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Bibliografía
Mecánica vectorial para ingeniería (Ferdinand P. Beer y E. Russell Johnton Jr.)
Mecánica vectorial para ingenieros( Harry Nara.)
Mecánica vectoria para ingenieros( T. C. Huang)
Curso breve de mecánica teórica (S.M. Targ.)
Mecánica vectorial para ingenieros – estática (R. C.. Hibbelerr)
Que es la Mecánica?
La mecánica puede ser definida como la rama de las ciencias físicas que trata del
estado de reposo o movimiento de los cuerpos sujetos a la acción de fuerzas. En
términos generales, el tema se subdivide en tres ramas:
Mecánica de cuerpos rígidos
Mecánica de cuerpos deformables
Mecánica de fluidos.
Esta clase trata solamente de la mecánica de cuerpos rígidos, dado que esta rama es la
que se requiere para el diseño y análisis de múltiples tipos de dispositivos estructurales,
mecánicos y eléctricos de la ingeniería. Debe agregarse que la mecánica de cuerpos
rígidos es parte de la base necesaria en el estudio de la mecánica de cuerpos deforma-
bles y la mecánica de fluidos.
La mecánica de cuerpos rígidos se divide en dos áreas: estática y dinámica. La estática
trata del equilibrio de los cuerpos, es decir, de los que se encuentran en estado de
reposo o se mueven con velocidad constante; en tanto que la dinámica se ocupa del
Movimiento acelerado de los cuerpos. Aunque la estática puede considerarse como
parte de la dinámica en la que la aceleración sea cero. En la estática debe tratarse
aparte en los estudios de ingeniería ya que muchos objetos se diseñan con la intención
de permanecer en equilibrio.
Conceptos fundamentales
Cantidades Básicas: longitud, tiempo, masa (propiedad de la materia por medio de la
cual podemos comparar la acción de un cuerpo sobre otro) y la fuerza (acción de tirar o
empujar ejercida por un cuerpo sobre el otro).
Idealizaciones: En la mecánica se usan modelos o idealizaciones para simplificar la
aplicación de la teoría. Algunas de las idealizaciones más importantes se definirán
ahora; otras idealizaciones notables, por otra parte, se explicarán en el momento
oportuno.
Partícula: Una partícula tiene masa pero tamaño despreciable. Por ejemplo, el tamaño
de la Tierra es insignificante comparado con el de su órbita y, por tanto, la Tierra puede
pensarse como si fuera una partícula al estudiar su movimiento orbital. Cuando un
cuerpo es idealizado como partícula, los principios de la mecánica se reducen a una
forma simplificada porque entonces la geometría del cuerpo quedará fuera del análisis
del problema.
Cuerpo rígido: Un cuerpo rígido puede considerarse como la combinación de un gran
número de partículas en la que todas las partículas permanecen a distancias fijas entre
sí antes y después de aplicar una carga. En consecuencia, las propiedades materiales
de un cuerpo cualquiera, que se considere como rígido, no tendrán que tomarse en
cuenta al analizar las fuerzas que actúan sobre él. En la mayor parte de los casos, las
deformaciones que se dan en las estructuras, máquinas, mecanismos y objetos
semejantes son relativamente pequeñas, siendo adecuada la hipótesis de cuerpo rígido
para efectos del análisis.
Carga Concentrada : representa el efecto de una carga que se supone que actúa en un
punto del cuerpo. Este efecto se puede representar por medio de una fuerza con-
centrada, siempre y cuando el área de aplicación de la carga sea muy pequeña en
comparación con el tamaño total del cuerpo.
Leyes de Newton:
Primera ley: Una partícula inicialmente en reposo o moviéndose en línea recta y a
velocidad constante permanecerá en este estado a condición de que la partícula no se
sujete a una fuerza desequilibrada.
Segunda ley: Una partícula sobre la cual actúa una fuerza desequilibrada F experimenta
una aceleración a que tiene la misma dirección que la fuerza y una magnitud
directamente proporcional a la fuerza. Si se aplica F a la partícula de masa m, esta ley
puede expresarse matemáticamente como F = m .a
Tercera ley : Las fuerzas mutuas de acción y reacción entre dos partículas son iguales,
opuestas y colineales.
Ley de la gravitación universal de Newton: Newton postuló una ley que rige la atracción
gravitacional entre dos partículas cualesquiera. El enunciado matemático es.
2
1 2
r
mm
F G
F = fuerza de gravitación entre las partículas
G = constante de gravitación universal; de acuerdo con la evidencia experimental, G =
66.73 (
1
2
)m
3
/ (kg • s
2
)
m1, m2 = masa de cada una de las dos partículas
r = distancia entre las dos partículas
Peso: la fuerza entre la tierra y la partícula es conocida como peso y es la única fuerza
gravitacional a considerar en el estudio de la mecánica. W = mg donde g = 9.81m/ s2.
Sistemas de Unidades
La potencia exponencial representada para una unidad con prefijo afecta la unidad y el
prefijo.
Las constantes físicas y los números que tengan varios dígitos a uno y otro lado del
punto decimal deberán escribirse con un espacio entre cada grupo de tres dígitos en
vez de una coma; por ejemplo, 73 569.213 427. Para el caso de sólo cuatro dígitos a
uno u otro lado del punto decimal, el espaciamiento es opcional; por ejemplo 8357 o
indistintamente 8 357. Además, conviene usar siempre decimales y evitarlas fracciones.
Al efectuar cálculos, se debe representar los números en términos de sus unidades
básicas o derivadas, convirtiendo todos los prefijos a potencias de 10. El resultado final
deberá expresarse usando un solo prefijo. No deben utilizarse prefijos compuestos. A
excepción de la unidad básica kilogramo, debe evitarse en general el uso de un prefijo
en el denominador de unidades compuestas. No debe escribirse, por ejemplo, N/mm,
sino kN/m; así también, m/mg se escribirá como mm/kg.
Algunas unidades básicas:
Para Área:
1 Acre = 0.4046863 Ha
1 Ha = 0.01 km
Longitud
1 yd = 36 in
1 ft = 12 in
1 Vr = 33 in
1mi = 1.609344 km
Fuerza
1 N = 9.80665 Kgf
Volumen
1 gal = 3.785412 lt
1 m3 = 1000 lt
Presion
1cm Hg = 1333.224 Pa
1 Atm = 76 cm Hg
1 PSI = 6894.757 Pa
Masa
1 Kg = 2.20462 lb
1 Ton (corta) = 2240 lb
Manualmente se podrá realizar cualquier Conversión siempre y cuando se sepan las
unidades básicas.
Algunos ejemplos: (1000 Yd2 = 836.1274m2)( 1000 m2 = 10763.91 ft2 ) (10 Yd = 360
in) (10 N = 1.019716 Kgf) (48 Kg= 105.8218 lb) (90mi = 144.841 km)
Vectores de Fuerza
Dado que la fuerza es una cantidad vectorial debemos utilizar las reglas del algebra
vectorial. La mayor parte de las cantidades físicas se pueden expresar por
matemáticamente por vectores y escalares.
Un vector es toda cantidad que tiene magnitud, modulo, dirección y sentido. Pueden
representar mediante un segmento dirigido de recta, y obedece a la regla de adición
llamada regla del paralelogramo.
Se denomina magnitud a todo aquello que puede ser medido: la temperatura de un
cuerpo, el tiempo de duración de un cierto fenómeno, el volumen de una caja, la
longitud de una regla, la velocidad de un auto, la fuerza aplicada a un cierto cuerpo, etc.
Las magnitudes físicas se clasifican en magnitudes escalares (el tiempo, la
temperatura, el volumen, el área), las cuales quedan determinadas por un número que
corresponde a la medida y la unidad utilizada, mientras que las magnitudes vectoriales
(velocidad, aceleración, fuerza, cantidad de movimiento, desplazamiento), además de
un número y unidad de medida, requieren de la especificación de una dirección.
De una manera mas practica podremos decir que el módulo de un vector es la medida
del punto de origen a la punta del vector, mientras que su dirección está dada por un
ángulo medido a partir de una recta de referencia.
El vector A de la figura tiene una magnitud de 4 unidades, una dirección de 20°
medidos en sentido contrario al de las manecillas del reloj, a partir del eje horizontal, y
un sentido hacia arriba y a la derecha. El punto O es el punto inicial del vector y P su
extremo. En forma escrita, un vector se representa usualmente por medio de una letra
sobre la que se dibuja una flecha, como en A. La magnitud se denota |A| o simplemente
A. su magnitud siempre es positiva.
Multiplicación y división de un vector por un escalar
SenC
c
SenB
b
SenC
c
SenA
a
SenB
b
SenA
a
; ;
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
Los problemas que resultan de la adición de dos fuerzas y tienen a lo más dos
incógnitas pueden resolverse usando el procedimiento siguiente:
Ley del paralelogramo. se hace un diagrama de la adición vectorial por la regla del
paralelogramo. Si es posible, se determina los ángulos interiores del paralelogramo a
partir de la geometría del problema. Recuérdese que el total de la suma de estos
ángulos debe ser de 360°. Los ángulos desconocidos, así como las magnitudes de
fuerzas conocidas y desconocidas, deberán "etiquetarse" claramente en el diagrama.
Dibuje de nuevo una mitad del paralelogramo construido para ilustrar la adición
triangular de las componentes.
Trigonometría. Mediante la trigonometría, es posible determinar las incógnitas a partir
de los datos del triángulo. Si el triángulo no contiene un ángulo de 90°, podrá usarse la
ley de los senos y/o de los cósenos para la solución.
α = Cos
c
2
2
2
2 cb
La adición de vectores es conmutativa, o sea que los vectores se pueden sumar en
cualquier orden, es decir R =A + B = B + A.
Analíticamente un vector tiene componentes en el Eje de las Y y el Eje de las X.
Los vectores pueden así sumarse tal y como sigue.
R = F1+F2+F
Rx + Ry = (F 1
x
i
2
x
i
3
x
i
)+ (F
1
y
i
2
y
i
3
y
i
)
Rx + Ry = (F 1
x+ F
2
x+ F
3
x )i+ (F
1
y+ F
2
y
i
3
y )j
∑ Fx = Rx ∑Fy = Ry
R = (Rx
2
2
) ½
El ángulo será: θ = tan
(Ry/Rx)
Otros Conceptos Vectoriales
Se denominan vectores libres a aquellos vectores que pueden trasladarse de una
posición a otra, mientras no se altere su magnitud y dirección.
Se denominan vectores de posición a aquellos vectores cuyo origen esta en el origen
del plano cartesiano y cuya punta está determinada por una pareja de números reales.
De manera que a cada pareja de números reales le corresponde la punta de un vector
único de posición y viceversa. Los vectores de posición se pueden representar
mediante sus componentes rectangulares o bien mediante una combinación de
vectores unitarios en la dirección de los ejes coordenados.
Antes de definir las principales operaciones con los vectores, primero definiremos
algunos conceptos básicos.
Vectores equivalentes : Dos vectores son equivalentes si tienen el mismo módulo y la
misma dirección. De esta manera Si
1 2
x x , x
y
1 2
y y , y
, entonces,
1 1 2 2
x y x y x y
.
Vector nulo: Se denomina vector nulo a un vector cuyo módulo es 0. Para
representarlo o 0 , 0
.
Vector opuesto: Si
1 2
x x , x
entonces el opuesto de x
, denotado como x
es el
vector
1 2
x x , x
.
Vectores unitarios: Se denomina vector unitario a un vector cuyo módulo es la unidad.
Los vectores unitarios en la dirección de los ejes coordenados son: 1 , 0
i y
j.
Notación de los vectores en dos dimensiones.
Si
1 2
x x , x
y además
1 2
y y , y
, entonces podemos representar como una
combinación de los vectores unitarios, o sea: x xi x j
1 2
y y yi y j
1 2
.
Los vectores de posición en tres dimensiones se pueden representar mediante sus
componentes rectangulares o bien mediante una combinación de vectores unitarios en
la dirección de los ejes coordenados.
Antes de definir las principales operaciones con los vectores en tres dimensiones,
definiremos algunos conceptos básicos.
Vectores equivalentes. Dos vectores son equivalentes si tienen el mismo módulo y la
misma dirección. De esta manera Si
1 2 3
x x , x , x
y
1 2 3
y y , y , y
, entonces,
1 1 2 2 3 3
x y x y x y x y
.
Vector nulo. Se denomina vector nulo en tres dimensiones, a un vector cuyo módulo es
- Para representarlo o 0 , 0 , 0
.
Vector opuesto. Si
1 2 3
x x , x , x
entonces el opuesto de x
, denotado como x
es
el vector
1 2 3
x x , x , x
.
Vectores unitarios: Se denomina vector unitario a un vector cuyo módulo es la unidad.
Los vectores unitarios en la dirección de los ejes coordenados son: 1 , 0 , 0
i ,
j
y 0 , 0 , 1
k
Notación de los vectores en tres dimensiones. Si
1 2 3
x x , x , x
y además
1 2 3
y y , y , y
, entonces podemos representar como una combinación de los
vectores unitarios, o sea: x xi x j xk
1 2 3
y y yi y j yk
1 2 3
.
Módulo de un vector
Si
1 2 3
x x , x , x
o bien x xi x j xk
1 2 3
, entonces
2
3
2
2
2
1
x x x x.
Dirección de un vector: Está dada por los cósenos directores, los que se calculan
como:
a)
x
x
Cos
1
, b)
x
x
Cos
2
, c)
x
x
Cos
3
Vector unitario en la dirección de un vector.
Si
1 2 3
x x , x , x
o bien x xi x j xk
1 2 3
, entonces
x
x
u
x
.
Componentes rectangulares de un vector. Si se conoce el módulo y la dirección de un
vector, sus componentes rectangulares serán: cos
1
x x y cos
2
x x ,
cos
3
x x.
Si ( , , )
1 1 1 1
P x y z y ( , , )
2 2 2 2
P x y z entonces
2 1 2 1 2 1
1 2
x x , y y , z z PP
.
Operaciones con vectores en tres dimensiones.
Adición de vectores
Si
1 2 3
x x , x , x
y
1 2 3
y y , y , y
( x xi x j xk
1 2 3
y y yi y j yk
1 2 3
)
entonces:
1 1 2 2 3 3
x y x y , x y , x y
o
x y x y i x y j x y k
1 1 2 2 3 3
.
Sustracción de vectores
Si
1 2 3
x x , x , x
y
1 2 3
y y , y , y
( x xi x j xk
1 2 3
y y yi y j yk
1 2 3
)
entonces:
1 1 2 2 3 3
x y x y , x y , x y
o
x y x y i x y j x y k
1 1 2 2 3 3
.
Producto de un vector por un escalar
Si
1 2 3
x x , x , x
y R
, entonces
1 2 3
x x , x , x
.
Producto escalar de dos vectores.
Si
1 2 3
x x , x , x
y
1 2 3
y y , y , y
( x xi x j xk
1 2 3
y y yi y j yk
1 2 3
)
entonces: cos
1 1 2 2 3 3
x y x y x y x y x y
.
Producto vectorial
Si
1 2 3
x x , x , x
y
1 2 3
y y , y , y
( x xi x j xk
1 2 3
y y yi y j yk
1 2 3
)
entonces:
1 2 3
1 2 3
y y y
x x x
i j k
x y
O bien sen ˆ
x y x y
( x y ˆ
no es conmutativo)
Conceptos complementarios.
Vectores ortogonales: Dos vectores x
e y
son ortogonales (perpendiculares) si y
solo si x y 0
.
El vector
x y
es ortogonal tanto a x
como a
y
.
Vectores paralelos Dos vectores x
e y
son paralelos entre sí, si y solo si x y o
.
Distancia entre dos puntos en el plano.
a) Si
1 1 1
P x y y
2 2 2
P x y entonces
2
2 1
2
1 2 2 1
d ( P , P ) x x y y.
θ = 76.1º. Fab = 161 N
Determine la magnitud de la fuerza resultante y su orientación θ, medida en el sentido
contrario al de las manecillas del reloj desde la parte positiva del eje u
F = 218 N y θ = 66.6º
El anillo está sujeto a dos fuerzas, Fi y F2. Si se requiere que la fuerza resultante tenga
una magnitud de 1 kN y sea dirigida verticalmente hacia abajo, determine (a) las
magnitudes de F1 y F2 con la condición de que θ= 30°, y (b) las magnitudes de F1 y F2;
si F2 debe ser mínima
a) b)
a) F1 = 653 N y F2 = 446 N
b) F1 = 1000 sen 70° = 940 N F2 = 1000 sen 20° = 342 N
Determine la magnitud de la fuerza resultante Fr = F1 – F2 y su orientación , medida en
el sentido contrario al de las manecillas del reloj desde la parte positiva del eje x
FR = 474 lb y θ 75.4º
Determine la orientación de la fuerza de 500 N de manera que cuando la fuerza se
resuelva en dos componentes que actúan a lo largo de los miembro AB y AC, la
componente de la fuerza a lo largo de AC sea de 300 N con dirección de A a C. ¿Cuál
es la magnitud de la componente de fuerza que actúa a lo largo deAB?
F = 485 N y θ = 24.6º
Un cable ejerce una fuerza de 600 N sobre la estructura. Resuelva la fuerza en
componentes que actúan a lo largo de (a) los ejes c y v y (b) los e¡es y, u. ¿Qué
magnitud tiene cada componente?
a) Fx= 490 N, Fv = 669 N b) Fu= 179 N, Fy = 490 N
La fuerza horizontal F = 500 N actúa hacia la izquierda en A sobre la estructura de dos
miembros, Determine las magnitudes de las dos componentes de F dirigidas a lo largo
de los ejes de los miembros A By AC
Fac= 366 N Fba = 448 N
