¡Descarga Estadística: Cálculo de Parámetros, Probabilidad y Distribución Poisson - Prof. Colomer y más Exámenes en PDF de Estadística solo en Docsity!
Problema 1. D’una variable aleatòria, X, tenim la següent informació. N 90 Mínim , Màxim 37, Percentils 25 3, 50 7, 75 12, Dibuixeu-ho el gràfic de caixa (box-plot) d’aquesta variable i fixant-vos en aquest gràfic expliqueu a) Com estan situades la mediana i la mitjana aritmètica d’aquesta variable? b) Quin és el seu rang? c) Què podeu dir del seu coeficient d’asimetria? d) Quin del tres histogrames següents podria ser el d’aquesta variable? a) Per tal de poder dibuixar el diagrama de caixa es necessari calcular els límits següents:
LI Q 1 1 , 5 Q 3 Q 1 3 , 0387 1 , 5 12 , 5380 3 , 0387 11 , 21025
LS Q 3 1 , 5 Q 3 Q 1 12 , 5380 1 , 5 12 , 5380 3 , 0387 26 , 78695 Donat que la dada més petita és 0,06, s’agafarà com a LI el valor 0, Donat que presenta un biaix a la dreta la mitjana serà més gran que la mediana. b) El rang és R^ Max(X^9 ) Min(X)^37 ,^4 ^0 ,^06 ^37 ,^36. c) E coeficient d’asimetria serà positiu, donat que la distribució de la variable es troba esbiaixada a la dreta. d) Correspon al histograma c que és l’únic que presenta un biaix a la dreta.
LI Q 1 Q 2 Q 3 LS
Problema 2 La durada d’una tempesta, en hores, és una variable aleatòria X que té per funció de densitat, a) Calculeu el valor del paràmetre k per tal que y^ f^ (x) sigui funció de densitat. b) Calculeu la funció de distribució de la variable X. c) Trobeu l’esperança i la mediana d’aquesta variable. Què podeu dir del seu coeficient d’asimetria? d) Si una d’aquestes tempestes, fa 4 hores que ha començat. Quina és la probabilitat que la seva durada no arribi a les 6 hores? e) Si ens fixem en la durada de 10 d’aquestes tempestes. Quina és la probabilitat que el menys tres d’elles tinguin una durada inferior a les 4,33 hores? a) S’ha de complir:
3 (^123) 7 (^73) 2 12 3 7 2 7 2 2 2 5 3 k 2 1 3 5 k 3 12 x k 3 x 2 k x 2 dx k 12 x dx 1 k ^ (^) ^ (^)
^ ^
b) La funció de distribució és:
1 , t 12.
, 7 t 12 ,
12 t
, 2 t 7 ,
t 2
0 , t 2 ,
F(t )
3 3 3 3 c) Donat que es tracta d’una variable amb distribució simètrica respecte al valor X 7 , la mitjana i la mediana coincidiran i valdran 7. El coeficient d’asimetria val 0 atès que es simètrica.
d) ^ ^
1 F 4
F 6
PX 6 X 4
3 3 3 3
e) Sigui la variable Y^ {^ nombre de tempestes entre 10 que duren menys de 4, hores}. La variable Y segueix una distribució binomial amb probabilitat:
p P X 4 , 33 F 4 , 33 0 , 05.
0, restode casos. k( 2 x) , 7 x 12 , k(x 2 ) , 2 x 7 , 0 , x 2 f (x ) 2 2
- Quina és la probabilitat que un informe l’hagi transcrit A i s’hagi de repetir?
- Si un informe s’ha de repetir, quina és la probabilitat que l’hagi transcrit B? c) En un dia s’han transcrit 10 informes. Quina és la probabilitat que s’hagin de repetir com a màxim 4 informes? a) Siguin X^ A el nombre faltes que fa la secretària A en un informe i X^ Bel que fa la
secretària B. Es compleix que XA ^ Po^3 mentre que XB ^ Po^1 ,^5 . La probabilitat
que s’hagi de repetir un informe en el cas de que hagi estat escrit per A és: P XA 3 1 F 2 1 0 , 4232 0 , 5768. i en el cas de que el informe hagi estat escrit per B és: P XB 3 1 F 2 1 0 , 8088 0 , 1912. b) La probabilitat de que un informe s’hagi de repetir si estigui escrit per la secretària A és:
P AR 0 ., 2 0 , 5768 0 , 1154
Si un informe s’ha de repetir la probabilitat de que hagi estat escrit per B és
0 , 57. 0 , 2683 0 , 1530 0 , 2 0 , 5768 0 , 8 0 , 1912 0 , 8 0 , 1912 P R PB R P B R c) Sigui (^) Y la variable nombre d’informes que s’han de repetir entre 10 escrits. Es
compleix que Y segueix una distribució binomial, Bi^10 ,^0 ,^268 . La probabilitat de
que com a molt siguin 4 els informes a repetir és:
P Y 4 F 4 0 , 8986.
Problema 5 El pes d’una poma segueix una distribució normal de mitjana ^ P ^155 gr. i desviació típica ^ P ^9 gr, i el pes d’una taronja segueix una distribució normal de mitjana T^ ^160 gr. i desviació típica ^ T ^12 gr. a) Escollim a l’atzar una d’aquestes pomes i una d’aquestes taronges. Quina és la probabilitat que:
- La poma pesi més que la taronja?
0,2 A
0,8 B
0,5768 R
0,4232 R
0,1912 R
0,8088 R
- La diferència de pes entre les dues fruites no passi dels 12 grams? b) Es preparen unes safates amb quatre pomes i quatre taronges. Si el pes net d’una safata supera els 1.300 grams ens deixa un benefici de 2 euros. En canvi, si el pes de la safata és mou entre els 1.225 i els 1.300 grams el benefici és només d’un euro. Per sota dels 1-225 grams de pes tenim unes pèrdues de 0,75 euros per safata. Si en un més tenim previst vendre 10.000 safates d’aquest tipus. Quin és el benefici que hem d’esperar? a) Sigui X^ P la variable pes de una poma i X^ N el de una taronja. Se sap que
X P N 155 , 9 i X^ N ^ N^160 ,^12 . Per estudiar la diferència de pes entre una poma i
taronja s’estudiarà la distribució de la variable aleatòria X^ P ^ XN , donat que es tracta de dos variables independents amb distribució normal, la diferencia també segueix una normal amb paràmetres: E ^ XP XT^ E^ Xp^ E^ XN^ 155 160 5 , ^2 X (^) pX N ^2 X P ^2 XN 81 144 225 15. La probabilitat de que la poma pesi més que la taronja és:
1 0 , 6293 0 , 3707. 15 0 5 P XP XT PXP XT 0 1 PXP XT 0 1 P Z ^ La probabilitat de que la diferència de pes entre les dos fruites no passi de 12 gr. és
0 , 8715 0 , 6796 1 0 , 5511. F( 1 , 1333 ) F( 0 , 4667 ) F( 1 , 1333 ) 1 F( 0 , 4667 ) ( 1 , 1333 ) F( 0 , 4667 ) 1 P 0 , 4667 Z 1 , 1333 15 12 5 Z 15 12 5 P 12 XP XN 12 P b) La variable pes d’una safata, P, es defineix com: P X (^) P 1 XP 2 XP 3 XP 4 XT 1 XT 2 XT 3 XT 4 , essent X (^) pj el pes de la poma j i X (^) Tj el pes de la taronja j. La variable P segueix una normal de paràmetres:
E P 4 155 4 160 1260 ,
^2 P 4 81 4 144 900 P 30. Per tant
1 0 , 9088 0 , 0912. 1 PZ 1 , 33 30
- 300 1. 260 PP 1. 300 1 PP 1. 300 1 P Z ^
1 0 , 8783 0 , 1217. PZ 1 , 166 1 F( 1 , 166 ) 30
- 225 1. 260 PP 1. 225 1 P Z ^ ^ ^
P 1. 225 P 1. 300 1 0 , 0912 0 , 1217 0 , 7871.
La variable benefici per safata, B, por agafar els valors 2, 1 i -0,75 amb probabilitats
