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Limites, introduccion, propiedades y ejemplos
Tipo: Apuntes
1 / 27
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3
r
3
4
V
Necesitaríamos que el radio de la esfera sea exactamente
3
0
1 0. 001 V 1 0. 001 V 1 0. 001
V f (r en cercanías de )
3
0
1 1 1
¿A qué nos referimos cuando decimos que está “cerca” de?
0
Sea real, se dice entorno de centro a y radio sobre
la recta numérica al conjunto de valores de que satisfacen
a a
a
Sea real, se dice entorno reducido de centro a y radio
sobre la recta numérica al conjunto de valores de que
satisfacen
r
a a^
a
a
( )
(
)
L
a
Gráficamente
Observa que:
si cambia entonces cambia , esto es, depende de ,
para el dado se puede tomar un radio menor que
otra forma de notar que el límite de f cuando x tiende a a es L :
cuando
^
;
Sea
x a
a
¿Cómo ilustramos gráficamente este límite?
Se determina un franja vertical
limitada por las rectas
a a
L
L
Se trazan dos rectas
paralelas
Observa que en este caso no depende de .
x
y
Ing. F Buffo Análisis Matemático I 10
Ejemplo 1: Calcular
2
x 1
Observa:
el comportamiento de f para valores “cercanos a ” 1 , esto es en un
entorno reducido de 1 :
1 Dom(f ),
0.5 0.
0.9 0.
0.99 0.
0.999 0.
x 1 f(x)
1.5 0.
1.1 0.
1.01 0.
1.001 0.
x 1 f(x)
2
x 1
¿Cómo calculamos límites de funciones?
Ing. F Buffo Análisis Matemático I 11
1 0.
0.5 0.
0.01 0.
0.005 0.
Ejemplo 2: Calcular
x 0
es par,
el comportamiento de f para valores “cerca” de 0 :
0 Dom(f ),
f(x) f
x
sen x
x
sen x
x
sen( x )
f ( x )
x
x
sen x
x 0
Observa que se
usa la identidad
trigonométrica
Ejemplo 3: Calcular
x
lim sen
x
0
es impar,
para estudiar el comportamiento de f en un entorno reducido de 0
analicemos el gráfico de obtenido usando el programa excel.
0 Dom(f ),
f(x) f
x
sen
x
f ( x) sen
x
sen
-1,
-0,
0
0,
1
1,
-5 -3 -1 1 3 5
x
y
Observa que a medida que
nos acercamos a 0 el ángulo
crece y la función seno
oscila entre -1 y 1_._
no existe.
x 0
x 0
1 si x 0
0 si x 0
f(x )
la función tiene un comportamiento distinto a “derecha” y a
“izquierda” de 0.
0 Dom(f ),
x
y
no existe.
x 0
Observa que
si x>0 el límite existe y vale
1,
si x<0 el límite existe y
vale 0.
x
( )
(
)
L
a
Gráficamente
x
De manera análoga se define el límite de f cuando x tiende a a por derecha.
( )
(
)
L
a
x
y
y
x
x a
x a
Teorema 1
si y sólo si
x a
x a x a
Ejemplo 5: Calcular
x 0
Escribimos la función:
1
1
x
y
x 0 x 0 x 0
no existe.
Ejemplo 7: Indicar si existen y.
2
0
x
Cuando crece infinitamente.
decrece infinitamente.
Luego
no existe límite finito
x
0
x
x ,
x
x ,
1
0
1
0
x
lim
x
1
0
x
y
Cuando crece infinitamente.
crece infinitamente.
Luego
no existe límite finito
x
2
2
2
2
1
0 0
1
0 0
x
x , x ,
x
x , x ,
2
0
1
x
lim
x
Sean f y g funciones reales y , si existen
entonces:
1)
2)
2
x a
1
x a
El límite de la suma de dos funciones es la
suma de los límites de las funciones.
1 2
x a x a x a
1
x a x a
El límite del producto de una función por una constante es el producto de
la constante por el límite de la función
