ECUACIONES DIFERENCIALES EJE 3
PRESENTADO POR:
JOSÉ EDUARDO HERNÁNDEZ POLANCO
PRESENTADO A:
ANTONIO SALUSTIANO RODRIGUEZ PACHECO
FUNDACIÓN UNIVERSITARIA ÁREA ANDINA
INGENIERÍA DE SISTEMAS
VALLEDUPAR
2019
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Ecuaciones Diferenciales: Aplicaciones en Física y Circuitos Eléctricos, Apuntes de Cálculo diferencial y integral
java libros, javascript, php y algunos trabajos de la universidada
Tipo: Apuntes
2020/2021
1 / 6
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ECUACIONES DIFERENCIALES EJE 3
PRESENTADO POR:
JOSÉ EDUARDO HERNÁNDEZ POLANCO
PRESENTADO A:
ANTONIO SALUSTIANO RODRIGUEZ PACHECO
FUNDACIÓN UNIVERSITARIA ÁREA ANDINA
INGENIERÍA DE SISTEMAS
VALLEDUPAR
Problema propuesto situación 1
Una masa de m gramos cae verticalmente hacia abajo, bajo la influencia de la gravedad,
partiendo del reposo, siendo despreciable la resistencia del aire.
Usted debe realizar las siguientes etapas del problema:
- Explicar las condiciones asociadas que describen el movimiento.
- Formular la ecuación diferencial referente al problema.
- Resolver la ecuación diferencial
Diagrama de fuerzas
𝐴 : posición de la masa m en el tiempo.
𝑡 = 0. 𝑃𝑖 ∶ la posición de m en cualquier tiempo posterior t.
En cualquier problema de física que involucre cantidades vectoriales tales como fuerza,
desplazamiento, velocidad y aceleración, las cuales necesariamente requieren un
conocimiento de dirección, es conveniente establecer un sistema de coordenadas, junto con
la asignación de direcciones positivas y negativas. En este ejemplo observamos que la
variación se realiza respecto del eje x.
Teniendo en cuenta las condiciones iniciales, usted debe mostrar el procedimiento para
llegar a la ecuación diferencial de segundo orden
𝟐
𝒙
𝟐
Sus soluciones son
Formulación matemática.
𝟐
𝒙
𝟐
Cuando establezcamos ecuaciones diferenciales para describir algún fenómeno o ley,
siempre las acompañaremos de suficientes condiciones necesarias para la
determinación de las constantes arbitrarias en la solución general.
Solución:
Empezando con
𝒅𝒗
𝒅𝒕
𝐠 (separación de variables) obtenemos por integración 𝒗
𝟏
. Puesto que v=0 cuando t = 0, c1 = 0 , ó v = gt , esto es ,
𝒅𝒙
𝒅𝒕
Otra integración produce de la anterior ecuación 𝒙 =
𝟏
𝟐
𝟐
- 𝒄 𝟐
. Puesto que x= 0 en t =
0, c2 = 0. Por tanto 𝒙
𝟏
𝟐
𝟐
. Podríamos haber llegado al mismo resultado al empezar
con
𝒅
𝟐 𝒙
𝒅𝒕
𝟐
𝒅
𝟐 𝒙
𝒅𝒕
𝟐
El signo más indica que el objeto se está moviendo en la dirección positiva, esto es,
hacia abajo. Se debería tener en cuenta que si hubiéramos tomado la dirección positiva
hacia arriba la ecuación diferencial hubiera sido m(dv/dt) = - mg , esto es ,
𝒅𝒗
𝒅𝒕
−𝒈 ó
𝒅
𝟐 𝒙
𝒅𝒕
𝟐
Esto conduciría a resultados equivalentes a los obtenidos.
Para otros problemas similares la forma de actuar es la misma.
Problema propuesto situación 2
Considere un circuito eléctrico consistente en una fuente de voltaje 𝐸 (batería o
generador), una resistencia 𝑅, y un inductor 𝐿, conectados en serie como se muestra en
la figura
Adoptamos una convención: la corriente fluye del lado positivo de la batería o generador a
través del circuito hacia el lado negativo.
Por la ley de Kirchhoff, la fuerza electromotriz, 𝐸, es igual a la caída de voltaje a través del
inductor, 𝐿 𝑑𝐼 𝑑𝑡, más la caída de voltaje a través de la resistencia, 𝑅𝐼, tenemos como la
ecuación diferencial requerida para el circuito: 𝐸 = 𝐿 𝑑𝐼 𝑑𝑡 + 𝑅𝐼
Usted debe realizar las siguientes etapas del problema:
- Explicar las condiciones asociadas que describen el circuito.
- Formular la ecuación diferencial referente al problema.
- Resolver la ecuación diferencial.
Como otro ejemplo, suponga que nos dan un circuito eléctrico consistente en una batería o
generador de E en serie con una resistencia de R y un condensador de C.
Aquí la caída de voltaje a través de la resistencia es RI y la caída de voltaje a través del
condensador es Q/C, de modo que, por la ley de Kirchhoff, 𝑹𝑰 +
𝑸
𝑪
= 𝑬 tal como aparece esto
no es una ecuación diferencial. Sin embargo, al notar que la corriente es la variación de la
carga con el tiempo, esto es , I = dQ/dt, 𝑹𝑰 +
𝑸
𝑪
= 𝑬 se convierte en 𝑹
𝒅𝑸
𝒅𝒕
𝑸
𝑪
= 𝑬 la cual es
una ecuación diferencial para la carga instantánea. Acompañando a las ecuaciones
diferenciales obtenidas están las condiciones que se derivan, por supuesto, del problema
específico considerado.
Para tener una idea clara del uso de las ecuaciones diferenciales en circuitos electrónicos
según las leyes de Kirchhoff, a continuación, se propone un ejemplo aclaratorio para el
desarrollo de la situación propuesta en el taller.
Ley de Kirchhoff
Un generador con una fem se conecta en serie con una resistencia y un inductor. Si el
interruptor K se cierra en tiempo t = 0 , establezca una ecuación diferencial para la
corriente y determine la corriente en tiempo t.