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Cap´ıtulo 7
Intervalos de Confianza
7.1. Introducci´on
Con las herramientas que construimos en los cap´ıtulos pasados, sabemos que si nuestra poblaci´on de inter´es sigue una distribuci´on N (μ, 1) y extraemos una m.a. X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , entonces el mejor estimador para μ que podemos construir con la informaci´on proveniente de la m.a. es X¯; sin embargo, la probabilidad de que estimemos a μ correctamente con X¯ es P ( X¯ = μ) = 0. Si en lugar de estimar puntualmente a μ, la estimamos con un intervalo, por ejemplo; [ X¯ − 1 , X¯ +1]. Entonces, la probabilidad de que cubramos a μ con el intervalo [ X¯ − 1 , X¯ + 1] ser´ıa 1 :
P (μ ∈ [ X¯ − 1 , X¯ + 1]) = P ( X¯ − 1 ≤ μ ≤ X¯ + 1) = P (− 1 ≤ X¯ − μ ≤ 1)
= P (
X¯ − μ 1 /
= P (− 2 ≤ Z ≤ 2)
= P (Z ≤ 2) − P (Z ≤ −2)
= P (Z ≤ 2) − [1 − P (Z ≤ 2)] = 2P (Z ≤ 2) − 1
Esto implica, que con una probabilidad de .95, el intervalo [ X¯ − 1 , X¯ + 1] cubrir´a a μ, as´ı, sac- rificando precisi´on en la estimaci´on al utilizar un intervalo en vez de una estimaci´on puntual, hemos ganado una garant´ıa en t´erminos de probabilidades.
En la pr´actica no podemos usar X¯ como estimaci´on de μ, as´ı como tampoco podremos utilizar el intervalo [ X¯ − 1 , X¯ + 1], ya que los dos dependen de la v.a. X¯ y por lo tanto uno es una v.a. y el otro es un intervalo aleatorio. Lo que se hace es utilizar el estimado X¯ = ¯x, de donde obtenemos el intervalo [¯x − 1 , x¯ + 1]; sin embargo, claramente ´este no ser´ıa un intervalo aleatorio, sino un intervalo fijo que depender´ıa del valor observado en la m.a. y por lo tanto, no se puede afirmar que con una probabilidad de .95, el intervalo [¯x − 1 , x¯ + 1] cubrir´a a μ (podemos calcular este tipo de probabilidades
(^1) Tenemos que ser cuidadosos en este punto pues μ es una cantidad fija, desconocida, pero fija, y la variable aleatoria es X¯. Entonces no podemos decir, la probabilidad de que μ caiga dentro del intervalo el intervalo [ X¯ − 1 , X¯ + 1], tenemos que decir la probabilidad de que el intervalo [ X¯ − 1 , X¯ + 1] cubra a μ. El intervalo es aleatorio y μ es un par´ametro fijo.
7.1. INTRODUCCI ON´ Carlos Erwin Rodr´ıguez
para variables aleatorias, m´as no para cantidades fijas, lo m´as que se podr´ıa decir es que la probabili- dad anterior es cero o uno). Sin embargo, se puede ver que si obtenemos muchas muestras, digamos, m, cada una de tama˜no n (en este caso n = 4), entonces, en t´erminos de frecuencias, alrededor del (.95)(m) de los intervalos contendr´an al valor verdadero μ, si lo vi´eramos en t´erminos de porcentajes, entonces, llegar´ıamos a que alrededor del 95 % de los intervalos contendr´ıan a μ. Lo anterior se puede verificar f´acilmente realizando una simulaci´on.
Supongamos que nuestra poblaci´on se comporta como una N (μ, 1) con μ = 6.3. Entonces, para realizar la simulaci´on generamos m = 10, 000 m.a. de tama˜no n = 4, cada una proveniente de la poblaci´on N (6. 3 , 1) as´ı, para cada muestra construimos el intervalo [¯x − 1 , ¯x + 1] y contamos cu´antas veces cae μ = 6.3, en el intervalo respectivo. Con esto podemos calcular el porcentaje de intervalos que efectivamente contienen a μ. Al realizar el experimento en R, se obtuvo que el porcentaje de intervalos que contuvieron a μ fue de 95.2 % que si por un momento lo vi´eramos como una probabilidad, se aproximar´ıa mucho a lo que se obtuvo previamente. El histograma para las medias, junto con la distribuci´on de muestreo (la normal N (6. 3 , 1 /4)) se muestra en la figura 7.1.
Medias
Frecuencias Relativas
4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.
Figura 7.1: Histograma para las medias de las 10, 000 m.a. junto con la distribuci´on de muestreo.
A continuaci´on se define formalmente lo que entenderemos como intervalo de confianza.
Definici´on (Intervalo de Confianza)
Sea X 1 , X 2 ,... , Xn una m.a. de fX (x|θ). Sean L(X) = L(X 1 , X 2 ,... , Xn) y U (X) = U (X 1 , X 2 ,... , Xn) dos estad´ısticas tales que L(X) ≤ U (X) ∀ X = (X 1 , X 2 ,... , Xn) para las cuales
P (L(X) ≤ τ (θ) ≤ U (X)) = γ
en donde γ no depende de θ; entonces al intervalo aleatorio [L(X), U (X)] se le llama intervalo del γ100 % de confianza para τ (θ)
7.2. M ETODO PIVOTAL´ Carlos Erwin Rodr´ıguez
Ejemplo 1 Sea X 1 , X 2 ,... , Xn una m.a. de una N (μ, σ 02 ) (σ 02 conocida)
Q 1 =
X¯ − μ √^ σ^0 n
∼ N (0, 1)
Como Q 1 es funci´on de la m.a. y su distribuci´on no depende de μ ni de ning´un par´ametro desconocido, entonces Q 1 es una cantidad pivotal para μ. ||
A continuaci´on se describe de forma general la implementaci´on del m´etodo pivotal para encontrar un intervalo de confianza para θ.
Sea X 1 , X 2 ,... , Xn una m.a. de fX (x|θ)
- Se encuentra una cantidad pivotal Q = q(X|θ) para θ.
- Sea 0 < γ < 1 fijo, encontramos q 1 y q 2 tales que q 1 ≤ q 2 y
P (q 1 ≤ Q ≤ q 2 ) = γ
- Se pivotea Q de forma que obtengamos
P (L(X) ≤ θ ≤ U (X)) = γ
Entonces, [L(X), U (X)] es un intervalo del γ100 % de confianza para θ.
Vamos a utilizar el m´etodo pivotal para encontrar intervalos de confianza para μ y σ^2 en el caso de la distribuci´on normal.
7.2.1. Muestreando de la Distribuci´on Normal
La fdp normal ocupa un papel central en la inferencia estad´ıstica, por lo que conviene desarrollar detalladamente los m´etodos para encontrar intervalos de confianza para μ y σ^2. En toda esta parte utilizaremos una m.a. X 1 , X 2 ,... , Xn de una N (μ, σ^2 ).
Intervalo de Confianza para μ
Caso en el que σ^2 es conocida.
Sabemos que X¯−μ √^ σ n
∼ N (0, 1), entonces ya tenemos nuestra cantidad pivotal (estamos en el caso en el que σ^2 es conocido). Ahora s´olo hay que encontrar a y b tales que
1 − α = P (a < X¯ − μ √^ σ n
< b) para 0 < α < 1 (7.1)
= P ( X¯ − b σ √ n
< μ < X¯ − a σ √ n
7.2. M ETODO PIVOTAL´ Carlos Erwin Rodr´ıguez
El intervalo que utilizaremos para realizar inferencias acerca de μ vendr´ıa dado por (7.2), sin embargo, necesitamos encontrar el a y b que cumplan con (7.1). En R hay muchos valores para a y b que cumplen con (7.1). Para fijar ideas y mostrar que esto es as´ı; tomemos 1 − α = 0.90, con este valor en particular, en la tabla siguiente presentamos algunos valores para a y b tales que P (a ≤ Z ≤ b) = P (Z ≤ b) − P (Z ≤ a) = 0.90 con Z ∼ N (0, 1)
a b P (Z ≤ a) P (Z ≤ b) P (Z ≤ b) − P (Z ≤ a) b − a -1.43 1.98 0.0763 0.9763 .9 3. -1.9 1.46 0.0287 0.9287 .9 3. -1.65 1.65 0.05 0.95 .9 3.
entonces lo que tenemos que hacer es encontrar el a y b que cumplan con (7.1) y que hagan m´ınima la longitud del intervalo en (7.2), pues mientras m´as chico sea el intervalo vamos a tener m´as informaci´on acerca de μ. La longitud del intervalo es l = (b − a) √σn , sin embargo, la cantidad √^ σ n esta fija y lo ´unico que var´ıa es^ b^ −^ a, entonces vamos a minimizar^ l^ =^ b^ −^ a^ sujeto a (7.1). Pero l claramente es una funci´on de a, pues si a se mueve, b autom´aticamente tiene que ajustarse para cumplir con la condici´on de que la probabilidad de que la cantidad pivotal est´e entre a y b sea 1 − α. En la figura 7.2 a continuaci´on, se muestran dos gr´aficas de la N (0, 1) de forma que entre a 1 y b 1 hay un ´area de 1 − α debajo de la curva y si movemos a 1 a a 2 para conservar el ´area de 1 − α, b 1 se tiene que mover a b 2.
z
f(Z z) 1 − α
a 1 b 1 z
f(Z z) 1 − α
a 2 b 2
Figura 7.2: Gr´aficas de la distribuci´on N (0, 1) al mover a 1 a a 2 manteniendo un ´area de 1−α constante
Entonces, para encontrar el intervalo de longitud m´as peque˜na, que ser´a el que nos llevar´a a la elecci´on ´optima de a y b tenemos que resolver el siguiente problema:
min l(a) = min b(a) − a
s.a.
∫ (^) b(a)
a
fZ (z)dz = 1 − α
En donde l(a) es funci´on de a y Z ∼ N (0, 1) por lo que fZ (z) es la fdp de una N (0, 1).
7.2. M ETODO PIVOTAL´ Carlos Erwin Rodr´ıguez
As´ı, para encontrar a y b en (7.1) hacemos a = −b y desarrollamos:
1 − α = P (−b < X¯ − μ √^ σ n
< b)
= P (−b < Z < b) = P (Z ≤ b) − P (Z ≤ −b) = P (Z ≤ b) − (1 − P (Z ≤ b)) = 2P (Z ≤ b) − 1 ⇔ P (Z ≤ b) = 1 − α 2 Por lo que fijando α, b queda determinado autom´aticamente, pues sabemos que b = zα/ 2 , el cuantil α/2 de una N (0, 1). En la figura 7.3 mostramos c´omo se ve este cuantil.
z
f(Z
z)
α 2
1 − α 2
zα 2
Figura 7.3: Gr´afica del cuantil zα/ 2 de la distribuci´on N (0, 1)
Entonces, sustituyendo el valor de b = zα/ 2 y a (tomando en cuenta que a = −b) en la ecuaci´on (7.2), llegamos a que el intervalo de confianza ´optimo del (1 − α)100 % para μ con σ^2 conocida es
( X¯ − zα/ 2 σ √ n
, X¯ + zα/ 2 σ √ n
Caso en el que se desconoce σ^2 (esta construcci´on se utiliza mucho en regresi´on).
Sabemos que X¯−μ √^ σ n ∼ N (0, 1) y que (n−1)S
2 σ^2 ∼^ χ
(^2) n− 1 (ver secci´on 5.3 corolario 1) como tenemos
una m.a. de una N (μ, σ^2 ), ambas cantidades son independientes y por lo tanto:
X¯ − μ σ/
n √ (n−1)S^2 σ^2 /(n^ −^ 1)
N (0, 1)
χ^2 n− 1 /n − 1
X¯ − μ √^ S n
∼ Tn− 1 (7.11)
7.2. M ETODO PIVOTAL´ Carlos Erwin Rodr´ıguez
en donde S^2 =
∑n 1 (Xi−^ X¯)^2 n− 1. Claramente en la segunda parte de (7.11) estamos cometiendo un abuso de notaci´on, sin embargo, esta transformaci´on es tan importante que es preferible cometer algunos abusos para que el desarrollo quede claro a omitir pasos y que queden dudas acerca de la construcci´on.
Ya tenemos nuestra cantidad pivotal, entonces hay que encontrar a y b de forma que la longitud del intervalo dado por
P (a <
X¯ − μ √^ S n
< b) = 1 − α para 0 < α < 1
sea m´ınima, sin embargo ya que la Tn− 1 tiene una fdp sim´etrica y se comporta de forma similar a la N (0, 1) llegar´ıamos (de forma totalmente an´aloga al caso en el que σ^2 era conocida) a que la mejor opci´on para a y b es tomar a = −b y por lo tanto el intervalo de confianza ´optimo del (1 − α)100 % para μ ser´ıa:
( X¯ − tα/ 2 ,n− 1
S
n
, X¯ + tα/ 2 ,n− 1
S
n
En donde ahora, en lugar de los cuantiles de una una normal est´andar, tenemos los cuantiles de una T de Student con n − 1 grados de libertad.
Intervalo de Confianza para σ^2
- Caso en el que μ es conocida.
La cantidad pivotal es
∑n 1 (Xi−μ)^2 σ^2 ∼^ χ
(^2) n. Formalmente, para elegir el a y b ´optimos, se deber´ıa proseguir como con los intervalos de confianza para μ, sin embargo, este camino no tiene una soluci´on anal´ıtica sencilla, por lo que en la pr´actica no se encuentra el intervalo con amplitud m´ınima, sino el que deja colas iguales a α 2 , as´ı el intervalo de confianza del (1 − α)100 % para σ^2 con μ conocida se obtiene al trabajar con
1 − α = P (χ^21 −α/ 2 ,n <
∑n 1 (Xi^ −^ μ) 2 σ^2
< χ^2 α/ 2 ,n)
= P
n 1 (Xi^ −^ μ) 2 χ^2 α/ 2 ,n
< σ^2 <
∑n 1 (Xi^ −^ μ) 2 χ^21 −α/ 2 ,n
⇔ σ^2 ∈
( ∑n 1 (Xi^ −^ μ) 2 χ^2 α/ 2 ,n
∑n 1 (Xi^ −^ μ) 2 χ^21 −α/ 2 ,n
7.3. INTERVALOS ASINT OTICOS´ Carlos Erwin Rodr´ıguez
Y^ ¯ − X¯−(μ 2 −μ 1 ) σ
√ ( (^) n^1 + (^) m^1 ) √ (^) ∑n 1 (Xi−^ X¯)^2 +
∑m 1 (Yi−^ Y¯^ )^2 (m+n−2)σ^2
Y¯ − X¯ − (μ 2 − μ 1 ) Sp
( (^1) n + (^) m^1 )
∼ tm+n− 2 (7.17)
En donde S p^2 =
∑n 1 (Xi−^ X¯)^2 +
∑m 1 (Yi−^ Y¯^ )^2 n+m− 2. Claramente (7.17) es una cantidad pivotal ya que su distribuci´on no depende de μ 2 − μ 1 y no es funci´on de ning´un par´ametro desconocido. As´ı, llegamos a:
P (−tα/ 2 ,m+n− 2 ≤
Y¯ − X¯ − (μ 2 − μ 1 ) Sp
( (^) n^1 + (^) m^1 )
≤ tα/ 2 ,m+n− 2 ) = 1 − α
Pivoteando de la ecuaci´on anterior, tenemos que el intervalo de confianza del (1 − α)100 % para μ 2 − μ 1 , est´a dado por
( Y¯ − X¯) ∓ tα/ 2 ,m+n− 2 Sp
n
m
7.3. Intervalos Asint´oticos
El m´etodo asint´otico para encontrar intervalos de confianza se basa en el m´etodo pivotal y en el siguiente:
Teorema 1 Si fX (x|θ) satisface ciertas condiciones de regularidad (las del teorema de la cota inferior de Cr´amer-Rao) y si θˆn(X) = θˆ(X 1 , X 2 ,... , Xn) es el estimador m´aximo veros´ımil de θ para una m.a. de tama˜no n, entonces θˆn(X) ∼a N (θ, σ^2 n(θ))
En donde σ n^2 (θ) =
−nE
[
d^2 dθ^2 ln^ fX^ (X|θ)
]
Lo que este teorema nos dice es que a medida que n crece, de forma asint´otica ( ∼a) θˆn(X) se va a distribuir aproximadamente como una normal. Utilizando este resultado, para tama˜nos de muestra suficientemente grandes, podemos emplear
θˆn(X) − θ σn(θ)
∼ N (0, 1)
como una cantidad pivotal y as´ı construir un intervalo de confianza asint´otico para θ.
Observaci´on 6 Para hacer expl´ıcito que el estimador m´aximo veros´ımil, θˆ, depende de la m.a. y de n, el tama˜no de la m.a., en el teorema anterior lo denotamos como θˆn(X), sin embargo, en lo sucesivo lo escribiremos s´olo como ˆθ.
7.3. INTERVALOS ASINT OTICOS´ Carlos Erwin Rodr´ıguez
Ejemplo 2 Sea X 1 , X 2 ,... , Xn una m.a. de
fX (x|θ) = θe−θx
para 0 < x < ∞ y θ > 0.
Para calcular el intervalo asint´otico para θ, tomamos en cuenta que ˆθ = (^) X^1 ¯ y que
σ^2 n(θ) =
−nE
[
d^2 dθ^2 ln^ fX^ (X|θ)
] (^) = θ
2 n
Por lo que, por el Teorema 1,
1 X^ ¯ −^ θ √^ θ n
∼a N (0, 1) entonces para n suficientemente grande
P (−zα/ 2 <
X^ ¯ −^ θ θ √ n
< zα/ 2 ) = 1 − α
pivoteando sobre θ y haciendo algunos manejos algebraicos se llega a que el intervalo asint´otico del (1 − α)100 % de confianza para θ es ( (^) √ n (
n + zα/ 2 ) X ¯
n (
n − zα/ 2 ) X¯
Ejemplo 3 Sea X 1 , X 2 ,... , Xn una m.a. de
f (x|p) = px(1 − p)^1 −x
El estimador m´aximo veros´ımil de p es ˆp = X¯ y σ n^2 (p) = p(1 n− p). Entonces, un intervalo de confianza asint´otico para p del (1 − α)100 % vendr´ıa dado por:
P (−zα/ 2 < X¯ − p √ p(1−p) n
< zα/ 2 ) = 1 − α (7.18)
Sin embargo, pivotear p de (7.18) es un poco complicado, adem´as, al final para n suficientemente grande muchos t´erminos se pueden despreciar por lo que en lugar de trabajar con σ^2 n(p) se usa σ^2 n(ˆp), entonces
1 − α = P
−zα/ 2 < X¯ − p √ (^) ¯ X(1− X¯) n
< zα/ 2
X^ ¯ − zα/ 2
X¯(1 − X¯)
n
, X¯ + zα/ 2
X¯(1 − X¯)
n
es el intervalo asint´otico del (1 − α)100 % de confianza para p. ||
7.4. PIVOTEANDO LA FUNCI ON DE DISTRIBUCI ´ ON´ Carlos Erwin Rodr´ıguez
Ejemplo 4 Sea X 1 , X 2 ,... , Xn una m.a. de
f (x|θ) =
θ
1 (0,θ)(x)
Empleando el Teorema 2 vamos a construir un intervalo de confianza para θ.
Usaremos T = X(n) = m´ax{X 1 , X 2 ,... , Xn} ya que
L(θ|x) =
∏^ n
1
f (xi|θ) =
θ
)n
1 (0,x(n))(x(1)) 1 (0,θ)(x(n))
entonces por el Teorema de Factorizaci´on X(n) = m´ax{X 1 , X 2 ,... , Xn} es una estad´ıstica suficiente para θ
fX(n) (x) = fT (t) = n
θ
)n
tn−^11 (0,θ)(t)
⇒ FT (t|θ) =
t θ
)n
Claramente para t fijo FT (t|θ) es una funci´on decreciente de θ, entonces utilizamos la primera parte del Teorema 2.
Primero encontramos θU (t 0 )
α 1 = FT (t 0 |θU (t 0 )) =
t 0 θU (t 0 )
)n
⇔ θU (t 0 ) = t 0 (α 1 )^1 /n Ahora vamos a encontrar θL(t 0 )
1 − α 2 = FT (t 0 |θL(t 0 )) =
t 0 θU (t 0 )
)n
⇔ θL(t 0 ) = t 0 (1 − α 2 )^1 /n
Entonces el intervalo del (1 − α)100 % de confianza para θ es [ t 0 (1 − α 2 )^1 /n^
t 0 (α 1 )^1 /n
]
Aqu´ı es posible encontrar el intervalo de confianza ´optimo para θ, si minimizamos
t 0
(α 1 )^1 /n^
(1 − α 2 )^1 /n
sujeto a que α 1 + α 2 = α y 0 < α 1 + α 2 < 1. En donde (7.22) es la longitud del intervalo (7.21). Se puede ver que (7.22) es m´ınimo y las restricciones se cumplen si α 2 = 0 ⇒ α 1 = α. Por lo que el intervalo del (1 − α)100 % de confianza ´optimo para θ ser´ıa
7.4. PIVOTEANDO LA FUNCI ON DE DISTRIBUCI ´ ON´ Carlos Erwin Rodr´ıguez
[
t 0 ,
t 0 (α)^1 /n
]
El Teorema 2 es para el caso en el que la distribuci´on de T sea la de una v.a. continua, cuando T es una v.a. discreta podemos utilizar el siguiente
Teorema 3 (Pivoteando de una funci´on de distribuci´on discreta) Sea T una estad´ıstica discreta con funci´on de distribuci´on P (T ≤ t|θ) y sea α 1 +α 2 = α con 0 < α < 1 fijo. Para cada t ∈ ̟ en donde ̟ es el espacio de todos los valores posibles de T. Se define θL(t 0 ) y θU (t 0 ) como sigue (t 0 = T (x 1 , x 2 ,... , xn) es el valor que toma la estad´ıstica al evaluar la m.a. observada)
- Si P (T ≤ t|θ) es decreciente como funci´on de θ para cada t, encontramos θL(t 0 ) y θU (t 0 ) de forma que aproximadamente se cumpla que
P (T ≤ t 0 |θU (t 0 )) = α 1 y P (T ≥ t 0 |θL(t 0 )) = α 2
- Si P (T ≤ t|θ) es creciente como funci´on de θ para cada t, encontramos θL(t 0 ) y θU (t 0 ) de forma que aproximadamente se cumpla que
P (T ≥ t 0 |θU (t 0 )) = α 1 y P (T ≤ t 0 |θL(t 0 )) = α 2
Entonces [θL(t 0 ), θU (t 0 )] es un intervalo del (1 − α)100 % de confianza para θ.
Una elecci´on com´un es tomar α 1 = α 2 = α/2, pero esto no garantiza que encontremos el intervalo de confianza ´optimo, en el sentido de que tenga longitud m´ınima.
Ejemplo 5 Sea X 1 , X 2 ,... , X 10 una m.a. de una Bernoulli(p), vamos a construir un intervalo del 95 % confianza para p.
Supongamos que en la muestra se observa xi = 0 ∀i 6 = 3 y x 3 = 1, entonces ¯x = 101.
Si utilizamos el intervalo asint´otico (7.20), llegamos a que el intervalo del 95 % de confianza para p ser´ıa (−. 0859 , .2859). Claramente hay un problema con este intervalo, pues 0 ≤ p ≤ 1. Una s´oluci´on ser´ıa cortarlo y reportarlo como (0, .2859); sin embargo, este intervalo ya no es del 95 % de confianza, adem´as si la cota inferior manifestaba problemas obvios, la cota superior tambi´en debe tener problemas aunque no sean evidentes. El problema aqu´ı en realidad es que la m.a. con la que estamos trabajando es de tama˜no 10 y estamos construyendo un intervalo asint´otico, entonces, aunque el intervalo no tuviera problemas visibles, estar´ıamos cometiendo un gran error al basar nuestras inferencias en ´el.
Para evitar este tipo de problemas vamos a utilizar el Teorema 3 para construir un intervalo de confianza para p.
Estamos trabajando con una m.a. de una Bernoulli(p), entonces nos conviene usar como estad´ısti- ca a T =
1 Xi^ que es suficiente para^ p, adem´as, sabemos que^ T^ =^
1 Xi^ ∼^ Bin(10, p), entonces
7.4. PIVOTEANDO LA FUNCI ON DE DISTRIBUCI ´ ON´ Carlos Erwin Rodr´ıguez
- 025 = P (T ≥ t 0 |pL(t 0 )) = P (T ≥ 1 |pL(1)) = 1 − P (T < 1 |pL(1)) = 1 − P (T = 0|pL(1)) ⇒ P (T = 0|pL(1)) = 0. 975
Haciendo de nuevo una tabla de valores en R
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] p 0.0023 0.0024 0.0025 0.0026 0.0027 0.0028 0.0029 0. P(t=0|p) 0.9772 0.9763 0.9753 0.9743 0.9733 0.9724 0.9714 0.
De donde se tiene que P (T = 0| 0 .0025) = 0. 9753 ⇒ pL(1) = 0.0025. Entonces el intervalo del 95 % de confianza para p es [0. 0025 , 0 .445], que por supuesto es muy amplio, esto se debe a que se cuenta con s´olo una m.a. de tama˜no 10. ||
Ya vimos c´omo funcionan los teoremas 2 y 3, para construir intervalos de confianza, sin embargo, nos falta entender porqu´e podemos derivar un intervalo de confianza de esta forma. Nos remitiremos s´olo a explicar el Teorema 2, el caso en el que T es una v.a. continua con funci´on de distribuci´on FT (t|θ).
Primero hay que recordar c´omo definimos un intervalo de confianza para θ. Necesitamos encontrar dos estad´ısticas L(X) y U (X) tales que L(X) ≤ U (X) ∀ X = (X 1 , X 2 ,... , Xn) para las cuales
P (L(X) ≤ θ ≤ U (X)) = 1 − α (7.23) Entonces la pregunta es ¿c´omo con el Teorema 2 estamos construyendo algo como (7.23)? La primera parte de la respuesta viene dada por el siguiente
Teorema 4 Sea T una v.a. continua con funci´on de distribuci´on FT (t|θ), definamos la variable aleato- ria Y = FT (T |θ)
entonces Y es una v.a. con distribuci´on uniforme en (0, 1) (Y ∼ U (0, 1)).
Observaci´on 7 Hay que poner atenci´on, en c´omo se defini´o Y , Y = FT (T |θ). La funci´on de dis- tribuci´on est´a evaluada en T la v.a. no en t el n´umero real.
No demostraremos este teorema, sin embargo, para convencernos de manera informal de que debe ser cierto, podemos generar una m.a. de tama˜no 10, 000 de normales, gammas, exponenciales, T de Student, etc, cualquier m.a. de variables aleatorias continuas, luego evaluamos cada elemento de la muestra en su funci´on de distribuci´on y por ´ultimo realizamos el histograma de las observaciones resul- tantes. El histograma obtenido debe parecerse a la funci´on de densidad de probabilidad de una U (0, 1).
Con el Teorema 4, la notaci´on del Teorema 2, si α 1 < 1 − α 2 y T es una v.a. continua, entonces
1 − α = 1 − α 2 − α 1 (7.24) = P (α 1 ≤ U ≤ 1 − α 2 ) (7.25) = P (α 1 ≤ FT (T |θ) ≤ 1 − α 2 ) (7.26) = P (θL(T ) ≤ θ ≤ θU (T )) (7.27)
7.4. PIVOTEANDO LA FUNCI ON DE DISTRIBUCI ´ ON´ Carlos Erwin Rodr´ıguez
En donde (7.25) es la probabilidad de que una v.a. U (uniforme (0,1)) est´e entre α 1 y 1 − α 2 , (7.26) es simplemente aplicar el Teorema 4 y en (7.27) estamos “pivoteando” FT (T |θ). Si podemos llegar a (7.27), entonces la definici´on (7.23) se cumple y por lo tanto habremos construido un intervalo de confianza. El ´unico paso que no resulta totalmente claro es (7.27), que explicaremos a continuaci´on.
No podemos manejar el intervalo aleatorio [θL(T ), θU (T )], entonces utilizamos el valor observado de T , t 0 , por lo que tendr´ıamos el intervalo [θL(t 0 ), θU (t 0 )]. Entonces nuestro problema se reduce a “pivotear” FT (t 0 |θ) y obtener [θL(t 0 ), θU (t 0 )]. En el caso en el que FT (t 0 |θ) es una funci´on decreciente de θ, lo que tendr´ıamos que hacer se muestra en la figura 7.5.
θ
FT (t^0
|θ)
θL(t 0 ) θU(t 0 )
α 1
1 − α 2
Figura 7.5: Pivoteando una funci´on de distribuci´on continua
De la gr´afica anterior, podemos ver que si encontramos θL(t 0 ) y θU (t 0 ) de forma que FT (t 0 |θU (t 0 )) = α 1 y FT (t 0 |θL(t 0 )) = 1 − α 2 , entonces habremos obtenido un intervalo de confianza del (1 − α)100 %. Esto es exactamente lo que nos dice el Teorema 2, en el caso en que FT (t|θ) es una funci´on decreciente de θ. En el caso en el que FT (t|θ) es una funci´on creciente de θ las cosas cambiar´ıan, es conveniente realizar el gr´afico correspondiente y comparar el resultado con el Teorema 2.
Observaci´on 8 Si FT (t|θ) no es una funci´on creciente ni decreciente de θ, entonces tambi´en podremos utilizar los teoremas 2 y 3, sin embargo, no obtendremos un intervalo, obtendr´ıamos un conjunto de confianza, que seguramente, en t´erminos pr´acticos, ser´a dif´ıcil de interpretar y manejar.
Observaci´on 9 Los teoremas 2 y 3 no nos garantizan obtener el intervalo de confianza del (1 − α)100 % para θ ´optimo, en el sentido de que sea el que tenga la longitud m´ınima. S´olo nos garantizan un intervalo de confianza.
Con esta explicaci´on concluimos este cap´ıtulo, m´as adelante veremos c´omo construir pruebas de hip´otesis y estableceremos el fuerte v´ınculo entre pruebas de hip´otesis e intervalos de confianza. Por ahora s´olo diremos que a partir de cualquier intervalo de confianza podremos construir una prueba de hip´otesis, adem´as, el rec´ıproco tambi´en es cierto, esto lo veremos en el cap´ıtulo siguiente.
