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Cap´ıtulo III
La geometr´ıa eucl´ıdea
Los resultados de los cap´ıtulos anteriores eran intuitivamente evidentes, o por lo menos susceptibles de ser justificados sin m´as que observar una figura. En este cap´ıtulo nos ocuparemos de resultados m´as profundos, de los que ya no puede decirse lo mismo. Por una parte nos servir´an para comprender que la geometr´ıa encierra resultados nada triviales de inter´es en s´ı mismo, y por otra una parte de ellos nos pondr´an en condiciones de sumergir completamente la geometr´ıa en la teor´ıa de conjuntos, de lo cual nos ocuparemos en el cap´ıtulo siguiente.
3.1 El axioma de las paralelas
Recordemos del cap´ıtulo anterior que dos rectas son paralelas si est´an conte- nidas en un mismo plano y no tienen puntos en com´un, as´ı como que dos planos son paralelos si no tienen puntos en com´un. Muy poco es lo que podemos decir sobre rectas y planos paralelos sin m´as base que los axiomas que hemos dado hasta ahora. Probaremos tan s´olo la existencia.
Teorema 3.1 Por un punto exterior a una recta pasa una paralela.
Demostraci´on: Dada una recta r y un punto exterior P , sea s la perpen- dicular a r por P y sea t la perpendicular a s por P contenida en el plano de r y s. Las rectas r y t han de ser paralelas, pues si se cortaran formar´ıan un tri´angulo con dos ´angulos rectos.
Teorema 3.2 Por un punto exterior a un plano pasa un plano paralelo.
Demostraci´on: Sea π un plano y P un punto exterior. Sea r la recta perpendicular a π por P , sea π 1 el plano perpendicular a r por P. Entonces π y π 1 son planos paralelos, pues si tuvieran un punto en com´un Q, el tri´angulo formado por P , Q y la intersecci´on de r con π tendr´ıa dos ´angulos rectos.
Introducimos ahora el ´ultimo axioma de la geometr´ıa. Con ello estaremos en condiciones de formalizar cualquier razonamiento geom´etrico intuitivo.
50 Cap´ıtulo 3. La geometr´ıa eucl´ıdea
Definici´on 3.3 Una geometr´ıa (tridimensional) eucl´ıdea es una geometr´ıa que satisfaga los axiomas A, B, C, D junto con el axioma siguiente:
Axioma E Por un punto exterior a una recta pasa una ´unica paralela.
El hecho an´alogo para planos se demuestra f´acilmente:
Teorema 3.4 Por un punto exterior a un plano pasa un ´unico plano paralelo.
Demostraci´on: Sea π un plano y P un punto exterior. Sea r la perpen- dicular a π por P y sea π 1 el plano perpendicular a r por P. Hemos probado que π 1 es paralelo a π. Veamos que es el ´unico posible. Si π 2 es otro plano paralelo a π que pasa por P , entonces π 1 y π 2 se cortar´an en una recta s (que contiene a P y es perpendicular a r). Sean t 1 y t 2 las rectas perpendiculares a s por P contenidas en π 1 y π 2. Entonces r, t 1 y t 2 son coplanares (por ser perpendiculares a s por P ), y el plano que forman corta a π en una recta t (que pasa por el punto de intersecci´on de r y π). Por lo tanto las rectas t, t 1 y t 2 son coplanares, pero t 1 y t 2 son dos paralelas a t que pasan por P , luego han de coincidir. As´ı pues, π 1 y π 2 tienen en com´un las rectas perpendiculares s y t 1 , luego π 1 = π 2.
Teorema 3.5 Dos rectas paralelas a una tercera son paralelas o coincidentes.
Demostraci´on: Sean r 1 y r 2 paralelas a r 3. Supongamos que r 1 y r 2 no son paralelas ni coincidentes. Sea π 1 el plano que contiene a r 1 , r 3 y sea π 2 el plano que contiene a r 2 y r 3. Si π 1 = π 2 entonces r 1 y r 2 est´an en el mismo plano, y como no son paralelas se cortan en un punto P , con lo que r 3 tiene dos paralelas distintas por P , contradicci´on. Si π 1 = π 2 entonces la intersecci´on de ambos planos es la recta r 3. Sea π el plano que contiene a r 1 y a un punto Q de r 2. Entonces π corta a π 2 en una recta r′^ disjunta de r 3 (pues si R est´a en r′^ ∩ r 3 entonces R no puede estar en r 1 , ya que entonces estar´ıa en π 1 ∩ π 2 = r 3 y por tanto en r 1 ∩ r 3. De aqu´ı que π = π 1 , pues tienen a r 1 y a R en com´un, luego r′^ = r 3 y Q estar´ıa en r 2 ∩ r 3 ). Por lo tanto r′^ es paralela a r 3 y pasa por un punto de r 2 , luego r′^ = r 2. De nuevo tenemos que r 1 y r 2 est´an en un mismo plano, y concluimos como antes.
M´as f´acilmente se demuestra:
Teorema 3.6 Dos planos paralelos a un tercero son paralelos o coincidentes.
Consideremos una figura formada por dos rectas r y s que cortan a una recta t en puntos distintos P y Q. De los ocho ´angulos determinados por los dos cortes, llamaremos ´angulos internos de la figura a los dos que tienen v´ertice P y que est´an contenidos en el semiplano de r que contiene a Q, as´ı como a los dos que tienen v´ertice Q y est´an contenidos en el semiplano de s que contiene a P. Hay, pues, cuatro ´angulos internos, dos con v´ertice P , uno en cada semiplano respecto a t, y dos con v´ertice Q, tambi´en uno en cada semiplano respecto a t.
52 Cap´ıtulo 3. La geometr´ıa eucl´ıdea
Las semirrectas
AB y
AC dividen a dicho semiplano en tres ´angulos cuya suma es 2π. Uno de ellos es Aˆ, y los otros dos son iguales a Bˆ y Cˆ por el teorema anterior. Con m´as detalle: tomemos puntos P y Q a ambos lados de A en r. Entonces
los ´angulos ̂P AB y P AĈ est´an contenidos en el mismo semiplano respecto a r (pues r no corta a BC) luego uno est´a contenido en el otro. Supongamos por
ejemplo que ̂P AB es el menor. Entonces
AB est´a contenida en P AĈ , luego corta a P C, luego P y C est´an en semiplanos distintos respecto a AB, de donde se sigue que ̂P AB y ̂ABC son alternos internos. As´ı pues, ̂P AB ≡ Bˆ, luego P AĈ ≡ ̂P AB + ̂BAC ≡ Aˆ + Bˆ. Por otra parte, QAĈ es adyacente a P AĈ y de
aqu´ı que B y Q est´en en semiplanos distintos respecto a AC, con lo que QAĈ y ̂ ACB son alternos internos. En total queda que Aˆ + Bˆ + Cˆ = P AĈ + CAQ̂ = π.
En particular, si dos tri´angulos tienen dos ´angulos iguales, de hecho tienen los tres ´angulos iguales, luego el criterio de igualdad ALA puede aplicarse con dos ´angulos cualesquiera, no necesariamente los contiguos al lado.
Definici´on 3.9 Sean A, B, C, D cuatro puntos coplanares tales que la recta AB sea paralela a CD y la recta AD sea paralela a BC. Entonces C y D est´an en el mismo semiplano respecto a AB, A y B est´an en el mismo semiplano respecto a CD, A y D est´an en el mismo semiplano respecto a BC y B y C est´an en el mismo semiplano respecto a AD. A la intersecci´on de estos cuatro semiplanos se le llama paralelogramo (gr. ‘de l´ıneas paralelas’) de v´ertices A, B, C y D. Los segmentos AB, BC, CD y DA se llaman lados del paralelogramo. Dos lados son contiguos si tienen un lado en com´un y son opuestos en caso contrario. La uni´on de todos ellos constituye su frontera. Los ´angulos DAB̂ , ̂ABC, ̂BCD y CDÂ se llaman ´angulos del paralelogramo. Los segmentos AC y BD se llaman diagonales del paralelogramo. Dos v´ertices son contiguos u opuestos seg´un si son extremos de un lado o de una diagonal.
D ❅
A B
C
Los paralelogramos son intersecciones de semiplanos, luego son convexos. En particular las diagonales de un paralelogramo est´an contenidas en ´el. No es dif´ıcil probar que un paralelogramo determina sus v´ertices.
Teorema 3.10 Los lados y los lados opuestos de un paralelogramo son iguales, los ´angulos contiguos son suplementarios, las diagonales se cortan por su punto medio.
3.2. Semejanza de tri´angulos 53
Demostraci´on: Con la notaci´on de la definici´on anterior, tenemos que A y D est´an en el mismo semiplano respecto a BC, luego si D y B estuvieran en el mismo semiplano respecto a AC tendr´ıamos que D pertenecer´ıa al ´angulo ̂ CAB, luego AD cortar´ıa al segmento BC, cuando en realidad son paralelos.
As´ı pues, B y D est´an en semiplanos distintos respecto a AC, por lo que BD corta a AC. Similarmente llegamos a que AC ha de cortar a la recta BD, y como el punto de corte ha de ser el mismo en ambos casos, concluimos que las diagonales AĈ y BD̂ se cortan en un punto P. Es claro que dos ´angulos contiguos, por ejemplo Aˆ y Bˆ son ´angulos internos respecto a la figura formada por las rectas paralelas AD y BC cortadas por AB, pero no son alternos, sino que ambos est´an en el mismo semiplano respecto a AB. Por lo tanto Aˆ y un ´angulo adyacente a Bˆ s´ı son ´angulos alternos internos, luego Aˆ y Bˆ son suplementarios. De aqu´ı que dos ´angulos opuestos sean iguales, pues tienen un suplementario com´un. Puesto que A y C est´an en semiplanos distintos respecto a BD, los ´angulos ̂ ABD y BDĈ son alternos internos, luego son iguales. Igualmente se cumple
que ̂ADB ≡ DBĈ , luego ̂ADB ≡ CBD̂ , lo que en particular implica que los lados opuestos son iguales.
Es f´acil ver tambi´en que ̂P AB ≡ ̂P CD, de donde se sigue que P B ≡ P D y P A ≡ P C, luego P es el punto medio de las diagonales.
Definici´on 3.11 Un rombo (gr. ‘alternado’) es un paralelogramo cuyos cuatro lados son iguales. Un rect´angulo es un paralelogramo cuyos cuatro ´angulos son iguales (luego los cuatro son rectos). Un cuadrado es un paralelogramo con los cuatro lados y los cuatro ´angulos iguales.
Ejercicio: Probar que las diagonales de un rombo son perpendiculares, y son las bisectrices de los ´angulos que unen.
3.2 Semejanza de tri´angulos
Definici´on 3.12 Dos tri´angulos ̂ABC y Â′B′C′^ son semejantes si sus lados son proporcionales dos a dos, es decir, si
AB A′B′^
AC
A′C′^
BC
B′C′^
Este concepto de semejanza juega un papel muy importante en la geo- metr´ıa eucl´ıdea, y ello se debe fundamentalmente a que vamos a probar que dos tri´angulos son semejantes si y s´olo si sus ´angulos son iguales. Para ello necesitamos un par de resultados previos. Conviene introducir el concepto si- guiente:
Definici´on 3.13 Diremos que dos tri´angulos ̂ABC y Â′B′C′^ est´an en posici´on de Tales si, nombrando los v´ertices adecuadamente, A = A′, B′^ est´a en AB y B′C′^ es paralela a BC (con lo que tambi´en C′^ est´a en AC).
