PRUEBA 2
Ejercicio 1. [2.5 puntos]
Dadas las matrices A=
(
1 3 4 1
1a2 2−a
−1 2 a a−2
)
; y M=
(
1 0 0
0 1 0
0 0 0
0 0 1
)
; se pide:
a) (1.5 puntos) Estudiar el rango de A en función del parámetro real a.
b) (1 punto) Calcular, si es posible, la inversa de la matriz AM para el caso a = 0.
Ejercicio 2. [2.5 puntos]
Dada f(x) = ln(x)/x , donde ln denota el logaritmo neperiano, definida para x > 0, se pide:
a) (0.5 puntos) Calcular, en caso de que exista, una asíntota horizontal de la curva y =
f(x).
b) (1 punto) Encontrar un punto de la curva y = f(x) en el que la recta tangente a dicha
curva sea horizontal y analizar si dicho punto es un extremo relativo.
c) (1 punto) Calcular el área del recinto acotado limitado por la curva y = f(x) y las rectas y
= 0 y x = e.
Ejercicio 3. [2.5 puntos]
Dadas la recta r ≡ x−1/2 = y−3/(−2) = z; y la recta s que pasa por el punto (2,−5,1) y tiene como
vector (−1,0,−1), se pide:
a) (1 punto) Estudiar la posición relativa de las dos rectas.
b) (1 punto) Calcular un plano que sea paralelo a r y contenga a s.
c) (0.5 puntos) Calcular un plano perpendicular a la recta r y que pase por el origen de
coordenadas.
Ejercicio 4. [2.5 puntos]
Una estudiante pidió en la cafetería 3 bocadillos, 2 refrescos y 2 bolsas de patatas y pagó un
total de 19 euros. Al mirar la cuenta comprobó que le habían cobrado un bocadillo y una bolsa
de patatas de más. Reclamó y le devolvieron 4 euros. Para compensar el error,
elvendedorleofreci´ollevarseunbocadilloyunrefrescoporsolo3euros, lo que suponía un
descuento del 40% respecto a sus precios originales. ¿Cuáles eran los respectivos precios sin
descuento de un bocadillo, de un refresco y de una bolsa de patatas?
Ejercicio 5. [2.5 puntos]
Dada la función f(x) =
√
4x2−x4
, se pide:
a) (0.5 puntos) Determinar su dominio.
b) (1.5 puntos) Determinar sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
c) (0.5 puntos) Calcular los límites laterales
lim
x→ 0+¿f(x)
x¿
¿
y
lim
x→ 0−¿f(x)
x¿
¿
