización cualesquiera den un valor idéntico al parámetro que estiman. Por ello, se desea que una estimación puntual esté acompañada de alguna medida del posible error de esa estimación. Esto puede hacerse indicando el error estándar del estimador o dando un intervalo que incluya al verdadero valor del parámetro con un cierto nivel de confianza.

PROCEDIMIENTO GENERAL PARA ENCONTRAR UN

INTERVALO DE CONFIANZA PARA UN PARÁMETRO

 El objetivo del procedimiento de estimación por intervalo es encontrar el intervalo cerrado [LI, LS] donde LI=Límite Inferior y LS=Límite Superior, tal que si el parámetro a estimar se simboliza por θ, entonces: P(LI ≤ θ ≤ LS) = 1-α  Esta expresión se lee: “el intervalo de límites aleatorios LI y LS tiene probabilidad (1-α) de contener al parámetro θ”, donde (1-α) denota la confianza de la estimación y se denomina coeficiente de confianza. Aunque la confianza se define como una cantidad que está entre 0 y 1, es frecuente expresarla como porcentaje, esto es: (1-α)100.  Decir que un intervalo tiene confianza (1-α) significa que: “si se utiliza el mismo procedimiento de construcción del intervalo para m muestras aleatorias independientes de idéntico tamaño n , entonces m(1- α ) intervalos contendrán al verdadero valor del parámetro”.  Nota: La especificación del coeficiente de confianza como (1-α) se hace por razones de consistencia con la notación y los conceptos que se introducirán posteriormente y en los que α tiene un significado particular.

EJEMPLO 5.2: ILUSTRACIÓN SOBRE 100 MUESTRAS

 Si de una población con μ=28, se toman 100 muestras independientes ( m =100) de tamaño n y se construyen para cada una un intervalo de confianza con coeficiente 0.95 (o del 95%), entonces se debe “esperar” que 95 de los 100 intervalos incluyan al valor 28 y que 5 intervalos no lo incluyan, como puede verse en la siguiente figura:

EJEMPLO 5.3 (VARIANCIA /DESVÍO CONOCIDOS)

Se desea establecer si la aplicación de fertilizantes modifica el rendimiento promedio de una variedad de trigo. Se conoce que la desviación estándar es σ=450 kg. A los fines de evaluar el efecto de la fertilización, se realizó un ensayo que consistió en elegir 20 hectáreas (una en cada chacra de la región), en forma aleatoria a las que se les aplicó fertilizante, evaluando luego su rendimiento a cosecha. La producción obtenida fue =2650 kg. X  Realizar un intervalo de confianza al 90% para el verdadero rendimiento promedio. q 1 = Z (^) (0.05)= - 1.645 y q 2 =Z (^) (0.95) = 1.  Así el verdadero rendimiento promedio de esa variedad de trigo, estará entre 2484.48 y 2815.52 kg con una confianza del 90%.

ESTIMACIÓN DE LA ESPERANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA

NORMAL: MEDIA

Caso 2: No se conoce la varianza poblacional σ

 Se utiliza la estimación de la varianza S 2  Se utiliza en lugar de la Normal la t de Student (es muy similar pero varía según el “n” del tamaño muestral ) Para tamaño muestral grande se parece mucho a la Normal. En el gráfico se ve como para gl=3 tamaño muestral 4 y para gl=15 tamaño muestral 16

EJEMPLO 5.4 (VARIANCIA /DESVÍO NO CONOCIDOS)

 Los siguientes datos corresponden a los residuos de un insecticida (en ppm) en plantas de un lote de apio. Los resultados obtenidos fueron:  Las normas de comercialización establecen que si el residuo de insecticida es mayor que 0.50 ppm, es peligroso para el consumo humano. El rendimiento promedio obtenido del lote es Xraya =0.59 y la desviación estándar estimada S=0.17. Estimar el intervalo de confianza para el residuo promedio trabajando con α=0.01.  Tomando: q 1 = T(29;0.005)= - 2.756 y q 2 = T(29;0.995) =2.

EJEMPLO 5.4 (VARIANCIA /DESVÍO NO CONOCIDOS)

 Así el verdadero residuo promedio, estará entre 0.50 y 0. ppm con una confianza del 99%. El lote tiene residuos de insecticida en un valor promedio estimado que se considera no conveniente para el consumo humano.  Este intervalo se hace con Infostat que internamente siempre utiliza la t-Student

ESTIMACIÓN PUNTUAL DE UNA PROPORCIÓN “P”

 Supongamos que tenemos una muestra aleatoria (x1, x2,.. .,xn) desde una distribución son “0” y “1”, donde con 1 se indican los éxitos. Deseamos usar esos valores para estimar el parámetro θ=P, el cual es desconocido. Luego, una función de x1, x2,.. .,xn será usada para estimar θ.  Estimación puntual de la Propoción se demomina Ppico:

ESTIMACIÓN PUNTUAL DE UNA PROPORCIÓN “P”

 Ejemplo: cantidad de vacas que tuvieron un parto con hembras (terneras)  Se consideraron 50 vacas y de ellas 23 tuvieron terneras, entonces se estima que en la población habrá…

ESTIMACIÓN POR INTERVALO DE UNA PROPORCIÓN “P”

 Para “n” suficientemente grande que tiene una distribución Normal con  Znc=1.96 para NC=95%

ESTIMACIÓN DEL ERROR DE UNA PROPORCIÓN “P”

 Para el ejemplo de las vacas sería  Media= =0.  Desvío= = 0.  LI= 0.46-1.960.07=0.  LS= 0.46+1.960.07=0.  El verdadero valor de la proporción de éxitos está contenido entre 0,32 y 0.60 con una confianza del 95%