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investigación documental digital
Tipo: Resúmenes
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Teorema de Cauchy
Marco Teórico
El análisis complejo es una extensión del cálculo de variables reales al plano complejo. Dentro
de esta disciplina, el Teorema Integral de Cauchy representa uno de los pilares fundamentales.
Su importancia radica en que establece condiciones bajo las cuales la integral de una función
a lo largo de un camino cerrado es nula, lo que simplifica drásticamente el cálculo de integrales
en ingeniería y física.
Para comprender el teorema de cauchy, es necesario definir tres conceptos previos:
derivable en cada punto de dicho dominio. En el plano complejo, la derivabilidad implica
que la función cumple las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
b. Contorno Cerrado Simple (C): Es una trayectoria que no se interseca a sí misma y cuyo
punto inicial coincide con el final (curva de Jordan).
c. Dominio Simplemente Conexo: Es una región sin "agujeros". Cualquier curva cerrada
dentro de este dominio puede encogerse hasta un punto sin salir de la región.
El Teorema de Cauchy-Goursat
Originalmente propuesto por Augustin-Louis Cauchy en 1825, el teorema requería que la
derivada de la función fuera continua. Fue Édouard Goursat quien, años más tarde, demostró
que la simple existencia de la derivada es suficiente.
Teorema: Si una función f(z) es analítica en todos los puntos internos y sobre un contorno
cerrado simple C, entonces:
𝐶
Extensión y Aplicaciones en Ingeniería Civil
La Fórmula Integral de Cauchy
Cuando la función tiene un punto de singularidad 𝑧
0
dentro del contorno, la integral ya no es
cero. La fórmula establece que:
0
0
𝑐
Esto implica que los valores de una función analítica en el interior de un círculo están
determinados por sus valores en la frontera.
Relevancia en Ingeniería Civil
funciones analíticas. El Teorema de Cauchy garantiza que el potencial de flujo es
consistente en trayectorias cerradas.
analizan mediante potenciales complejos. Si el material es homogéneo y no hay fuerzas
internas, el análisis de trayectorias cerradas debe cumplir con la analiticidad de Cauchy.
de contorno ayudan a resolver las transformadas de Laplace necesarias para modelar
sismos.
Ejemplo Práctico de Aplicación
Problema: Evaluar la integral ∮
𝑧
2
𝑧− 3
𝑐
para dos contornos diferentes.
Caso A: Contorno |z| = 1 (Círculo de radio 1)
𝑧
2
𝑧− 3
deja de ser analítica en z = 3.
sobre el contorno |z|=1, por el Teorema de Cauchy:
2
|𝑧| = 1
Caso B: Contorno |z| = 4 (Círculo de radio 4)
2
0
3. Cálculo:
o 𝑔
2
o La integral es 2 𝜋𝑖. 𝑔
4. Interpretación: La presencia de la singularidad "rompe" la nulidad de la integral, lo cual
es vital para detectar fallas en modelos de flujo o tensión.
Bibliografía
1. Churchill, R. V., & Brown, J. W. (2014). Variable Compleja y Aplicaciones. México:
McGraw-Hill.
2. Zill, D. G., & Wright, W. S. (2011). Matemáticas Avanzadas para Ingeniería. México:
Jones & Bartlett Learning.
_3. Kreyszig, E. (2011). Advanced Engineering Mathematics. USA: John Wiley & Sons.
Trillas.
