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Colegio "Santo Domingo Savio"
Nivel Secundario
C·lculo
LÌmites y Continuidad
Profesor:Orlando Rodriguez A.
Curso:
o A cbba 01 de agosto del 2022
Limite de una funciÛn: El lÌmite de una funciÛn en un punto es obtener
el valor al que se va aproximando esa funciÛn cuando x tiende a un determi-
nado punto, pero sin llegar a ese punto.
Se representa de la siguiente manera:
lim x !x 0
f (x) = L
Cuya representaciÛn geometrica es:
Ejemplo 1 : ) Si se desea investigar el comportamiento de la funciÛn f
deÖnida por f (x) = x^2 + 1 ; para valores cercanos a 3 tanto menores como
mayores a este valor. En la tabla siguiente se muestran los valores de f (x)
para valores aproximados pero no iguales a 3 por derecha e izquierda :
De donde se concluye que:
lim x ! 3
f (x) = lim x ! 3
(x
2
Ejemplo 2 : ) Estimar el valor del limite de las siguientes funciones por
evaluaciÛn:
a) lim x! 5
x
2 25
x + 5
b) lim x! 0
tan 6x
e^2 x^ 1
c) lim x! 0
1 cos x
x^2
DeÖniciÛn de Limite: Una funciÛn f tiende hacia el limite L en a si
para todo " > 0 , existe algun > 0 , tal que jf (x) Lj < " siempre que
jx aj < :O se deÖne tambien como :
8 " > 0 ; 9 > 0 talque si jx aj < entonces jf (x) Lj < "
Se puede deducir de la deÖniciÛn, que para que exista el lÌmite L de una
funciÛn f (x) es necesario que se forme un entorno de L en f (x) siempre y
cuando se pueda generar un entorno reducido de a en x.
Dado que el entorno de L es: fy jL " < y < L + "g, el entorno reducido
de a es: fx j a < x < a + ; x 6 = ag, donde y " pueden ser tan pequeÒas
como se desee, por lo que se pueden generar una inÖnidad de entornos cada
vez m·s pequeÒos, siempre que x 6 = a. Esto puede interpretarse como la
formaciÛn de rect·ngulos cada vez m·s pequeÒos que incluyan al punto (a; L).
Gr·Öcamente esto es:
jf (x) Lj = j(3x 1) 5 j
jf (x) Lj = j 3 x 6 j = j3(x 2)j
jf (x) Lj = 3 jx 2 j
jf (x) Lj < 3
Siendo un cantidad positiva muy pequeÒa tomamos =
" 3
jf (x) Lj < 3
=) jf (x) Lj < " L.Q.Q.D
b) limx! 1 (x^2 + 3x + 4) = 8 ; para todo " > 0 ; existe > 0 tal que
jx 1 j < entonces :
jf (x) Lj = (x
2
jf (x) Lj = x
2
jf (x) Lj = jx 1 j jx + 4j
jf (x) Lj < jx + 4j
Si = 1 tenemos jx 1 j < 1 =) 1 < x 1 < 1 =) 0 < x < 2 por lo
tanto acotamos g(x) = jx + 4j con jxj < 2
jx + 4j jxj + j 4 j
jx + 4j < 2 + 4
jx + 4j < 6
Por lo tanto :
jf (x) Lj < (6)
Tomamos = min
" 6
jf (x) Lj < 6
=) jf (x) Lj < " L.Q.QD
c) limx! 1 (x^3 2 x^2 + 5x 3) = 11 ; para todo " > 0 ; existe > 0 tal
que jx + 1j < entonces :
jf (x) Lj = (x
3 2 x
2
jf (x) Lj = x
3 2 x
2
jf (x) Lj = (x + 1)(x
2 3 x + 8)
jf (x) Lj = jx + 1j x
2 3 x + 8
jf (x) Lj x
2 3 x + 8
Si = 1 tenemos jx + 1j < 1 =) 1 < x + 1 < 1 =) 2 < x < 0 por
lo tanto acotamos g(x) = jx
2 3 x + 8j con jxj < 2
x
2 3 x + 8 x
2
x
2 3 x + 8 jxj
2
x
2 3 x + 8 < 2
2
x
2 3 x + 8 < 18
Por lo tanto :
jf (x) Lj < (18)
Tomamos = min
" 18
jf (x) Lj < 18
=) jf (x) Lj < " L.Q.QD
Ejemplo 4 : ) Demostrar los siguientes limites por y :
a) lim x! 2
(4x 5) = 3
b) lim x! 1
(x
2 2 x 6) = 7
lim x! 2
(x
3 5 x
2 12 x + 11) = 7
PROPIEDADES DE LOS LÕMITES: Sean limx!a f (x) , limx!a g(x)
dos lÌmites que existen y K una constante. Entonces:
- lim x !a
(Kf (x)) = K lim x !a
f (x)
- lim x !a
(f (x) g(x)) = lim x !a
f (x) lim x !a
g(x)
- lim x !a
(f (x) g(x)) = lim x !a
f (x) lim x !a
g(x)
IndeterminaciÛn del Tipo
0
0 :^ Este tipo de indeterminaciones se
producen porque existenalgunos factores en el numerador y denominador
que lo hacen cero y que sera conveniente eliminar mediante algun metodo
matem·tico (factorizaciÛn, cambio de varaible , racionalizacion , etc.).
Ejemplo 6 : ) Calcular los siguientes limites:
a) lim x ! 1
x^2 + 4x 5
x^2 4 x + 3
b) lim x ! 2
p 2 + x 2
4 x^2
c) lim x ! 3
p 3 5 + x
p 3 x^2 1 p x + 1 2
Solucion : a) Primeramente se hace el paso al lÌmite:
lim x ! 1
x
2
x^2 4 x + 3
2
12 4(1) + 3
Lo cual representa una indeterminaciÛn , a continuacion se levantar· la
indeterminaciÛn :
b)
lim x ! 2
p 2 + x 2
4 x^2
p 2 + 2 2
4 (2)^2
c)
lim x ! 3
p 3 5 + x
p 3 x^2 1 p x + 1 2
3
p 5 + 3
p 3 32 1 p 3 + 1 2
Para levantar la indeterminaciÛn sera necesario el siguiente producto no-
table : a
3 b
3 = (a b)(a
2
2 )
limx! 3
p (^3) 5+x p (^3) x (^2) 1 p x+1 2
= limx! 3
p 5+x 3
p x^2 (^1) )
( 3
p 5+x)
2
p 5+x 3
p x^2 1+( 3
p x^2 (^1) )
2
p x+1 (^2) )
( 3
p 5+x)
2
p 5+x 3
p x^2 1+( 3
p x^2 (^1) )
2
limx! 3
p (^3) 5+x p (^3) x (^2) 1 p x+1 2
= limx! 3
p 5+x)
3 ( 3
p x^2 (^1) )
3 (
p x+1+2)
(
p x+1 (^2) )(
p x+1+2)
(
p (^3) 5+x )
2
p 5+x 3
p x^2 1+( 3
p x^2 (^1) )
2
limx! 3
p (^3) 5+x p (^3) x (^2) 1 p x+1 2
= limx! 3
(5+x x^2 +1)(
p x+1+2) (
p x+1)
2 22
( 3
p 5+x)
2
p 5+x 3
p x^2 1+( 3
p x^2 (^1) )
2
Apartir de la gr·Öca se puede concluir:
Area 4 OP Q Area Sector OAP Area 4 OAB
OQ P Q
2
dAP
(1)(AB)
cos x sin x
2
x
2
tan x
2
=) sin x cos x x tan x
Por tanto :
sin x
x
cos x
^ cos x
sin x
x
cos x
sin x
x
cos x
Si tomamos limite cuando x ! 0 , por lo tanto se tiene :
1 lim x ! 0
sin x
x
1 =) lim x ! 0
sin x
x
lim x ! 0
1 cos x
x
= lim x ! 0
(1 cos x) (1 + cos x)
x (1 + cos x)
lim x ! 0
1 cos x
x
= lim x ! 0
1 cos^2 x
x (1 + cos x)
lim x ! 0
1 cos x
x
= lim x ! 0
sin
2 x
x (1 + cos x)
= lim x ! 0
sin x
1 + cos x
sin x
x
lim x ! 0
1 cos x
x
= lim x ! 0
sin x
1 + cos x
lim x ! 0
sin x
x
lim x ! 0
1 cos x
x
limx! 0 sin x
limx! 0 (1 + sin x)
lim x ! 0
1 cos x
x
Eejmplo 8 : ) Calcular los siguientes lÌmites:
a) lim x ! 0
sin 2x + sin 3x
sin 4x + sin 5x
b) lim x ! 0
1 cos 3x
x^2
c) lim x!
x sin
x
d) lim x !
sin x
x
Solucion : a) Para este limite sera necesario recurrir al lÌmite elemental
() :
lim x ! 0
sin 2x + sin 3x
sin 4x + sin 5x
sin 2(0) + sin 3(0)
sin 4(0) + sin 5(0)
lim x ! 0
sin 2x + sin 3x
sin 4x + sin 5x
= lim x ! 0
(^) sin 2x+sin 3x x sin 4x+sin 5x x
lim x ! 0
sin 2x + sin 3x
sin 4x + sin 5x
= lim x ! 0
(^) sin 2x x +^
sin 3x x sin 4x x +^
sin 5x x
lim x ! 0
sin 2x + sin 3x
sin 4x + sin 5x
limx! 0
sin 2x x +^
sin 3x x
limx! 0
sin 4x x +^
sin 5x x
lim x ! 0
sin 2x + sin 3x
sin 4x + sin 5x
limx! 0
sin 2x x
sin 3x x
limx! 0
sin 4x x
sin 5x x
lim x ! 0
sin 2x + sin 3x
sin 4x + sin 5x
limx! 0
2 sin 2x 2 x
3 sin 3x 3 x
limx! 0
4 sin 4x 4 x
5 sin 5x 5 x
lim x ! 0
sin 2x + sin 3x
sin 4x + sin 5x
2 limx! 0
sin 2x 2 x
sin 3x 3 x
4 limx! 0
sin 4x 4 x
sin 5x 5 x
Se realiza el siguiente cambio de variable :
Sea u = 2 x si x ! 0 =) u ! 0
Sea v = 3 x si x ! 0 =) v ! 0
Sea t = 4 x si x ! 0 =) t ! 0
Sea w = 2 x si x ! 0 =) w ! 0
lim x ! 0
sin 2x + sin 3x
sin 4x + sin 5x
2 limu! 0
sin u u
sin v v
4 limt! 0
sin t t
sin w w
lim x ! 0
sin 2x + sin 3x
sin 4x + sin 5x
lim x ! 0
sin 2x + sin 3x
sin 4x + sin 5x
lim x !
sin x
x
= lim u ! 0
sin u cos
u
cos u sin
u
= lim u ! 0
sin u( 1)
u
cos u(0)
u
lim x !
sin x
x
= lim u ! 0
sin u
u
u
= lim u ! 0
sin u
u
= lim u ! 0
sin u
u
lim x !
sin x
x
Ejemplo 9 : ) Calcular los siguientes lÌmites:
a) lim x! 0
2 sin 3x
5 x
b) lim x! 0
cos 2x cos 5x
x^2
c) lim x! 2
x
tan x
IndeterminaciÛn del tipo "^11 " o "1 1" : Este tipo de indeter-
minaciones se presentan generalmente cuando x ! 1 ; Se tiene el siguiente
lÌmite elemental
Si lim x !
x
= 0 =) lim x !
x
n
= 0 n 2 N
Ejemplo 10 : ) Calcular los siguientes lÌmites:
a) lim x !
p x + 3
p x
b) lim x !
3 x^2 5 x 2
x^2 4
c) lim x !
(2x + 3)^5 (x 3)^2 (3x 1)
4 x^8 x^2 + 1
Solucion : a)
lim x !
p x + 3
p x
p 1 + 3
p 1 = 1 1
lim x !
p x + 3
p x
= lim x !
p x + 3
p x
p x + 3 +
p x
p x + 3 +
p x
lim x !
p x + 3
p x
= lim x !
p
x + 3
p x)
2
p x + 3 +
p x
A
lim x !
p x + 3
p x
= lim x !
x + 3 x p x + 3 +
p x
lim x !
p x + 3
p x
= lim x !
p x + 3 +
p x
p 1 + 3 +
p 1
lim x !
p x + 3
p x
b)
lim x !
3 x^2 5 x 2
x^2 4
3( 1 )^2 5( 1 ) 2
( 1 )^2 4
lim x !
3 x
2 5 x 2
x^2 4
= lim x !
3 x^2 5 x 2 x^2 x^2 4 x^2
= lim x !
3 x^2 x^2 ^
5 x x^2 ^
2 x^2 x^2 x^2 ^
4 x^2
lim x !
3 x
2 5 x 2
x^2 4
limx!
5 x ^
2 x^2
limx!
4 x^2
limx!1 3 limx!
5 x
limx!
2 x^2
limx!1 1 limx!
4 x^2
lim x !
3 x^2 5 x 2
x^2 4
c)
lim x !
(2x + 3)
5 (x 3)
2 (3x 1)
4 x^8 x^2 + 1
5 (1 3)
2 (3( 1 ) 1)
4( 1 )^8 ( 1 )^2 + 1
lim x !
(2x + 3)^5 (x 3)^2 (3x 1)
4 x^8 x^2 + 1
= lim x !
(2x+3)^5 (x 3)^2 (3x 1) x^8 4 x^8 x^2 + x^8
lim x !
(2x + 3)^5 (x 3)^2 (3x 1)
4 x^8 x^2 + 1
= lim x !
(2x+3)^5 x^5
(x 3)^2 x^2
(3x 1) x 4 x^8 x^8 ^
x^2 x^8 +^
1 x^8
lim x !
(2x + 3)^5 (x 3)^2 (3x 1)
4 x^8 x^2 + 1
= lim x !
2 x+ x
x 3 x
3 x 1 x
1 x^6 +^
1 x^8
lim x !
(2x + 3)^5 (x 3)^2 (3x 1)
4 x^8 x^2 + 1
= lim x !
2 x x
x
x x
x
3 x x
x
1 x^6 +^
1 x^8
lim x!
x + 1
x 2
^2 x^2 ^1 x = lim x!
x + 1 x + 2
x 2
^2 x^2 ^1 x
lim x!
x + 1
x 2
^2 x^2 ^1 x = lim x!
x 2
^2 x^2 ^1 x
lim x!
x + 1
x 2
2 x^2 1 x = lim x!
x 2 3
2 x^2 1 x
lim x!
x + 1
x 2
^2 x^2 ^1 x = lim x!
x 2 3
x ^2 3 ^
3 x 2
#^2 x^2 ^1 x
lim x!
x + 1
x 2
^2 x^2 ^1 x = lim x!
x 2 3
x ^2 3
x 2 ^
2 x^2 1 x
lim x!
x + 1
x 2
^2 x^2 ^1 x = e
limx!
3 x 2 ^
2 x^2 1 x
= e
limx!
6 x^2 3 x(x 2)
lim x!
x + 1
x 2
^2 x^2 ^1 x = e
limx!
6 x^2 3 x^2 2 x
= e
limx!
0
@
6 x^2 x^2
3 x^2 x^2 x^2 ^
2 x x^2
1
A
lim x!
x + 1
x 2
^2 x^2 ^1 x = e
limx!
6 3 x^2 1 (^2) x
!
= e
6 0 1 (^0) = e^6
b) Primero el paso al limite
lim x! 0
(cos x)
1 x^2 = (cos 0)
1 (^0) = 1^1
ahora se lenvantar· la indeterminaciÛn:
lim x! 0
(cos x)
1 x^2 = lim x! 0
(1 + (cos x 1))
1 x^2
lim x! 0
(cos x)
1 x^2 = lim x! 0
[(1 + (cos x 1))]
cos x 1 cos x 1 ^
1 x^2
lim x! 0
(cos x)
1 x^2 = lim x! 0
h (1 + (cos x 1))
1 cos x 1
icos^ x ^1 x^2
lim x! 0
(cos x)
1 x^2 = elimx!^0 (
cos x 1 x^2
coscos^ xx+1+1 )
lim x! 0
(cos x)
1 x^2 = e
limx! 0
cos^2 x 1 x^2 (cos x+1)
lim x! 0
(cos x)
1 x^2 = elimx!^0
sin^2 x x^2 ^
1 (cos x+1)
lim x! 0
(cos x)
1 x^2 = e
limx! 0
sin^2 x x^2
limx! 0 ( (^) (cos 1 x+1) )
lim x! 0
(cos x)
1 x^2 = e (limx!^0 (
sin x x ))
2 (^) (cos 0+1)^1
lim x! 0
(cos x)
1 x^2 = e ^1 ^
1 1+1 (^) = e ^
1 2
c) El paso al lÌmite :
lim x!
x^2 + 4x + 1
x^2 3 x
4 x
=
ahora se lenvantar· la indeterminaciÛn:
lim x!
x^2 + 4x + 1
x^2 3 x
4 x
= lim x!
x^2 + 4x + 1
x^2 3 x
4 x
lim x!
x^2 + 4x + 1
x^2 3 x
4 x
= lim x!
x^2 + 4x + 1 x^2 + 3x
x^2 3 x
4 x
lim x!
x^2 + 4x + 1
x^2 3 x
4 x
= lim x!
7 x + 1
x^2 3 x
4 x
lim x!
x^2 + 4x + 1
x^2 3 x
4 x
= lim x!
x(x 3) 7 x+
! 4 x
lim x!
x
2
x^2 3 x
4 x
= lim x!
x(x 3) 7 x+
! 4 x x 3 7 x+1 ^
7 x+ x 3
lim x!
x^2 + 4x + 1
x^2 3 x
4 x
= lim x!
x(x 3) 7 x+
!x(x 3) 7 x+
4 (^7) xx +1 3
lim x!
x^2 + 4x + 1
x^2 3 x
4 x
= e
limx!1( 4 (^7) xx +1 3 )
lim x!
x^2 + 4x + 1
x^2 3 x
4 x
= e
limx!
(^28) x x +
4 x x x ^
3 x
lim x!
x
2
x^2 3 x
4 x
= e
limx!
28+^4 x 1 (^3) x
= e
28
La continuidad de f en x = a implica que se cumplan estas tres condi-
ciones:
a.-) Existe el lÌmite de la funciÛn f (x) en x = a.
b.-) La funciÛn est· deÖnida en x = a, es decir, existe f (a).
c.-) Los dos valores anteriores coinciden.
Tambien se puede aÖrmar que una funciÛn es continua si sus limites lat-
erales son iguales:
lim x!a ^
f (x) = lim x!a+^
f (x)
Ejemplo : 7) Determina los valores de A y B que hacen que la funciÛn:
f (x) =
sin x A Si x <
cos x + B Si x < 0
ex^ 1 Si x 0
Sea continua en R:
Solucion : Si x! por izquierda y derecha
lim x! ^
f (x) = lim x! +^
f (x)
lim x! ^
(sin x A) = lim x! +^
(cos x + B)
sin( ) A = cos( ) + B
A = 1 + B =) B = 1 A ()
lim x! 0 ^
f (x) = lim x! 0 +^
f (x)
lim x! 0 ^
(cos x + B) = lim x! 0 +^
(e
x 1)
cos(0) + B = e
0 1
1 + B = 1 1 =) 1 + B = 0
B = 1 =) A = 2
Por tanto f es continua en R , si A = 2 y B = 1
